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第九章 平面直角坐标系全章题型总结【5 个知识点 12 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 平面直角坐标系有关概念】
1.平面直角坐标系的概念：
平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
①坐标轴：水平的数轴称为 横轴（ x 轴） ；竖直的数轴称为 纵轴（ y 轴） 。
②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。
③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。
2.象限：
如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到
第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。【题型1 判断点所处的象限】
【例1】在平面直角坐标系中，若点A（m，n）在第四象限，则点B（﹣2﹣m，2﹣n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】不论m取何实数，点P（2﹣m，m+3）都不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【变式2】已知点P（a，b）在第一象限，则点Q（﹣a﹣b，−❑√a）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3】在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣3，m+1），则点P不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1 3
【变式4】已知：在平面直角坐标系xOy中，有一点P( a− ，2a−12)．
2 2
（1）小明说“点P不可能位于第二象限”，请判断这种说法是否正确，并说明理由；
（2）若点P位于第四象限，且横、纵坐标都是整数，求满足条件的整数a的值．
【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】
1.点的坐标：
横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标；
纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标；
2.象限内的点的坐标特点：
第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于 0；可以表示为 （ + ， + ） 。
第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于 0，纵坐标大于 0；可以表示为 （－， + ） 。
第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于 0，纵坐标小于 0；可以表示为（－，－）。
第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于 0，纵坐标小于 0；可以表示为 （ + ，－） 。
3.坐标轴上的点的坐标特点：
①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为 （ x ， 0 ） 。
②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为 （ 0 ， y ） 。
4.象限角平分线上的点的坐标特点：
①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。
②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。
5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。
7.点到坐标轴的距离：
点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。
点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。
【题型2 坐标轴上点的特征】
【例1】若点P（﹣3，a+2）在x轴上，则点Q（a﹣3，a+1）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】若点A（n﹣2023，2024）在y轴上，则点B（n﹣2024，n+1）在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【变式2】若点P（3m+1，2﹣m）在坐标轴上，则m的值是 ．
【变式3】已知点A（﹣3，2m﹣4）在x轴上，点B（n+3，4）在y轴上，则m+n＝ ．
【题型3 点到坐标轴的距离】
【例1】已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（3，3）或（1，﹣1） D．（1，﹣1）或（3，﹣3）
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点（10﹣a，a﹣4）到x轴的距离等于到y轴距离的一
半，则a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】已知点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 ．
【变式3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（2﹣a，2a），把点A到x轴的距离记作m，到y轴的
距离记作n．
（1）若a＝5，求mn的值；
（2）若a＞2，m+n＝7，求点A的坐标．
【题型4 点到坐标轴的距离】
【例 1】在平面直角坐标系中，点 P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则 m 的值为
（ ）
3 2 2
A．4 B． C．− D．4或−
2 5 5
【变式1】在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第二、四象限的角平分线上，则P点的坐标为
．【变式2】在平面直角坐标系中，点P（m，3）在第一象限的角平分线上，点Q（2，n）在第四象限角平
分线上，则m+n的值为 ．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣6m+4＝
0，b+2m﹣8＝0．
（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为 ；
（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；
（3）当a＜b时，则m的取值范围是 ．
【题型5 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征】
【例1】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（2﹣m，5），点Q的坐标为（8，2﹣3m），且PQ∥x
轴，则PQ＝ ．
【变式1】在平面直角坐标系中，有点A（a﹣2，a），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，且AB＝2，则
点A的坐标是 ．
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，1），B（2，3﹣b），C（4，5）．若AB∥x轴，
AC∥y轴，则a+b＝ ．
【变式3】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（2，﹣1），经过点A的直线a∥y轴，点C是直线a
上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为 ．
【变式4】在平面直角坐标系中，点A（m，n﹣1），B（m+4，n﹣1），C（﹣2，3），若CD∥AB且
1
CD= AB，则点D的坐标为 ．
2
【知识点3 利用坐标表示位置】
1.建立平面直角坐标系表示地理位置：
第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。
第二步：根据具体问题确定 单位长度 。
第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。
2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：
以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。
【题型6 利用坐标确定位置】
【例1】如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐
标系中，叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），则叶杆“底部”点C的坐标为
（ ）A．（﹣2，4） B．（4，﹣2） C．（3，0） D．（﹣1，3）
【变式1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面
直角坐标系，若“馬”的坐标为（1，2），“車”的坐标为（﹣2，2），则“炮”的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（4，0）
【变式2】如图，货船B与港口A相距35海里，货船B相对港口A的位置用有序数对（南偏西40°，35海
里）来描述，那么港口A相对货船B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里） B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里） D．（北偏东40°，35海里）
【变式3】“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”
今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．
如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建
立平面直角坐标系xOy，他们是这样描述自己的座位：
①小明：表示我座位的坐标为（﹣2，3）；
②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了；
③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了．
则表示小华、小亮座位的坐标分别为（ ）A．（2，5），（2，﹣1） B．（﹣4，5），（﹣4，0）
C．（4，2），（4，7） D．（2，5），（2，0）
【知识点4 点在坐标系中的平移】
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加
，向左平移时 减 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。
上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加
，向下平移时 减 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【题型7 点在坐标系中的平移】
【例1】在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后
所得点的坐标是（ ）
A．（m+3，n﹣2） B．（m+3，n+2） C．（m﹣3，n﹣2） D．（m﹣3，n+2）
【变式1】如果将点A（3，m+2）向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得（n﹣4，6），则（
）
A．m＝1，n＝9 B．m＝6，n＝10 C．m＝6，n＝9 D．m＝2，n＝10
【变式2】将点M（m，1﹣n）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点N（﹣2，3）重合，则
m+n的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【变式3】把点A（m﹣6，m+13）先向左平移25个单位长度，再向下平移43个单位长度得到点B，点B
正好落在x轴上，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（24，43） C．（31，17） D．（23，31）
【知识点5 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把
原图形向 右 ( 或向左 )平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向 上 ( 或向下 )平移a个单位长度．
【易错点剖析】平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标
发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下
减，横不变”．
【题型8 图形在坐标系中的平移】
【例1】已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C
（a+2，n），D（m，c﹣3），则m﹣n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【例2】如图，先将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形A B C ．
1 1 1
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对
应点P 的坐标为（﹣1，﹣1），请直接写出a，b的值；
1
（3）求三角形ABC的面积．
【变式1】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D
（a，n），则a﹣m+n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【变式2】如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，其中点A（0，3），点B（﹣4，﹣1），点C（1，
0），将三角形ABC的A，B，C三点中的任意一点平移至点P（4，2）的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．
【变式3】已知A（m﹣3，n），B（m，n﹣2）两点，将线段AB平移，平移后对应线段的一个端点落在y
轴上，另一个端点落在经过点（0，﹣1），且平行于x轴的直线l上，则点B对应点的坐标是
．
【变式4】如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点 A与点A′，点B与点
B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列
问题：
（1）点B′的坐标是 ，点C′的坐标 ，S△ABC ＝ ．
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中的方式平移后得到的对
应点为点N（2b﹣7，4﹣a），求a+b的值．
【题型9 坐标系中点的移动规律探究】
【例1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2
次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第 2024次运动
后，动点P的坐标是（ ）A．（2024，2） B．（2024，1） C．（2024，0） D．（2023，0）
【例2】如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A （0，1），第二次从点A 跳动到点
1 1
A （1，2），第三次从点A 跳动到点A （﹣1，3），第四次从点A 跳动到点A （﹣1，4），……，按
2 2 3 3 4
此规律下去，则点A 的坐标是（ ）
2024
A．（674，2024） B．（675，2024）
C．（﹣674，2024） D．（﹣675，2024）
【例3】如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A （﹣1，1），第二次点A 跳
1 1
动至点A
2
（2，1），第三次点A
2
跳动至点A
3
（﹣2，2），第四次点A
3
跳动至点A
4
（3，2），⋯⋯依此
规律跳动下去，则点A 与点A 之间的距离是（ ）
2023 2024A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【变式1】在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y﹣1，x+1），我们把点
P′（﹣y﹣1，x+1）叫做点P（x，y）的希望点．已知点P 的希望点为P ，点P 的希望点为P ，点P
1 2 2 3 3
的希望点为P ，这样依次得到P ，P ，P ，P ，…，P ，若点P 的坐标为（2，1），请计算点P 的
4 1 2 3 4 n 1 2024
坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣4，﹣1） D．（0，﹣3）
【变式2】如图所示，是一个粒子在第一象限以及x轴和y轴的正半轴上运动的轨迹图．粒子从原点开始，
运动到点（0，1）处用时1秒．随后，它按照轨迹在x轴和y轴的平行方向上做来回运动，具体路径为
（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…，并且每秒移动一个单位长度．那么2024
秒时，这个粒子将所处的位置是（ ）
A．（1，45） B．（0，44） C．（45，1） D．（44，0）
【变式3】在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐
标依次为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据规律，第2024
个整数点坐标为（ ）
A．（46，2） B．（45，3） C．（46，0） D．（45，1）
【变式4】找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A （0，0），A （1，1），A （2，
1 2 3
0），A （0，﹣2），A （﹣2，0），A （1，3），A （4，0），A （0，﹣4），A （﹣4，0），A
4 5 6 7 8 9 10
（1，5），A （6，0），则依图中所示规律，点A 的坐标为（ ）
11 2027A．（1012，0） B．（﹣1012，0） C．（0，﹣1014） D．（1014，0）
【题型10 坐标系中的新定义问题】
【例1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点
Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“完美点”．
【例2】对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：a※b＝a+kb，a*b＝ka+b（其中k为常数，且
k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P′的坐标（a※b，a*b）与之对应，则称
点 P 的“k 衍生点”为点 P′．例如：P（1，3）的“2 衍生点”为 P′（1+2×3，2×1+3），即
P′（7，5）．
（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5衍生点”P的坐标为（18，﹣6），求点P的坐标；
（3）若点P的“k衍生点”为点P′，且直线PP′平行于y轴，线段PP′的长度为线段OP长度的6
倍，求k的值．
【变式1】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将
点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P
（3，﹣2）的一对伴随点．
（1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 ；
（2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重
合，求点C的坐标．
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P （x ，y ）和P （x ，y ），我们定义它们两点间的
1 1 1 2 2 2坐标距离如下：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 和点P 的坐标距离为|x ﹣x |；
1 2 1 2 1 2 1 2
若|x ﹣x |＜|y ﹣y |，则点P 和点P 的坐标距离为|y ﹣y |．
1 2 1 2 1 2 1 2
已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B．
（1）点B的坐标为 ，A、B两点间的坐标距离为 ；
（2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点，若M、N与点A之间的坐标距离均为3．①求点
M的坐标；
②求M、N两点间的坐标距离．
【变式3】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足
a+c b+d
x= ，y= ，那么称点T是点A和B的衍生点．
3 3
例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点．
已知点D（4，0），点E（m，m+2），点T（x，y）是点D和E的衍生点．
（1）若点E（4，6），则点T的坐标为 ；
（2）求点T的坐标（用m表示）；
（3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标．
【题型11 坐标与图形综合（已知面积求点的坐标）】
【例1】如图，已知在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO ＝8，OA＝OB，BC＝
10，点P的坐标是（﹣6，a）．
（1）求△ABC的顶点C的坐标；
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满
足关系式 ．
❑√a−1+(b−2) 2+|c−3|=0
（1）求a，b，c的值；1
（2）如果在第二象限内有一点P(m， )，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
2
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】如图，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标
系，点A（0，a），B（b，0）满足❑√a−2b+|b﹣2|＝0．
（1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ；
2
（2）在坐标轴上存在一点p，使得S△APB = S△AOB ，求出点p的坐标．
3
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足
❑√a+1+(b−3) 2=0
．（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积；
9 3
（3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，− ），当m=− 时，点P是y轴上的动点，当
10 2
满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标．
【题型12 坐标与图形综合（探究角度数量关系）】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y轴正半轴上，且OC＝
AB，将线段AB平移至线段CD，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接AC，BD，P是x轴上
一动点．
（1）点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；AC与BD的关系是 ；
（2）当三角形PAC的面积是三角形PBD的面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）若∠ACP＝ ，∠PDB＝ ，∠DPC＝ ，判断 ， ， 之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必
证明． α β θ α β θ
【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0）且a、b满足
|a+2|+❑√5−b=0，现同时将点A，B分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，分别得到点A，
B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
（3）如图2，若点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动（不与B，D重
合）请判断∠DCP，∠CPO，∠POB之间存在的数量关系，并说明理由．
【变式2】在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b），且a，b满足❑√4−a+|b+2|＝0，B向上平移k个单位得到线段CD．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图，E为线段CD上任意一点，F为线段AB上任意一点，∠EOF＝120°．G为线段AB与线段
1
CD之间一点，连接GE，GF，且∠DEG= ∠DEO，∠EGF＝80°．试写出∠AFG与∠GFO之间的数量
3
关系，并证明你的结论．
【变式3】如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关
系式❑√a−3+（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ ， ）、D（ ， ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分
∠MCN
∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时， 的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不
∠AQC
变，请求出其值．
