文档内容
四边形的五大模型
模型一．中点四边形模型
模型二．十字架模型
模型三．梯子模型
模型四．对角互补模型
模型五．梯形中位线模型
一．中点四边形模型
1．如图，已知ABCD为任意四边形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，添
加下列哪个条件，不能判断四边形EFGH为菱形的是（ ）
A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD
【分析】首先根据中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，进而根据菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形，可以得
出答案．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF＝ AC，
同理可得：HG∥AC，HG＝ AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
A：若EH＝HG，则 EFGH为菱形，故A选项能判断四边形EFGH为菱形，
B：若EG⊥HF，则 EFGH为菱形，故B选项能判断四边形EFGH为菱形，
▱
▱
C：若AC＝BD，则有：EH＝ ，HG＝ ，
∴EH＝HG，
∴ EFGH为菱形，故C选项能判断四边形EFGH为菱形，
D：若AC⊥BD，则可得：EH⊥HG，则 EFGH为矩形，不一定是菱形，
▱
▱∴D选项不能判断四边形EFGH为菱形．
故选：D．
2．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（
）
A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形
C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形
D．以上说法都不对
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边
形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC，GH∥AC，GH＝ AC，EH∥BD，EH＝ BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形EFGH为矩形，A选项说法错误；
当AC＝BD时，EH＝EF，
∴四边形EFGH为菱形，B选项说法错误；
当AC⊥BD，AC＝BD时，EF⊥EH，EF＝EH，
∴四边形EFGH为正方形，C选项说法正确；D选项说法错误；
故选：C．
3．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA
的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】连接EF、FG、GH、HE，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质得到EG⊥FH，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，
∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF＝ AC＝ ，FG＝ BD＝ ，GH＝ AC＝ ，HE＝ BD＝ ，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，
∴OE2+OH2＝EH2＝ ，
∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，
故选：A．
4．已知四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是
菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点 E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接
CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2 ，CF﹣BF＝1，求AD的长．
【分析】（1）连接AC，BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四
边形EFGH是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理证明结论；
（2）连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，证明△AEH≌△MFG，根据全
等三角形的性质得到GM＝AE＝4，根据勾股定理求出CM，再根据勾股定理计算，得到
答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC，同理：GH∥AC，GH＝ AC，EH＝ BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝EH．
∴四边形EFGH是菱形；
（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC．
∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，
∵四边形EFGH是菱形，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴∠EHF＝∠GFH．
∴∠AHE＝∠MFG，
在△AEH和△MFG中，
∴△AEH≌△MFG（AAS），
∴GM＝AE＝4．
∵CG＝2 ，
根据勾股定理，得CM＝2，
设BF＝x，则CF＝x+1，
在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，
同理EF2＝x2+64，
∴（x+3）2+16＝x2+64．
∴x＝ ，
∴BC＝2x+1＝14，
∴AD＝BC＝14．5．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中
点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．
【分析】当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线
定理即可证得EG＝GF＝FH＝EH，则四边形EFGH是菱形，利用菱形的性质即可证得．
【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，
连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG＝ AB，
同理HF＝ CD，FG＝ CD，EH＝ CD，
又∵AB＝CD
∴EG＝GF＝FH＝EH
∴四边形EFGH是菱形．
∴EF⊥GH．
6．已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 平行四边形 ，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足 互相垂直
条件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
【分析】（1）连接 BD，根据三角形的中位线定理得到 EH∥BD，EH＝ BD，
FG∥BD，FG＝ BD，推出，EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形 ABCD的对角线满足
AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的
一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1＝90°，然后根据
平行线的性质求出∠3＝90°，再根据垂直定义解答．
【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图1，连接BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝ BD，
同理FG∥BD，FG＝ BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如
下：
如图2，连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图3，连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH＝ BD，FG＝ BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；互相垂直．
二．十字架模型
7．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝BF B．AE⊥BF
C．AO＝OE D．S△AOB ＝S四边形DEOF
【分析】首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE，即可得出AE＝
BF，进而得出∠BFA+∠EAD＝90°，即AE⊥BF，用反证法证明AO≠EO，利用三角形
全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出D正确．
【解答】解：A、∵在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
又∵CE＝DF，
∴AF＝DE，
∵∠D＝∠BAF＝90°，
∴△BAF≌△ADE，
∴AE＝BF，
故此选项正确；
B、∵△BAF≌△ADE，
∴∠BFA＝∠AED，
∵∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BFA+∠EAD＝90°，
∴∠AOF＝90°，
∴AE⊥BF，
故此选项正确；
C、如图，连接BE，
假设AO＝OE，
∵BF⊥AE，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵BO＝BO，
∴△ABO≌△EBO，
∴AB＝BE，又∵AB＝BC，
BC＜BE，
∴AB不可能等于BE，
∴假设AO＝OE，不成立，即AO≠OE，
故此选项错误；
D、∵△BAF≌△ADE，
∴S△BAF ＝S△ADE ，
∴S△BAF ﹣S△AOF ＝S△ADE ﹣S△AOF ，
∴S△AOB ＝S四边形DEOF ，故此选项正确．
故选：C．
8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，
DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连
接CG．有以下结论：
①AE⊥DF；
②AH＝EH；
③CG∥AE；
④S四边形BEOF ：S△AOF ＝4．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据正方形的性质可得 AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°，从而可证
△DAF≌△ABE，进而可得∠BAE＝∠ADF，然后可得∠BAE+∠AFD＝90°，即可解答；
②根据正方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠DAC＝∠AEB，再利用折叠可得∠AEB
＝∠AEG，进而可得∠DAE＝∠AEG，即可解答；
③由折叠得：∠AEB＝∠AEG＝ （180°﹣∠GEC），GE＝GC，从而可得∠EGC＝
∠ECG＝ （180°﹣∠GEC），进而可得∠AEB＝∠GCE，即可解答；
④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，然后证明△AOF∽△ABE，利用相似三角形
的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°，
∴∠ADF+∠AFD＝90°，
∵点E，F分别是边BC，AB的中点，
∴AF＝ AB，BE＝EC＝ BC，
∴AF＝BE，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴∠BAE＝∠ADF，
∴∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠AOF＝180°﹣（∠BAE+∠AFD）＝90°，
∴AE⊥DF，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠AEB，
由折叠得：
∠AEB＝∠AEG，
∴∠DAE＝∠AEG，
∴AH＝EH，
故②正确；
由折叠得：
∠AEB＝∠AEG＝ （180°﹣∠GEC），GE＝GC，
∴∠EGC＝∠ECG＝ （180°﹣∠GEC），
∴∠AEB＝∠GCE，
∴AE∥CG，
故③正确；
∵∠B＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝ ＝ ＝2 ，
∵∠B＝∠AOF＝90°，∠FAO＝∠BAE，
∴△AOF∽△ABE，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∴S四边形BEOF ：S△AOF ＝4，
故④正确；所以，以上结论，正确的有4个，
故选：D．
9．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝
3，BC＝4，则EF的长是（ ）
A． B． C． D．4
【分析】过点 A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H，先利用矩形的性质可得
AD∥BC，BD＝5，∠ABC＝∠C＝90°，进而可得四边形AGFE是平行四边形，从而可
得 AG＝EF，再根据同角的余角相等，可得∠ HAB＝∠DBC，从而可得
△ABG∽△BCD，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∴AG＝EF，
∵EF⊥BD，
∴AG⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠HAB+∠ABH＝90°，
∵∠ABH+∠DBC＝90°，
∴∠HAB＝∠DBC，
∴△ABG∽△BCD，
∴ ＝ ，
∵BC＝4，CD＝3，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝ ＝5，
∴ ＝ ，∴AG＝ ，
∴EF＝AG＝ ，
故选：C．
10．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相
交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF ；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，然后依据全
等三角形的性质可找出其中相等的线段可相等的角，然后再逐个进行判断即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF ＝S△DAE ，
∴S△ABF ﹣S△AOF ＝S△DAE ﹣S△AOF ，
即S△AOB ＝S四边形DEOF ，故④正确；
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB+∠ABO＝90°．
又∵∠AFB+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．
故选：C．
11．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，
∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，
EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．
【分析】（1）根据∠AOF＝90°，利用同角的余角相等得出∠EAB＝∠FBC，再根据
ASA即可证出△FBC≌△EAB；
（2）过 A 作 AM∥GH，交 BC 于 M，过 B 作 BN∥EF，交 CD 于 N，AMBN 交于点
O′，利用平行四边形的判定，可知四边形 AMHG和四边形BNFE是 ，那么AM＝
GH，BN＝EF，由于∠EOH＝90°，结合平行线的性质，可知∠AO′N＝90°，那么此题
▱
就转化成（1），求△BCN≌△ABM即可；
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD中，
∴AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠OBA＝90°，
又∵∠FBC+∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF＝BN，GH＝AM，
∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A＝90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，
∴GH＝EF＝4；
12．在正方形ABCD中：
（1）如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．求证：AE＝BF．
（2）如图②，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足
M．那么GE、HF相等吗？证明你的结论．
（3）如图③，在等边三角形ABC中，点E、F分别在BC、CA上，且BE＝CF，你能
猜想∠AMF的度数吗？证明你的结论．
【分析】有三角形的直接证明三角形全等，没三角形的构造直角三角形，利用正方形的
性质证明三角形全等；对于第4问也是证明三角形全等，再用角等量代换求解．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM＝90°，∠CBF+∠ABM＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△BAE和△CBF中
，
△BAE≌△CBF（AAS），
∴AE＝BF；（2）结论：HF＝GE
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∴GT⊥HN，
∴∠FHN+∠HPO＝90°，∠EGT+∠GPM＝90°，∠GPM＝∠HPO，
∴∠FHN＝∠EGT，
∵HN＝GT，∠GTE＝∠NHF＝90°，
在△GTE与△HNF中，
，
∴△GTE≌△HNF，
∴GE＝HF；
（3）结论：∠AMF＝60°．
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠ABE＝∠BME＝60°，
∴∠AMF＝∠BME＝60°．
三．梯子模型
13．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上
运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1．
运动过程中，点C到点O的最大距离是（ ）A． B． +1 C． D．
【分析】取AB的中点E，连接OE、CE、OC，根据三角形的任意两边之和大于第三边
可知当O、C、E三点共线时，点C到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出 DE
的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE、OC，∵OC≤OE+CE，
∴当O、C、E三点共线时，点C到点O的距离最大，
此时，∵AB＝2，BC＝1，
∴OE＝AE＝ AB＝1，
CE＝ ＝ ，
∴OC的最大值为： +1．
故选：B．
14．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运
动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝ ．
运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】取AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断
出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE
的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线
段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝AD．【解答】解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，
∵∠MON＝90°，
∴OE＝AE＝ AB＝ ×2＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝ ，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE＝ ＝ ＝2，
由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，
此时，OD＝OE+DE＝1+2＝3，
过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE＝ ＝ ，
即 ＝ ，
解得DF＝ ，
∵OD＝3，
∴点F是OD的中点，
∴AF垂直平分OD，
∴OA＝AD＝ ．
故选：B．
15．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此
时OB的距离为0.7米，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）设木棍的中点为P，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，为
什么？【分析】（1）根据勾股定理求出OA，求出OA'，根据勾股定理求出OB'即可；
（2）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可．
【解答】解：（1）在直角△ABC中，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，
则由勾股定理得：AO＝ ＝2.4米，
∴OA'＝2米，
∵直角三角形A'B'O中，AB＝A'B'，且A'B'为斜边，
∴由勾股定理得：OB'＝ ＝1.5米，
∴BB'＝OB'﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8米；
（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边 AB不变，所以斜边
上的中线OP不变．
16．如图所示，一根长3米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上．设
木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑．且B端沿地面向右滑行．
（1）试判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，请简述理由．
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并
求出面积的最大值．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP＝ AB＝a，即可得
出答案；
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大．
【解答】解：（1）在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：连接OP，
∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，
∴OP＝ AB＝a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
（2）如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形面积公式，有h与OP相
等时△AOB的面积最大，此时，
S△AOB ＝ AB•h＝ ×2a×a＝a2．
所以△AOB的最大面积为a2．
四．对角互补模型
17．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交
CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝ ，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据对角互补的四边形，则四边形共圆，根据圆周角定理得出∠BPC＝
∠BQC，根据∠PBC＝∠PQD，过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则
E、P、F三点共线，推出正方形AEPM，根据勾股定理求出AE＝PE＝PM＝AM＝DF＝
1，证△BEP≌△PFQ，推出PE＝FQ＝1，BP＝PQ，求出DQ、DC，即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCQ＝90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B、C、Q、P四点共圆，
∴∠PBC＝∠PQD，∠BPC＝∠BQC，∴①正确；③正确；
过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，∠DAB＝90°，
∴∠MAE＝∠PEA＝∠PMA＝90°，PM＝PE，
∴四边形AMPE是正方形，
∴AM＝PM＝PE＝AE，
∵AP＝ ，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2＝（ ）2，
解得：AE＝AM＝PE＝PM＝1，
∴DF＝1，
设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
则BE＝PF＝a﹣1，
∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°，
∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°，
∴∠EBP＝∠FPQ，
在△BEP和△PFQ中
，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正确；
∴DQ＝1+1＝2，
∵Q为CD中点，
∴DC＝2DQ＝4，
∴正方形ABCD的面积是4×4＝16，∴④正确；
故选：A．
18．如图，△ABC 为等边三角形，以 AB 为边向△ABC 外侧作△ABD，使得∠ADB＝
120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：
① D、A、E 三点共线；②△CDE 为等边三角形；③ DC 平分∠BDA；④ DC＝DB+DA，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，由∠ADB＝120°得
到∠1+∠2＝60°，再根据旋转的性质得∠ACB＝60°，即旋转角等于60°，CD＝CE，
∠CAE＝∠CBD＝∠1+60°，于是可计算出∠DAE＝180°，则可对①进行判断；由
∠DCE＝∠ACB＝60°，CD＝CE，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由△CDE
为等边三角形得∠4＝60°，于是可得∠3＝60°，则可对③进行判断；根据旋转的性质得
AE＝DB，根据等边三角形的性质得CD＝DE，所以CD＝DE＝DA+AE＝DA+BD，则可
对④进行判断．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADB＝120°，
∴∠1+∠2＝60°，
∵点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，
∴∠ACB＝60°，即旋转角等于 60°，CD＝CE，∠CAE＝∠CBD＝∠1+∠CBA＝
∠1+60°，
∵∠CAE+∠BAC+∠2＝∠1+60°+60°+∠2＝180°，即∠DAE＝180°，
∴D、A、E三点共线，所以①正确；
∵∠DCE＝∠ACB＝60°，CD＝CE，
∴△CDE为等边三角形，所以②正确；
∵△CDE为等边三角形，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
∴DC平分∠BDA，所以③正确；
∵△CDE为等边三角形，
∴CD＝DE，
而点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，
∴AE＝DB，
∴DE＝DA+AE＝DA+BD，
∴DC＝DB+DA，所以④正确．故选：A．
19．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C
为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：
①D、A、E三点共线；
②DC平分∠BDA；
③∠E＝∠BAC；
④DC＝DB+DA．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）设∠1＝x 度，把∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，∠4＝
（x+60）度，∠3＝60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；
（2）根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三
角形，求出∠BDC＝∠E＝60°，∠CDA＝120°﹣60°＝60°，可知DC平分∠BDA；
（3）由②可知，∠BAC＝60°，∠E＝60°，从而得到∠E＝∠BAC．
（4）由旋转可知AE＝BD，又∠DAE＝180°，DE＝AE+AD．而△CDE为等边三角形，
DC＝DE＝DB+BA．
【解答】解：如图，
①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三点共线；
故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，
∴DC平分∠BDA；
故②正确；
③∵∠BAC＝60°，
∠E＝60°，
∴∠E＝∠BAC．
故③正确；
④由旋转可知AE＝BD，
又∵∠DAE＝180°，
∴DE＝AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC＝DB+BA．故④正确；
故选：A．
20．如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．
（1）请直接写出∠CDB的度数；
（2）求∠ADC的度数；
（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图，设AB交CD于点O．利用“8字型”证明角相等即可；
（2）由△DBO∽△ACE，推出 ＝ ，可得 ＝ ，∠AOD＝∠BOC，推出
△AOD∽△COB，即可解决问题；
（3）结论：DC＝DB+DA．在DC上截取DE＝DB，连接BE．利用全等三角形的性质即
可证明；
【解答】解：（1）如图，设AB交CD于点O．∵∠DBO＝∠ACO，∠BOD＝∠AOC，
∴∠BDO＝∠OAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴∠CDB＝60°．
（2）∵∠DOB＝∠AOC，∠DBO＝∠ACO，
∴△DBO∽△ACO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∵∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴∠ADO＝∠ABC＝60°．
即∠ADC＝60°．
（3）结论：DC＝DB+DA．
理由：在DC上截取DE＝DB，连接BE．
∵DB＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠DBE＝60°，BD＝BE，
∵∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵D＝BE，BA＝BC，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC，
∴DC＝DE+EC＝DB+DA．
21．如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴
正半轴上，点B在y轴正半轴上．
（1）求点P的坐标．
（2）当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．【分析】（1）由题意知，3m﹣1＝﹣2m+4，即可解决问题；
（2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．利用ASA证明△PMB≌△PNA，得
BM＝AN，从而得出OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM；
②连接AB，由勾股定理得AB2＝PA2+PB2＝2PA2，则OA2+OB2＝2PA2，当PA最小时，
OA2+OB2也最小．根据垂线段最短，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，
∴3m﹣1＝﹣2m+4，
∴m＝1，
∴P（2，2）；
（2）①不变．
过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，
∴四边形QMPN是正方形，
∴∠MPN＝90°＝∠APB，
∴∠MPB＝∠NPA．
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM＝AN，
∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝4，
②连接AB，
∵∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2，
∵∠BPA＝90°，
∴AB2＝PA2+PB2＝2PA2，
∴OA2+OB2＝2PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小．
根据垂线段最短原理，PA最小值为2，
∴OA2+OB2的最小值为8．
22．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
（1）概念理解：
①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则
∠A＝ 9 0 °；
②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BE•BC＝AB•BD，求证：四
边形ADEC是互补四边形．
（2）探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，
AD＝BC，四边形CEDH是互补四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝ ∠E．
【分析】（1）①由题意知，∠C＝180°﹣∠A，∠B＝ ，∠D
＝ ，再利用四边形内角和为360°，可得方程；
②利用两边成比例且夹角相等，可证△BDE∽△BCA，得∠BED＝∠A，从而得出
∠A+∠CED＝∠BED+∠CED＝180°，即可证明结论；
（2）首先利用SAS证明△EAC≌△EBD，得∠EBD＝∠EAC，则可知∠ABD＝∠BAC，
再根据四边形CEDH是互补四边形，得∠E+∠DHC＝180°，可知∠E＝∠BHC，从而证
明结论．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是互补四边形，∠A与∠C是一组对角，
∴∠C＝180°﹣∠A，
∵∠B：∠C：∠D＝2：3：4，
∴∠B＝ ，∠D＝ ，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴ +（180°﹣∠A）+ ＝360°，
∴∠A＝90°，
故答案为：90；
②证明：∵BE•BC＝AB•BD，
∴ ，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BED＝∠A，
∴∠A+∠CED＝∠BED+∠CED＝180°，
∴四边形ADEC是互补四边形；
（2）证明：∵AE＝BE，AD＝BC，
∴ED＝EC，
在△EAC和△EBD中，
，
∴△EAC≌△EBD（SAS），
∴∠EBD＝∠EAC，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵四边形CEDH是互补四边形，
∴∠E+∠DHC＝180°，
∵∠AHB＝∠DHC，
∴∠E+∠AHB＝180°，
∴∠ABD+∠BAC＝∠E，
∴∠ABD＝∠BAC＝ ∠E．
五．梯形中位线模型
23．如图所示，四边形ABCD是梯形，E，F分别是两腰AB，CD的中点，AD＝2，BC＝
8，则线段EF的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】此题只需根据梯形的中位线定理进行计算．
【解答】解：∵四边形ABCD是梯形，E，F分别是两腰AB，CD的中点，AD＝2，BC
＝8，
∴EF＝ （AD+BC）＝ （2+8）＝5．
故选：C．
24．若梯形的面积为8cm2，高为2cm，则此梯形的中位线长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】根据梯形的中位线定理，知梯形的面积等于梯形中位线×高．
【解答】解：根据梯形的面积＝梯形的中位线×高，得
梯形的中位线的长＝8÷2＝4（cm）．
故选：B．
25．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO
＝3，则BC﹣AD等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】首先根据梯形的中位线和平行线等分线段定理，发现三角形的中位线；
再根据三角形的中位线定理，得到BC＝2OF，AD＝2OE，从而求得BC﹣AD的值．
【解答】解：∵EF是梯形ABCD是中位线，
∴EF∥BC∥AD．
∴OB＝OD．
∴BC＝2OF，AD＝2OE．
∴BC﹣AD＝2（FO﹣EO）＝2×3＝6．
故选：B．
26．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，
若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
【分析】此题首先根据梯形的中位线定理得到AD+BC的值．再根据平行线的性质以及角平分线发现等腰三角形，从而求得AB+CD的值，进一步求
得梯形的周长．
【解答】解：∵EF梯形的中位线，∴EF∥BC，AD+BC＝2EF＝6．
∴∠EPB＝∠PBC．
又因为BP平分∠EBC，所以∠EBP＝∠PBC，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴BE＝EP，∴AB＝2EP．
同理可得，CD＝2PF，所以AB+CD＝2EF＝6．
则梯形ABCD的周长为6+6＝12．
故选：C．
27．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得 AD＝
EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出
答案；
（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出
BF＝ AB＝4，AF＝ BF＝4 ，由梯形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位线长＝ （AD+BC）＝ （4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，∴BF＝ AB＝4，AF＝ BF＝4 ，
∴梯形ABCD的面积＝ （AD+BC）×AF＝ （4+12）×4 ＝32 ．
28．已知如图：在梯形ABCD中，AB∥DC，点E、F分别是两腰AD、BC的中点．
证明：（1）EF∥AB∥DC；
（2）EF＝ （AB+DC）．
【分析】连接AF并延长交BC于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中
位线，利用三角形的中位线定理即可证得．
【解答】解：连接AF并延长交BC于点G．
∵AD∥BC
∴∠DAF＝∠G，
在△ADF和△GCF中，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF＝FG，AD＝CG．
又∵AE＝EB，
∴EF∥BG，EF＝ BG，
即EF∥AD∥BC，EF＝ （AD+BC）．29．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD+BC，E为CD中点，连接AE、BE，试说
明：BE平分∠ABC，AE平分∠BAD．
【分析】过E作EF∥BC，即可得到EF为梯形的中位线，利用EF＝AF及平行线的性质
即可作出证明．
【解答】证明：过E作EF∥BC，
∵E是CD的中点，
∴AF＝BF，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD∥EF，EF＝ （AD+BC）
∴∠AEF＝∠EAD，
∵AB＝AD+BC，
∴AF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴∠EAD＝∠EAF，
∴AE平分∠BAD，
同理可证得：BE平分∠ABC．
30．梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF并延长并BC延长线
于点G．
求证：EF∥AD∥BC，EF＝ （AD+BC）．【分析】先证明△ADF≌△GCF 得到 AD＝CG，再证明 EF为△ABG的中位线，则
EF∥BG，EF＝ BG，易得EF∥AD∥BC，EF＝ （AD+BC）．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠GCF，∠DAF＝∠CGF，
∵F为CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF和△GCF中，
，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AD＝CG，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABG的中位线，
∴EF∥BG，EF＝ BG，
∴EF∥AD∥BC，EF＝ （BC+CG）＝ （AD+BC）．
