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四边形中的折叠问题（20题）
一．选择题（共5小题）
1．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折
叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角
形，P 为 AB 的中点，利用三线合一得到 DP 为角平分线，得到∠ADP＝
30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到
∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵DC′是AB的垂直平分线，
∴P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：D．
2．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若
∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】折叠后，四边形 CDMN 与四边形 C′D′MN 关于 MN 对称，则∠DMN＝
∠D′MN，同时∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，所以∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣
40°）÷2＝70°，根据四边形内角和360°即可求得∠MNC'的度数．
【解答】解：四边形 CDMN 与四边形 C′D′MN 关于 MN 对称，则∠DMN＝
∠D′MN，
且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，
∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°
由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，
∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°
故选：B．
3．如图，已知矩形 ABCD，将△BCD 沿对角线 BD 折叠，记点 C 的对应点为 C'，若
∠ADC'＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
【分析】由折叠的性质可知∠BDC＝∠BDC′，故∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝
∠BDC﹣20°，根据∠ADB+∠BDC＝90°，列方程求∠BDC．
【解答】解：由折叠的性质，得∠BDC＝∠BDC′，
则∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，
∵∠ADB+∠BDC＝90°，
∴∠BDC﹣20°+∠BDC＝90°，
解得∠BDC＝55°．
故选：A．
4．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，
将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要
使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（ ）A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】证出∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，即可解决问题．
【解答】解：由折叠的性质得：∠BAE＝∠CAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，
∴∠BAE＝ ×90°＝30°，
故选：A．
5．如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，
下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①△BDF是等腰三角形；②DE＝ BC；
③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】解：①∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，
又∵△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BFD，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；
同理可证，△CEF是等腰三角形，∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，故②正确；
∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，
∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．
而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．
所以一定正确的结论个数有3个，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
6．如图1，在一张长方形纸片 ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图
2），当∠1＝70°时，∠KNC＝ 40 ° （注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，
AD∥BC）．
【分析】由折叠的性质可得∠1＝∠NMK＝70°，由平行线的性质可求∠MNK＝∠1＝
70°，∠CNM＝110°，即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠MNK＝∠1＝70°，
由折叠的性质可得：∠1＝∠NMK＝70°，
∵CN∥BM，
∴∠CNM+∠KMN＝180°，
∴∠CNM＝110°，
∴∠KNC＝40°，
故答案为：40°．
7．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在
AB边上的点P处．若∠CDE＝50°，则∠APD等于 50 ° ．
【分析】根据折叠的性质和中位线定理得出结论．【解答】解：由折叠得：∠PDE＝∠CDE＝50°，
∵D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，
∴DE∥AB，
∴∠APD＝∠PDE＝50°，
故答案为：50°．
8．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点
E处，则∠A等于 3 0 度．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到 EC＝AE，从而得到∠A
＝∠ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠B＝2∠A，从而不难求得∠A的
度数．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵△CED是由△CBD折叠而成，
∴∠B＝∠CED，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝2∠A，
∴∠B＝2∠A，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝30°．
故答案为：30．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边
BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝6，AB＝10，则点
E的坐标是 （ 1 0 ， ） ．
【分析】根据题意AF＝AB＝10，由勾股定理可以得到OF，进而得CF的长度，设CE
＝a，则EF＝BE＝6﹣a，由勾股定理列出a的方程求得a的值，便可求得E点坐标．【解答】解：设CE＝a，则BE＝6﹣a，
由题意可得，EF＝BE＝6﹣a，
由对折知，AF＝AB＝10，
∴ ，
∴CF＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，
∵∠ECF＝90°，
∴a2+22＝（6﹣a）2，
解得，a＝ ，
∴点E的坐标为（10， ），
故答案为（10， ）．
10．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴
上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点
E，若B（2，4），则OE的长为 ．
【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在
Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB，根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠ECA＝∠EAC，
∴EC＝EA，
∵B（2，4），
∴AD＝AB＝4，
设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，
即（4﹣x）2＝x2+4，
解得：x＝ ，
∴OE＝ ，
故答案为： ．
11．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与
点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 8 ．
【分析】连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，根据矩形的性质和折叠的性质解
答即可．
【解答】解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝ ，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
12．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝ 75 ° ．
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可以求得∠AEF的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵∠BAF＝60°，∠BAD＝90°，
∴∠FAD＝30°，
由折叠的性质可得，∠FAE＝∠DAE，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠FAE＝∠DAE＝ ∠FAD＝15°，
∴∠AEF＝∠AFE﹣∠FAE＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
三．解答题（共8小题）
13．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得
到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？
【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理得出 AE的长，进而求出EN的长，再利用
勾股定理求出FN的长，进而求出DF即可．
【解答】解：作FN⊥BC，FM⊥DC，垂足分别为N，M，连接BF，交AE于K，
∵正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，
∴BE＝2，
∴AE＝2 ，
∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，
∴BF⊥AE，
∴AB×BE＝BK×AE，
∴KB＝KF＝ ，
设EN＝x，则22﹣x2＝（ ）2﹣（2+x）2，解得：x＝ ，
故FN＝ ＝ ，
则DM＝6﹣ ＝ ，FM＝NC＝6﹣2﹣ ＝ ，
则DF＝ ＝ ．
14．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，
直接MN交BC于点M，交AD于点N．求证：四边形AMCN是菱形．
【分析】由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CMN是等腰三角形，即CM＝CN，即
可证得AM＝CM＝CN＝AN，即可得四边形AMCN是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠NMC，
由折叠的性质，可得：∠ANM＝∠CNM，AM＝CM，AN＝CN，
∴∠NMC＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴AM＝CM＝CN＝AN，
∴四边形AMCN为菱形．
15．如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A
与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出
EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
又∵A点与D点重合，
∴AO＝DO，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
∵点A与点D关于直线EF对称，
∵EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
16．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在
点E处，连接CE．求证：四边形AECD为菱形．【分析】先由△ADC≌△AEC，证得CD＝CE，∠DCA＝∠ACE，再根据CD∥AB，得
到∠DCA＝∠CAE，则EA＝EC，根据“四条边都相等的四边形是菱形”行证明．
【解答】证明：∵△ADC≌△AEC，∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECA（2分），
又梯形ABCD中，CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAE（3分）
∴∠CAE＝∠ACE（4分）∴AE＝CE，∴CD＝AE（5分）
∴四边形AECD为平行四边形，∵AE＝CE，
∴四边形AECD为菱形．（6分）
17．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点
落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落
在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二
次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．
【分析】连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD＝45°，而M点正
好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC＝
DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD＝ DG＝ CD．
【解答】解：连接DE，如图：
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD＝45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵DG为折痕，∴∠DGE＝90°＝∠C，
而DE＝DE，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），
∴DC＝DG，
∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AD＝ DG＝ CD，
∴矩形ABCD长与宽的比值为 ，
故答案为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚
好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上
点H处，且CE＝ BE．
（1）求AD的长；
（2）求FG的长．
【分析】（1）由折叠的性质可得AB＝AG＝15，AD＝AH，EB＝EG＝5x，∠B＝∠AGE
＝90°，∠D＝∠AHF＝90°，由勾股定理可求 CG＝3x，由余角的性质可求∠AGD＝
∠CEG，由锐角三角函数可得 ，即可求解；
（2）由锐角三角函数可得 ，即可求解．
【解答】解：（1）∵CE＝ BE，
∴BE＝5x，CE＝4x，
由折叠的性质可得：AB＝AG＝15，AD＝AH，EB＝EG＝5x，∠B＝∠AGE＝90°，∠D
＝∠AHF＝90°，
∴CG＝ ＝ ＝3x，
∵∠EGC+∠GEC＝90°＝∠EGC+∠AGD，
∴∠AGD＝∠CEG，∴sin∠CEG＝sin∠AGD＝ ，
∴ ，
∴AD＝9；
（2）∵AD＝9，AG＝15，
∴GH＝AG﹣AH＝6，
∵cos∠CEG＝cos∠AGD＝ ，
∴ ，
∴GF＝7.5．
19．如图，四边形ABCD是矩形．
（1）作∠A的角平分线AE，交BC于点E；
（2）把矩形ABCD沿AE折叠，使点 B刚好落在线段 AD上的F处，求证：四边形
ABEF是正方形．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAD的平分线；
（2）根据正方形的性质和翻折变换的性质可知得到四边形 ABEF是矩形，根据翻折变
换的性质得到AB＝AF，根据正方形的判定定理证明即可．
【解答】解：（1）如图，AE为所作；
（2）正方形的性质和翻折变换的性质可知，∠B＝∠BAF＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
由翻折变换的性质可知，AB＝AF，
∴四边形ABEF是正方形．
20．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，把这张纸片沿DE折叠，使点A与C
重合，连接CE，过点B作CE的平行线，与DE的延长线交于点F．
（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．
（2）当四边形BCEF为菱形时，求∠A的度数．【分析】（1）根据∠FDA＝90°，∠ACB＝90°，证明FD∥BC，得到结论；
（2）根据菱形的性质证明∠CBE＝2∠EAC，得到∠A的度数．
【解答】（1）证明：由题意得，∠FDA＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴FD∥BC，又BF∥CE，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）四边形BCEF为菱形，
∴CE＝CB，∴∠CEB＝∠CBE，
∵∠EAC＝∠ECA，∴∠CEB＝2∠EAC，
∴∠CBE＝2∠EAC，又∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°．
