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第 7 章 平面直角坐标系 章节复习卷（6 个知识点
+50 题练习）
知识点
知识点1．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为
正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象
限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
知识点2．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐
标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的
坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
知识点3．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第
四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，
b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．知识点4．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与
纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由
距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，
是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去
解决问题．
知识点5．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设 有 两 点 A （ x ， y ） ， B （ x ， y ） ， 则 这 两 点 间 的 距 离 为 AB ＝
1 1 2 2
．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
知识点6．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个⇒点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相
应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都
加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
练习卷
一．点的坐标（共8小题）
1．（2023•莱州市期末）如图，小明用手盖住的点的坐标可能为A． B． C． D．
【分析】先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限，
， ， ， 中只有 在第二象限．
故选： ．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决
的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；
第四象限 ．
2．（2023•青白江区期末）点 在第 二 象限．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点 在第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决
的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；
第四象限 ．
3．（2023•乐平市期末）在平面直角坐标系 中，点 ， ，若
，则称点 与点 互为“等差点”，例如：点 ，点 ，因为，所以点 与点 互为“等差点”．
（1）若点 的坐标是 ，则在点 ， ， 中，点 的“等差
点”为点 ， ；
（2）若点 的坐标是 的“等差点” 在坐标轴上，求点 的坐标；
（3）若点 的坐标是 与点 互为“等差点”，且 、 互为相反数，
求点 的坐标．
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义，列出方程组，求出 ， ，即可求出 点坐标．
【解答】解：（1）根据新定义可以得 、 与 点互为“等差点”；
故答案为： ， ；
（2）①当点 在 轴上时，
设 ，由题意得 ，
解得 ，
．
②当点 在 轴上时，
设 ，
由题意得 ，
解得 ，
．
综上所述： 的“等差点”点 的坐标为 或 ．
（3）由题意得 ，．
、 互为相反数，
，
解得 ，
， ．
， ．
【点评】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用
新定义给出的公式，找到规律，解决问题．
4．（2023•敦煌市期末）如图，在平面直角坐标系中，
（1）确定点 、 的坐标；
（2）描出点 ，点 ．
【分析】（1）直接利用平面直角坐标系得出 ， 点坐标；
（2）直接利用 ， 点坐标在坐标系中确定即可．
【解答】解：（1） ， ；
（2）如图所示： ， 点即为所求．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确理解点的坐标意义是解题关键．
5．（2023•修水县期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，若点 坐标为
（其中 为常数，且 ，则称点 是点 的“ 属派生点”．例如，点
的“2属派生点”为 ，即 若点 的“3属派生点’是点
，则点 的坐标为
A． B． C． D．
6．（2023•莱州市期末）在平面直角坐标系中，点 在第四象限内，且 点到 轴的距离
是3，到 轴的距离是2，则点 的坐标为 ．
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到 轴的距离等于纵坐标
的长度，点到 轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解： 点 在第四象限，且点 到 轴的距离是3，到 轴的距离是2，
点 的横坐标是2，纵坐标是 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决
的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限；第四象限 ．
7．（2023•义乌市期末）已知点 的坐标 ，且点 到两坐标轴的距离相等，
则点 的坐标是 或 ．
【分析】点 到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求
出 的值，从而求出点的坐标．
【解答】解： 点 到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，
分以下两种情考虑：
①横纵坐标相等时，即当 时，解得 ，
点 的坐标是 ；
②横纵坐标互为相反数时，即当 时，解得 ，
点 的坐标是 ．
故答案为 或 ．
【点评】因为这个点到两坐标轴的距离相等，即到坐标轴形成的角的两边距离相等，所以
这个点一定在各象限的角平分线上．
8．（2022•淄川区期末）已知 ， 都是实数，设点 ，若满足 ，则称点
为“梦想点”．
（1）判断点 是否为“梦想点”；
（2）若点 是“梦想点”，请判断点 在第几象限，并说明理由．
【分析】（1）直接利用“梦想点”的定义得出 ， 的值，进而得出答案；
（2）直接利用“梦想点”的定义得出 的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当 时， ， ，
所以 ，
所以 是“梦想点”；（2）点 在第三象限，
理由如下：
点 是“梦想点”，
，
解得 ，
， ，
点 在第三象限．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“梦想点”的定义是解题关键．
二．规律型：点的坐标（共9小题）
9．（2023春•息县期末）在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，点 ， ， ，
， ， 均为格点，且按如图所示的规律排列在直线 上，若点 的纵坐标为 ，
则 的值为
A．4044 B．4045 C．4046 D．4047
【分析】根据图中规律，若 的纵坐标为 ，则可知点 为偶数格点．根据点 的纵坐标与 的关系可求得 ．
【解答】解：各格点坐标为 ， ， ， ， ，
，
根据规律，奇数格点坐标为 ， ，1， ；
偶数格点坐标为 ， ，1， ．
点 的纵坐标为 ，
为偶数格点，
，解得 ．
．
故选： ．
【点评】本题考查点的坐标的规律，解答这种题型的关键是找到各点坐标的变化规律．
10．（2023春•西城区校级期中）如图，一个粒子在第一象限和 轴， 轴的正半轴上运动，
在第1秒内，它从原点运动到 ，接着它按图所示在 轴， 轴的平行方向来回运动，
即 ， ， ， ， ， ，且每秒运动一个单位长度，那么
2023秒时，这个粒子所处位置为
A． B． C． D．【分析】根据现有点 、 、 、 分析点的运动时间和运动方向，可以得出
一般结论，设点 ，当 为奇数时，运动了 秒，方向向下；当 为偶数时，运
动了 秒，方向向左；然后利用这个结论算出2023秒的坐标．
【解答】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置： 运动了 秒，方向向下，
位置： 运动了 秒，方向向左，
位置： 运动了 秒，方向向下，
位置： 运动了 秒，方向向左；
总结规律发现，设点 ，
当 为奇数时，运动了 秒，方向向下；
当 为偶数时，运动了 秒，方向向左；
， ，
到 处，粒子运动了 秒，方向向左，
故到2023秒，须由 再向左运动 秒，
，
2023秒时，这个粒子所处位置为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了点的坐标，数形结合并发现点运动的坐标规律是解题的关键．
11．（2023•沈河区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点叫做点 伴随点，已知点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的
伴随点为 ， ，这样依次得到点 ， ， ， ， ， 若点 的坐标为 ，则
点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每 4个点为一个循环组依次循
环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点 的坐标即可．
【解答】解： 的坐标为 ，
， ， ， ，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点 的坐标与 的坐标相同，为 ．
故选： ．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每
4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
12．（2023春•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，动点 按图中箭头所示方向从原
点出发，第 1次运动到点 ，第 2次接着运动到点 ，第 3次接着运动到点
， ， 按 这 样 的 运 动 规 律 ， 点 的 坐 标 是 ．【分析】分析点 的运动规律，找到循环次数即可．
【解答】解：分析图象可以发现，点 的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动
四个单位．
，
当第504循环结束时，点 位置在 ，在此基础之上运动三次到 ．
故答案为： ．
【点评】考查了规律型：点的坐标，本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中
每运动多少次形成一个循环．
13．（2023•双流区校级期中）在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把
叫做点 的伴随点，已知点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点
的伴随点为 ，这样依次得到点 ， ， ， ， 若点 的坐标为 ，则点
的坐标为 ，点 的坐标 ．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每 4个点为一个循环组依次循
环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点 的坐标即可．
【解答】解： 的坐标为 ，
， ， ， ， ，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，点 的坐标与 的坐标相同，为 ．
故答案为 ； ．
【点评】本题考查规律型 点的坐标，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4
个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
14．（2023春•西华县期末）将一组数 ， ，3， ， 按下面的方法进
行排列：
若 的位置记为 ， 的位置记为 ，则这组数中最大的有理数的位置记为
．
【分析】每相邻的二次根式的被开方数是3的倍数，故求 ，一行6个数，得
， 位于第五行第五个数，进而得 位于第五行第三个数．
【解答】解：由题意可知，一行6个数，每个数都为3的倍数，
可得 ， ，
位于第五行第五个数，记作 ，
这组数中最大的有理数是 ，
位于第五行第三个数，记作 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了算术平方根和数字变化规律，掌握算术平方根的定义，根据数字变
化规律找出90位于第五行第五个数是解题关键15．（2023春•庐江县期中）在平面直角坐标系中，一点从 开始按向右、向上、向
右、向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据规律，
解决下列问题．
（1）点 的坐标为 ；
（2）点 的坐标为 ；
（3）求出点 到点 的距离．
【分析】（1）通过图象，推理可得到 的坐标情况，
（2）通过分析各个点的坐标，找到对应的规律，通过分别讨论每个点的横、纵坐标来总结
规律．
（3）通过（2）的规律，求得 的点的坐标，通过两点间坐标求出距离．
【解答】解：（1）由图中可知， 、 、 、 、 、
、 ，
故答案为： ，
（2）根据各点坐标的规律可知， 为偶数时， 的横坐标为 ，
为奇数时， 的横坐标为 ，
的纵坐标为4次一循环，循环顺序为 ，
为奇数，
点 的横坐标为 ，，
点 的纵坐标为 ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ，
（3）根据上边规律，可求点 的坐标为 ，
到 的距离为 ．
【点评】本题考查同学们在平面直角坐标系中，循环问题的循环规律，通过奇偶性的不同
来分别讨论，通过横纵坐标的不通规律分别讨论，最后通过坐标上两点间的距离求解．
16．（2022春•丹江口市期中）综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点 ， ， ， ，连接
， ， ， ， ，并依次取 ， ， ， ， 的中点 ， ， ，
， ，分别写出 ， ， ， 的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，
猜想：若线段 两端点坐标分别为 ， 、 ， ，线段 的中点是 ，
，请用等式表示你所观察的规律 ，并用 ， 的坐标验证规律是否
正确 （填“是”或“否” ；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标为 ；
②已知点 是线段 的中点，且点 ， ，求点 的坐标．【分析】（1）根据图形直接读出坐标即可；
（2）根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线
段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，将规律用等式表示出来，再将 ，
坐标代入等式验证即可；
（3）①根据（2）中得到的规律直接求解即可；
②先设点 的坐标为 ，再根据（2）中得到的规律直接求解即可．
【解答】解：（1）根据图形可以直接读取各点坐标， ， ， ，
， ，
， ， ， 的坐标分别为： ， ， ， ；
（2）根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线
段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
， 、 ， ，线段 的中点是 ， ，，
， ， ， ， ， 、 分别为线段 、 的中点，
检验得， ， ，
通过 ， 的坐标验证规律是正确的，
故答案为： ，是；
（3）① 点 ，点 ，
根据（2）中发现的规律，线段 的中点 的坐标为 ， ， ，
故答案为： ；
②设点 的坐标为 ，
点 是线段 的中点，且点 ， ，
，
，
点 的坐标为 ．
【点评】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题
的关键．
17．（2021•辽阳县期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 出发，按向上、向右、
向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标： ， ， ， ， ， ．
（2）写出点 的坐标 是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点 到点 的移动方向．
【分析】（1）在平面直角坐标系中可以直接找出答案；
（2）根据求出的各点坐标，得出规律；
（3）点 中的 正好是4的倍数，根据第二问的答案可以分别得出点 和 的坐标，
所以可以得到蚂蚁从点 到 的移动方向．
【解答】解：（1） ， ， ；
（2）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ；
（3）点 中的 正好是4的倍数，所以点 和 的坐标分别是 ， 的
，所以蚂蚁从点 到 的移动方向是从下向上．
【点评】本题主要考查的是在平面直角坐标系中确定点的坐标和点的坐标的规律性．运用
由特殊到一般的数学思想方法得到一般规律是解决问题的关键．
三．坐标确定位置（共9小题）18．（2023春•集贤县期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标 用 表示，目
标 用 表示，则表示为 的目标是
A．目标 B．目标 C．目标 D．目标
【分析】根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即
可．
【解答】解： 目标 用 表示，目标 用 表示，
第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
表示为 的目标是： ．
故选： ．
【点评】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际
意义是解题的关键．
19．（2022•顺德区校级期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用 表示教学
楼， 表示旗杆，则实验楼的位置可表示成A． B． C． D．
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：实验楼的位置可表示成 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
20．（2023春•鼓楼区校级期中）如图是象棋盘的一部分，若“帅”用有序实数对 表
示，“相”用有序实数对 表示，则“炮”用有序实数对 表示．
【分析】根据“帅”用有序实数对 表示，“相”用有序实数对 表示，进而写出
“炮”的坐标即可求解．
【解答】解： “帅”用有序实数对 表示，
“相”用有序实数对 表示，
“炮”用有序实数对 表示．
故答案为： ．
【点评】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．21．（2023•秦都区校级期中）小辉在父母的带领下，周末到秦岭野生动物园游玩，回到家
后，他利用平面直角坐标系画出了记忆中秦岭野生动物园的部分示意图（如图）．可是他
忘记了在图中标出原点、 轴和 轴，已知非洲狮区的坐标为 ，孟加拉白虎区的坐
标为 ．
（1）请你帮他画出平面直角坐标系；
（2）写出天鹅湖与猛禽区的坐标．
【分析】（1）根据非洲狮区和孟加拉白虎区的坐标，可以画出相应的平面直角坐标系；
（2）根据（1）中的坐标系，可以写出天鹅湖与猛禽区的坐标．
【解答】解：（1） 非洲狮区的坐标为 ，孟加拉白虎区的坐标为 ，
建立平面直角坐标系如图所示；
（2）由坐标系可知：
天鹅湖的坐标为 ，猛禽区的坐标为 ．【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标
系．
22．（2023春•商南县校级期末）“歼 ”是我国自主研制的第五代战斗机，属于单
座双发隐形战斗机，具备高隐身性、高态势感知、高机动性的特点．如图，小静将一张
“歼 ”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点 的坐标为 ，点 的坐标
为 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据点 的坐标为 ，点 的坐标为 建立平面直角坐标系，得出点
的坐标即可．
【解答】解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
坐标原点在点 左侧两个单位处，建立如图所示的平面直角坐标系，点 的坐标为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据已知点的坐标，建立平面直角
坐标系．
23．（2023春•西城区校级期中） 算法是一种“机器学习算法”，常用于自动对事物
进行分类．如果所涉及的事物都只含两个数量特征， 算法就会把这些事物抽象成一个
个的有序实数对，进而对应到平面直角坐标系上的一个个点， 算法的流程如下：
（1）收集样本数据，包括所选样本的特征和对应的类别；
（2）选取一个合适的正整数 ；
（3）对于一个未分类的新事物，计算其与样本数据中的所有样本在平面直角坐标系中的直
线距离，并选取距离最近的 个样本；
（4）统计这 个样本对应的类别，将出现次数最多的类别分配给新事物，即新事物的预
测分类．
现打算用 算法实现一个系统，可以自动判断足球球员的场上位置．已知某赛季中 9名
球员的进球数、助攻数和场上位置如下：
球员1：进球数 ，助攻数 ，前锋
球员2：进球数 ，助攻数 ，中场
球员3：进球数 ，助攻数 ，后卫
球员4：进球数 ，助攻数 ，中场
球员5：进球数 ，助攻数 ，后卫
球员6：进球数 ，助攻数 ，中场
球员7：进球数 ，助攻数 ，前锋球员8：进球数 ，助攻数 ，后卫
球员9：进球数 ，助攻数 ，前锋
现有一名球员，在该赛季中进球数为8，助攻数为5，以上为样本数据，选取 ，利用
算法预测该球员的场上位置为 中场 ．
【分析】按照图象进行判断即可．
【解答】解：观察坐标轴，发现：后卫集中于直线 和直线 区域，中场集中于直
线 和直线 区域，前锋集中于直线 和直线 区域．
一名球员，在该赛季中进球数为8，助攻数为5，坐标为 ，
故该球员的场上位置为中场，
故答案为：中场．
【点评】本题考查了坐标确定位置，按照图象进行判断是解题关键．
24．（2023春•文昌期末）已知点 在 轴上，则点 的坐标为 ．
【分析】根据 轴上点的坐标的横坐标为0，可得出 的值，代入即可得出点 的坐标．
【解答】解：由题意点 横坐标为0，即 ，
解得： ，
则点 的纵坐标为： ．
所以点 的坐标是 ．故答案为： ．
【点评】本题考查的是坐标轴上的点的坐标的特征，注意 轴上的点的横坐标为0．
25．（2023春•北屯市期中）如图是某学校的平面示意图，在 的正方形网格中，如果
校门所在位置的坐标为 ，教学楼所在位置的坐标为 ．
（1）请画出符合题意的平面直角坐标系；
（2）在（1）的平面直角坐标系内表示下列位置的坐标：
旗杆 ；体育馆 ；图书馆 ；实验楼 ．
【分析】（1）校门向右3个单位，向上3个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标
系即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各位置的坐标即可．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）旗杆 、体育馆： 、图书馆： 、实验楼： ．
故答案为： ， ， ，
【点评】本题考查了坐标位置的确定，确定出坐标原点的位置是解题的关键．
26．（2023春•鹿泉区校级期中）如图是某城市道路示意图：
（1）如果湘街与鲁路交叉道口点 的坐标记作 ，浙街与陕路交叉道口点 的坐标记
作 ，则此时 是 苏 街与 路的交叉道口；
（2）在（1）的条件下渝街与陕路交叉道口的坐标记作 ；沪街与京路交叉道口的坐标
记作 ；
（3）用有序数对写出2种从 地到 地的最短路线，如： — — — —
— ．【分析】（1）根据点 和点 的坐标，即可找到 的位置；
（2）参照 的位置，可得其他交叉道口的坐标；
（3）答案不唯一，要求路程总长最短即可．
【解答】解：（1）此时 是苏街与冀路的交叉道口，
故答案为：苏，冀；
（2）以苏街与冀路的交叉道口为 ，
则渝街与陕路交叉道口的坐标记作 ，
沪街与京路交叉道口的坐标记作 ，
故答案为： ， ；
（3）最短路线可以为： — — — — — ，
或 — — — — — ．
【点评】本题考查了确定位置，解题的关键是用已知点的位置做参照，找到其他位置．
四．坐标与图形性质（共9小题）
27．（2023•东台市一模）在平面直角坐标系中，直线 平行于 轴， 点坐标为 ，
点坐标可能为
A． B． C． D．
【分析】根据平行于 轴的直线上的点的横坐标相同，进行判断即可．
【解答】解： 直线 平行于 轴，
点 ， 的横坐标相同，
点坐标为 ，
点坐标的横坐标为 ，
所以 ， ， ，不符合题意， ，符合题意；故选： ．
【点评】本题考查坐标系下点的规律探究．熟练掌握平行于 轴的直线上的点的横坐标相
同，是解题的关键．
28．（2023春•红旗区校级期中）已知点 、 、 的坐标分别为 、 、
（1）若点 在 轴上，求 的值；
（2）若 所在的直线 轴，则 的长为多少？
（3）且点 到两坐标轴的距离相等，求点 的坐标．
【分析】（1）根据平面直角坐标系中 轴上点的横坐标为0进行求解；
（2）根据平面直角坐标系中平行于 轴的直线上点的纵坐标相等进行求解；
（3）根据平面直角坐标系中到两坐标轴距离相等的点的横、纵坐标相等或互为相反数进行
求解．
【解答】（1）由题意得 ，
解得 ；
（2）由题意得 ，
解得 ，
，
的长为4；
（3）由题意得 或 ，
解得 或 ，
当 时，
， ；
当 时，
， ；
点 的坐标为 或 ．
【点评】此题考查了解决平面直角坐标系中特殊关系点间坐标关系问题的能力，关键是能
准确理解并运用坐标轴上点的坐标、平行于坐标轴直线上点的坐标、到两坐标轴距离相等
的点的坐标规律．29．（2024•贵州一模）如图， 是平面直角坐标系 中 轴上一点，其坐标为 ．
现以点 为圆心、13为半径画圆，交 轴的负半轴于点 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：连接 ，
因为点 坐标为 ，
所以 ，
又因为 的半径为13，
即 ．
在 中，
，
所以点 的坐标为 ．
故选： ．
【点评】本题考查坐标与图形性质，通过连接 利用勾股定理是解题的关键．
30．（2023春•雨花区校级月考）已知点 ， ，则直线
A．平行于 轴 B．平行于 轴 C．垂直于 轴 D．以上都不正确
【分析】平行于 轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于 轴的直线上的点的横坐标相同．【解答】解： 点 ， 的横坐标相同，
直线 平行于 轴．
故选： ．
【点评】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的特征，充分理解坐标的含义是解题的关
键．
31．（2023春•涪城区期末）已知 轴， ， ，则 点坐标为
或 ．
【分析】由 平行于 轴可知， 、 两点纵坐标相等，再根据线段 的长为5， 点
可能在 点的左边或右边，分别求 点坐标．
【解答】解： 轴，
、 两点纵坐标相等，都是4，
又 的坐标是 ，线段 的长为5，
当 点在 点左边时， 的坐标为 ，
当 点在 点右边时， 的坐标为 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点及分类讨论的解题思想，根据
点位置不确定得出两种情况，此题易出现漏解．
32．（2023•南岗区校级开学）线段 的长为10，且平行于 轴，已知点 的坐标为
，则点 的坐标为 或 ．
【分析】根据平行于 轴，得到点 与点 横坐标相等；再根据 的长和点 纵坐标求
出点 的纵坐标，便得到点 的坐标．【解答】解： 线段 平行于 轴，
点 的横坐标为 ；
又 线段 的长为10，
点 的纵坐标为： 或 ，
点 的坐标为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是分两种情况讨论出点 的纵坐标．
33．（2023春•雨花区月考）在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， 与
，我们重新定义这两点的“距离”．
①当 时， 为点 与点 的“远距离” ，即 ，
；当 时，以 为点 与点 的“远距离” ，即
， ．
② 点 与 点 的 “ 总 距 离 ” 为 与 的 和 ， 即 ，
．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知 则 3 ， ；
（2）若点 在第一象限，且 ．求点 的坐标．
（3）若点 ， ， ，且 ，已知点 ， ，点 向左平移 个单位得到点 ，且 ，求点 的坐标．
【分析】（1）根据新定义直接代入求解即可得到答案；
（2）根据新定义分两类讨论列式求解即可得到答案；
（3）根据新定义的得到 点坐标关系，结合平移得到点 的坐标，根据 列式得
到 ， 的关系，求解即可得到答案．
【解答】解：（1） ， ，
，
， ，
故答案为：3，5；
（2） 在第一象限，
，
解得： ，
，
， ，
①当 时，即 ，
，
，
点 坐标为 ，
②当 时，即 ，
，
，解得： ；
点 坐标为 ，
综上所述点 坐标为： 或 ；
（3） 点 ， ， ，且 ，
，
点 向左平移 个单位得到点 ，
，
， ，
，
，
联立解得： ，
点 的坐标为： ；
【点评】本题考查新定义，解二元一次方程组，平面内点到直线的距离关系，解题的关键
是读懂新定义，注意分类讨论．
34．（2023春•呼和浩特期末）如图， 、 两点的坐标分别为 ， ，点 是 轴
上一点，且 的面积为6，则点 的坐标为 或 ．【分析】设 点坐标为 ，则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求
出 的值，再写出 点坐标．
【解答】解：如图，设 点坐标为 ，
根据题意得 ，
解得 或9，
所以 点坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查
了三角形的面积公式．
35．（2023春•天山区校级期末）已知平面直角坐标系中有一点 ．
（1）若点 到 轴的距离为3，求点 的坐标？
（2）若点 的坐标为 ，且 轴，求点 的坐标？
【分析】（1）根据题意可知 的绝对值等于3，从而可以得到 的值，进而得到件
的坐标；
（2）根据题意可知点 的纵坐标等于点 的纵坐标，从而可以得到 的值，进而得到件
的坐标．
【解答】解：（1） 点 ，点 到 轴的距离为3，
，
解得， 或 ，当 时，点 的坐标为 ，
当 时，点 的坐标为 ；
（2） 点 ，点 且 轴，
，
解得， ，
故点 的坐标为 ．
【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是明确题意，求出 的值．
五．两点间的距离公式（共9小题）
36．（2023春•乌鲁木齐期末）（1） 、 两点间的距离为 5 ；
（2） 、 两点间的距离为 ；
（3） 、 两点间的距离为 ．
【分析】（1）、（2）、（3）根据两点间的距离公式进行解答即可．
【解答】解：（1） ．
故答案为：5；
（2） ；
故答案为：8；
（3） ．
故答案为：6．
【点评】本题考查了两点间的距离公式．熟记公式是解题的关键，比较简单．
37．（2022•七星关区期末）在平面直角坐标系中，有 ， 两点，若轴，则 ， 两点间的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用与 轴平行的直线上点的坐标特征得到 ，求出 得到 、 点的坐
标，然后计算它们的横坐标之差得到 、 两点间的距离．
【解答】解： 轴，
点和 点的纵坐标相等，
即 ，解得 ，
， ，
、 两点间的距离为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了两点间的距离公式：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接使用两
点间的距离公式．也考查了与 轴平行的直线上点的坐标特征．
38．（2021•景德镇期末） ， ， ， 是平面直角坐标系中的任意两点，我们
把 叫做 ， 两点间的“直角距离”，记作 ， ．比如：点
， ，则 ，已知 ，动点 满足
，且 、 均为整数，则满足条件的点 有 个．
A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】由条件可得到 ，分四种情况：① ， ，②
， ，③ ， ，④ ， ，进行讨论即
可求解．
【解答】解：依题意有
，
① ， ，解得 ， ；
② ， ，
解得 ， ， ， ；
③ ， ，
解得 ， ， ， ；
④ ， ，
解得 ， ．
故满足条件的点 有12个．
故选： ．
【点评】考查了两点间的距离公式，本题为新概念题目，理解题目中所给新定义是解题的
关键，注意分类讨论思想的应用．
39．（2022春•南宫市期末）点 到 轴的距离为 8 ，到 轴的距离为 ，到
原点的距离为 ．
【分析】根据横坐标的绝对值就是点到 轴的距离，纵坐标的绝对值就是到 轴的距离．
根据两点之间的距离公式便可求出点到原点的距离．
【解答】解：由点 可知，此点到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，到
原点的距离为 ．
故答案为：8、6、10．
【点评】解答此题的关键是熟知点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．
40．（2023春•巢湖市校级期中）已知点 的坐标为 ，点 在 轴上，当 、 两点间的距离最短时，点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据垂线段最短确定答案即可．
【解答】解： 点 的坐标为 ，点 在 轴上，
当 垂直 轴时， 、 两点间的距离最短时，
此时点 的坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了两点间的距离公式的知识，解题的关键是了解垂线段最短，难度不
大．
41．（2021 春•广阳区校级期中）在平面直角坐标系中，有 ， ，
三点．
（1）当点 在 轴上时，求点 的坐标为 ；
（2）当 轴时，求 ， 两点间的距离为 ；
（3）当 轴于点 ，且 时，点 的坐标为 ．
【分析】（1）利用 轴上点的坐标特征得到 ，求出 得到 点坐标；
（2）利用与 轴平行的直线上点的坐标特征得到 ，求出 得到 、 点的坐标，
然后计算两点之间的距离；
（3）利用垂直于 轴的直线上点的坐标特征得到 ，然后求出 得到 点坐标．
【解答】解：（1） 点 在 轴上，
，解得 ，
点坐标为 ；
故答案为： ；
（2） 轴，
、 点的纵坐标相同，，解得 ，
， ，
， 两点间的距离 ；
故答案为：4；
（3） 轴， ，
，解得 ，
点坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，涉及点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征．
42．（2023春•西乡塘区校级期中）已知点 与点 在同一平面直角坐标
系中，且 轴，则 、 两点间的距离为 2 ．
【分析】由 轴可知点 、 的横坐标相等，即可求出 的值，再求出两点坐标，最
后求解即可．
【解答】解： 轴，
，
，
点 ， ，
点 、 间的距离为： ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查坐标系中求线段的长度，掌握两点所连接的线段与坐标轴平行时对
应的横纵坐标的规律是解决本题的关键．
43．（2023春•鼓楼区校级期末）国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方
格中的随意一个，那么国王从格子 ， 走到格子 ， 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点 ， 与 ，
的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若 ，则点 ， 与
， 的“切比雪夫距离”为 ；若 ，则点 ， 与
， 的“切比雪夫距离”为 ；
（1）已知 ，
①若 的坐标为 ，则点 与 的“切比雪夫距离”为 3 ；
②若 为 轴上的动点，那么点 与 “切比雪夫距离”的最小值为 ；
（2）已知 ， ，设点 与 的“切比雪夫距离”为 ，若 ，求
（用含 的式子表示）．
【分析】（1）①结合题意，根据“切比雪夫距离”的定义求解即可；②设点 ，分
和 两种情况讨论，即可获得答案；
（2）结合已知条件，分两种情况讨论：当 时，由 ，
，可确定此时点 与 的“切比雪夫距离”；当 时，易得
， ，令 ，解得 ，即当 时，点 与 的
“切比雪夫距离” ；当 时，可有 ，此时点 与 的“切比雪夫
距离” ．即可获得答案．
【解答】解：（1）① ， ，
又 ， ，，
根据“切比雪夫距离”的定义，点 与 的“切比雪夫距离”为3．
②若 为 轴上的动点，则可设点 ，
当 时， ，
又 ，
，
此时点 与 “切比雪夫距离”的值为 ；
当 时， ，
又 ，
，
此时点 与 “切比雪夫距离”的值为2．
综上所述，若 为 轴上的动点，那么点 与 “切比雪夫距离”的最小值为2．
（2）根据已知条件， ， ，
则当 时，
，
，
此时点 与 的“切比雪夫距离” ；
当 时，
可有 ， ，
令 ，解得 ，即当 时，可有 ，此时点 与 的“切比雪夫距离” ，
当 时，可有 ，此时点 与 的“切比雪夫距离” ．
综上所述，点 与 的“切比雪夫距离” ．
【点评】本题主要考查了新定义“切比雪夫距离”、平面直角坐标系中点的坐标特征、化
简绝对值以及一元一次不等式的应用等知识，理解题意，灵活运用相关知识是解题关键．
44．（2023春•繁峙县期中）阅读下面的文字，并完成相应的任务．
两点间的距离公式
如果平面直角坐标系内有两点 ， ， ， ，那么两点的距离
，则 ．
例如：若点 ， ，则 ．
若点 ， ，且 ，则 ．
任务：（1）若点 ， ，则 ， 两点间的距离为 ．
（2）若点 ，点 在 轴上，且 ， 两点间的距离是10，求 点的坐标．
【分析】（1）根据两点间的距离公式，代入求值即可；
（2）可设点 的坐标为 ，代入两点间的距离公式，求出 的值，即可求出 点的坐
标．
【解答】解：（1）根据题意可得，
，
， 两点间的距离为 ．
故答案为： ；
（2）设点 的坐标为 ，根据题意可得，
，，解得： 或 ，
点的坐标为 或 ．
【点评】本题考查了两点间的距离公式以及点的坐标，熟读阅读材料并能应用，结合求平
方根知识点求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
六．坐标与图形变化-平移（共6小题）
45．（2023春•播州区期中）在平面直角坐标系中，将线段 向左平移3个单位长度，再
向下平移2个单位长度后，得到如图所示的线段 ，线段 的中点 的坐标如图，则
平移前线段 的中点的坐标是
A． B． C． D．
【分析】逆向思考，把点 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后可得到平
移前该点的坐标．
【解答】解：根据平移法则，把点 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，
可得到平移前该点的坐标为 ，即 ．
故选： ．
【点评】本题考查了坐标与图形变化 平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐
标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
46．（2023春•长沙县期末）将点 先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得
到点 ，则点 的坐标为 ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：原来点的横坐标是2，纵坐标是 ，先向左平移1个单位，再向上平移3个
单位得到新点的横坐标是 ，纵坐标为 ，即为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了坐标与图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左
减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
47．（2023春•营口期末）如图，点 向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位
长度，得到点 ；点 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点 ；点
向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点 ；点 向上平移4个单位
长度，再向右平移8个单位长度，得到点 ； 按这个规律平移得到点 ，则点 的横
坐标为 ．
【分析】从特殊到一般探究规律后，利用规律即可解决问题；
【解答】解：点 的横坐标为 ，点 的横坐为标 ，点 ：的横坐标为
，点 的横坐标为 ，
按这个规律平移得到点 为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查坐标与图形变化 平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
48．（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系中，线段 平移得到的线段记为线段
．其中点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ．
（1）若 ， ， ，则点 的坐标为 ；
（2）已知 ， ， ， ，请写出 和 之间的数量关系，
并说明理由．
【分析】（1）设点 的坐标为 ， ，根据平移的性质列出方程组
，解方程组即可；
（2）根据平移的特点得出 ，整理即可得出答案．
【解答】解：（1）设点 的坐标为 ， ，根据题意得：
，
解得： ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
（2） ；理由如下：
线段 平移得到的线段记为线段 ，其中点 的对应点是点 ，点 的对应点是
点 ，
，
整理得： ．
【点评】本题主要考查了坐标平移的特点，解题的关键是熟练掌握坐标平移的性质，列
出相应的等式．49．（2023春•鹿泉区校级期中）若 ，在平面直角坐标系中，将点 分别向左、
向上平移5个单位，可以得到的对应点的位置在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据向左平移，横坐标减，纵坐标不变，向上平移，横坐标不变，纵坐标加，求
出点的横坐标与纵坐标，再根据各象限内点的坐标特征即可求解．
【解答】解：将点 分别向左、向上平移5个单位，
可得： ，即 ，
，
，
点 在第二象限，
故选： ．
【点评】本题考查了平移与坐标与图形的变化的关系，熟记平移中点的变化规律是：横坐
标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系内各
象限点的坐标特征．
50．（2023春•潮阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点
的坐标分别是 ， ， ，三角形 中任意一点 ， ，经平移后
对应点为 ， ，将三角形 作同样的平移得到三角形 ，点 ，
的对应点分别为 ， ， ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）①画出三角形 ；
②写出三角形 的面积；
（3）过点 作 轴，交 于点 ，则点 的坐标为 ．【分析】（1）由平移的性质可得 向左平移6个单位，向上平移2个单位，即可求解；
（2）①根据点的坐标画出图形即可；
②由面积的和差关系可求解；
（3）由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1） 三角形 中任意一点 ， ，经平移后对应点为 ，
，
向左平移6个单位，向上平移2个单位，
三角形 三个顶点的坐标分别是 ， ， ，
点 ，点 ，点 ，
故答案为： ， ；
（2）①如图所示：②△ 的面积 ；
（3） ，
，
点 ，
点 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了坐标与图形变化 平移，考查了平移的性质，三角形的面积公式，灵
活运用这些性质解决问题是解题的关键．
