文档内容
期中押题预测卷
（考试范围：第十一～十三章）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·安徽亳州·八年级期末）垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新
变成资源．下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，
这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2．（2022·绵阳·八年级期中）下列说法：
①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部； ③三角形的三条高的交点不
在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三
角形有两条高是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条
在内部．【详解】解；钝角三角形有一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部；锐角三角形的三条高都在三
角形内部；直角三角形三条高的交点在直角顶点上；锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；
所以①②③错误，只有④是正确的．
故选A．
【点睛】此题主要考查学生对三角形的高的概念的理解和掌握，解答此题的关键是根据三角形的高的概念，
通过具体作高对4个结论逐一分析，特别向学生强调的是直角三角形高的情况．
3．（2022·重庆开州·八年级期中）以下列各组数为边长不可能构成一个三角形是( )
A．4，5，9 B．6，2，6 C．4，6，8 D．5，7，11
【答案】A
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：A、4+5=9，不能构成三角形，故此选项符合题意；
B、2+6＞6，能构成三角形，故此选项不合题意；
C、4+6 8，能构成三角形，故此选项不合题意；
D、5+7>11，能构成三角形，故此选项不合题意；
故选：A>．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能
够组成三角形．
4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，已知∠A＝∠C＝90°，AB和CD相交于点E．现要添加一个条件，
使得 则下列条件中不符合要求的是（ ）
A．∠ADE＝∠CBE B．AD＝BC C．AE＝CE D．∠EDB＝∠EBD
【答案】A
【分析】根据∠EDB=∠EBD推出DE=BE，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．∠A=∠C=90°，∠AED=∠CEB，∠ADE=∠CBE，不符合全等三角形的判定定理，不能推
出△ADE≌△CBE，故本选项符合题意；
B．∠A=∠C=90°，∠AED=∠CEB，AD=CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ADE≌△CBE，故
本选项不符合题意；
C．∠A=∠C=90°，AE=CE，∠AED=∠CEB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ADE≌△CBE，故本选项不符合题意；
D．∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，
∠A=∠C=90°，∠AED=∠CEB，DE=BE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ADE≌△CBE，故本选
项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题
的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．（2022·南山中学双语学校八年级期中）如图，BP是 ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的
平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ △ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，
根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
【详解】解：∵BP是 ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=△50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠BPC=20°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以
及三角形的内角和为180°，掌握角平分线的定义是解题的关键.
6．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在 ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画
弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为△圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB
C．I是 ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等
【答案】△D
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是 ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是 ABC的内△心，
∴I到AB△，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的
性质．
7．（2022·浙江·余姚八年级期中）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，
BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌GFP；
③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
【答案】D【分析】根据等边三角形的性质可以得出 ，得 ， ，可用AAS得
，得出 ，根据边之间的关系即可得EP=1，综上，即可得．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ， ，
故①正确；
在 和 中，
∴ （AAS），
故②正确；
∵ ，
∴只有当 时， ，
故③错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
综上，①②④正确，故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．
8．（2022·江苏苏州·八年级期中）如图， ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作
DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那么△下列结论：① BDF和 CEF都是等腰三角形；②F为DE中点；
③ ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正△确的有（△ ）
△
A．①③ B．①②③ C．①② D．①④
【答案】A
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐项
分析可得解．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∵BD与CE无法判定相等，
∴DF与EF无法判定相等，
故②错误；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④错误．
故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错
角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
9．（2022·广东·八年级期中）如图，C为线段BE上一动点 不与点B，E重合 ，在BE同侧分别作等边
ABC和等边CDE、BD与AE交于点P，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，连结MN．以下四个结
论：①CM=CN；②∠APB=60°；③PA+PC=PB；④PC平分∠BPE；恒成立的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①④
【答案】B
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACE与△BCD全等，根据全等三角
形对应角相等可得∠MBC=∠NAC，然后证明△MBC≌△MBC，从而得到CM=CN，所以①正确；在△MBC
和△AMP中，∠MBC=∠PAM，∠BMC=∠PMA，所以∠BCM=∠APM，所以②正确； 在BP上截取
PG=PC，连接CG，证明出△BGC≌△APC，然后证明△PGC为等边三角形即可证明；根据条件证明D，
O，C，E共圆，可得到∠PCD=∠PED，然后根据角关系导出PC平分∠BPE，故④正确
【详解】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠ACD=∠DCE
∴∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△BCD
∴∠MBC=∠NAC
∵AC=BC，∠BCM=∠CAN
∴△MBC≌△MBC
∴CM=CN，故①正确
△MBC和△AMP中
∵∠MBC=∠PAM，∠BMC=∠PMA
∴∠BCM=∠APM即∠APB=60°，故②正确
如图，在BP上截取PG=PC∵BC=BA，PC=PG，∠CBM=∠CAN
∴△BGC≌△APC
∴BG=AP，∠BCG=∠ACP
∵∠BCG+∠GCM=60°，∠ACP+∠PCN=60°
∴∠GCM=∠PCN
∴∠GCM+∠ACP=60°
∴△PGC是等边三角形
∴PC=PG
∴PA+PC=PB，故③正确
由②有∠APB=60°，
∴∠BPE=120°，
∴∠DPE=∠DCE=60°
∴D，P，C，E四点共圆，
∴∠PCD=∠PED，∠PDC=∠PEC，
∵∠PED+∠PEC=60°，
∴∠PCD+∠PDC=60°，
∴∠APC=60°，
∴∠CPE=∠AOC=60°，
∴PC平分∠BPE，故④正确
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解
题的关键．
10．（2021·重庆九龙坡·八年级期中）如图，等腰△ABC中AB＝AC，∠ACB＝15°，D是边BC上一点，且
∠DAC＝45°，作点C关于直线AD的对称点C′，连接AD、AC′、CC′、BC′、DC′，则下列结论：①∠BC′D
＝75°；②△AED是等腰三角形；③CD＋AD＝BD．其中正确的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】分别求出∠AC’B和∠AC’B，故可求出∠BC’D＝75°；求出△ADE的内角即可判断；在DB上截取
DF=AD，得到等边△ADF，故可证明CD＋AD＝BD．
【详解】∵∠DAC＝45°，作点C关于直线AD的对称点C’，
∴∠DAC’=45°，AC=AC’，∠AC’D=∠ACD=15°
∴∠CAC’=90°
∴△CAC’是等腰直角三角形
∵AB＝AC，∠ACB＝15°
∴∠CAB=180°-2∠ACD=150°
∴∠BAC’=150°-90°=60°
∵AB=AC’
∴△ABC’是等边三角形
∴∠AC’B=60°
∴∠BC’D＝60°+15°=75°，①正确；
∵∠EAD=∠DAC=45°，∠ACD=15°
∴∠ADE=45°+15°=60°
∴∠AED=180°-60°-45°=75°
∴△ADE不是等腰三角形，②错误；
在DB上截取DF=AD，连接AF
∵∠ADE=60°
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠DAF=60°
∵∠BAF=150°-60°-45°=45°
∴∠BAF=CAD又AB=AC，AF=ADC
∴△ABF≌△ACD
∴BF=CD
∴CD＋AD＝BF+DF=BD，③正确
故选C．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键熟知等腰三角形的性质、全等三角形的判定
与性质、三角形内角和定理．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏盐城·八年级期中）在镜子中看到时钟显示的时间 ，则实际时间是
_________．
【答案】21:05
【分析】根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，再根据轴对称的性质求解即可．
【详解】解：根据题意可得，根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，
由轴对称的性质可得，实际时间是为21:05．
故答案为：21:05．
【点睛】此题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握轴对称图形的有关性质．
12．（2021·重庆·八年级期中）如图，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是边 BC、AD、CE 上的中点，
且 S =4， 则 S =_____．
ABC BFF
△ △
【答案】1【分析】根据三角形中线的性质可得S =S =S =S = S ，进而可根据
ABE DBE DCE AEC ABC
△ △ △ △ △
求出 ，再利用三角形中线的性质解答即可．
【详解】解：∵ 、 分别为 、 的中点，
∴S =S =S =S = S ，
ABE DBE DCE AEC ABC
△ △ △ △ △
∴ ，
∵F是边CE的中点，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，属于常考题型，熟练掌握三角形的中线性质是解题的关键．
13．（2022·浙江·八年级期中）如图所示，∠BOC = 10°，点A在OB上，且OA = 1，按下列要求画图:以
点A为圆心、1为半径向右画弧交OC于点 得到第1条线段 ；再以点 为圆心、1为半径向右画弧交
OB于点 ，得到第2条线段 ；再以点 为圆心、1为半径向右画弧交OC于点 ，得到第3条线段
…这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n = _________ .
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得 的度数， 的度数， 的
度数， 的度数，依此得到规律，再根据三角形外角需要小于90°即可求解．【详解】解：由题意可知： …；
则 …；
∵∠BOC=10°，
∴ ，
同理可得
，
∴第9个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，
∴最多能画8条线段；故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个
外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．
14．（2022·江苏苏州·八年级期中）如图示，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝
8，DE＝5，则 CDB的面积等于__．
△
【答案】 .
【分析】根据AAS可以证明 ACD≌△CBE，则BE＝CD，CE＝AD，从而求解．
【详解】∵∠ACB＝90°， △
∴∠BCE+∠ECA＝90°，
∵AD⊥CE于D，
∴∠CAD+∠ECA＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
又∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴BE＝CD，CE＝AD＝8，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝8﹣5＝3，
∴S ＝ CD•BE＝ ×3×3＝ ．
CDB
△
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算等知识，解题的关键是正确寻找全
等三角形解决问题．
15．（2022·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若△BCD的周
长为23，AC＝12，则BC＝____．
【答案】11
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得 ，然后求出 的
周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 ．
∵ ， 的周长是23，
∴ ．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离
相等．
16．（2022·江苏·八年级期中）如图， ， 分别是边 上的定点， 分别是边
上的动点，记 ，当 的值最小时，关于 的数量关系是
__________________．【答案】
【分析】作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 交OA于Q，交OB于P，则
MP+PQ+QN最小，易知∠OPM= =∠NPQ，∠OQP= =∠AQN，根据三角形的外角的性质和
平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 交OA于Q，交OB于
P，则MP+PQ+QN最小，
∴ ， ，
∴∠QPN= =∠AOB+∠MQP=30°+（180°﹣β），
∴α=30°+（180°﹣β），
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
17．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如图，在 中， 的平分线与 的垂
直平分线相交于点O， 沿 折叠，点C与点O恰好重合．则 ___________．【答案】 ##52度
【分析】连接OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出
∠OBC，然后证 AOB≌△AOC（SAS），得出OB=OC，∠OCB=∠OBC，再根据等边对等角求出
∠OCB=∠OBC，△根据折叠的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和
定理列式计算即可得∠OEC，即可求解．
【详解】解：如图，连接OC，
∵∠BAC=52°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC=×52°=26°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= （180°-52°）=64°，
∵点O在AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=26°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=64°-26°=38°，∵AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，AO=AO，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=38°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，∠OEF=∠CEF，
∴∠COE=∠OCB=38°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-38°-38°=104°，
∴∠OEF= ∠OEC=52°，
故答案为：52°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角
形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的
关键．
18．（2022·辽宁·大连八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、
AB于点D，E，CE、BD相交于点F，连接DE．下列结论：①AB=BC；②∠BFE=60°；③CE AB；④
BE+CD=BC．其中正确的结论是________．
【答案】②④
【分析】无法判定①是否正确；根据三角形内角和定理，角平分线的定义及三角形的外角的性质，即可判
定②；无法判定③是否正确；在BC上截取BH=BE，证明两对三角形全等：△EBF≌△HBF，
△CDF≌△CHF，可判定④．
【详解】解：无法判定AB与BC是否相等，故①不正确；
在△ABC中，∠A=60°，，
又 、 分别平分∠ABC，∠ACB，
， ，
，
故②正确；
无法判定CE是否垂直于AB，故③不正确；
④如图：在BC上截取BH=BE ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BF=BF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCF=∠HCF，
又∵CF=CF，
∴ ，
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴BE+CD=BC ，
故④正确，
故正确的有②④，
故答案为：②④【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会
添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·四川绵阳·八年级期中）△ABC中，AD平分∠BAC，
（1）求证S ABD：S ADC＝AB：AC。（2）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求DC的长．
△ △
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过D作 ，根据角平分线的性质定理，可得 ，然后根据三角形
的面积公式，即可求证；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，可得到 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过D作 ，
∵AD平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）如图，过点A作AE⊥BC于点E，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，∴ ，
∵ ∴ ∴ ．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
20．（2022·重庆·八年级期中）如图，已知∠BAC，用直尺和圆规作图：
（1）作∠BAC的平分线；
（2）在∠BAC的平分线上作点M，使点M到P、Q两点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）根据角平分线的基本作图作法作图即可；
（2）连接PQ，作PQ的垂直平分线交∠BAC的平分线于点M即可．
【详解】解：（1）（2）如图所示：【点睛】本题考查作图—复杂作图；涉及到角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，掌握基本图形的
作图方法以及性质是解题关键．
21．（2022·山东东营·七年级期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过
点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
(1)求证：BE垂直平分CD；(2)若∠BED＝60°，求证： CBD是等边三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）先证Rt EBC≌Rt EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三
线合一即可得证； △ △
（2）根据BD=BC，BE垂直平分CD，可得∠CBE=∠DBE=30°，进而可以证明结论．
（1）
证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt EBC和Rt EBD中，
△ △
，
∴Rt EBC≌Rt EBD（HL），
∴∠C△BE=∠DB△E，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD；
（2）
证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°，
∴∠DBE=30°，
∵BD=BC，BE垂直平分CD，∴∠CBE=∠DBE=30°，
∴∠CBD=60°，
∴△CBD是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握
全等三角形的判定和性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．
22．（2022·云南八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD
的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
(1)求证：△EGB≌△EFC；(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)AF的长为1
【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；
（2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，
BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．
（1）
解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，
∴∠EGB=90°=∠EFC，
∴△EGB和△EFC是直角三角形，
∵AE平分∠CAD，
∴∠EAG=∠EAF，
∵EA=EA，
∴△AGE≌△AFE，
∴EG=EF，
∵EB=EC，
∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，
得证；
（2）解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，
∴BG=FC，AG=AF，
∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，
∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，
∵AB=3，
∴2AF+3=5，
∴AF=1，
即AF的长为1．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本
题的关键．
23．（2022·江苏·八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多
边形称为“格点多边形”．
⑴ 在图1中画一个格点正方形，使得该正方形的面积为13；
⑵ 在图2中画出格点D，使四边形ABCD为轴对称图形；
⑶ 在图3中画出格点G、H，使得点E、F、G、H为顶点的四边形是轴对称图形，有且只有一个内角为直
角．（画出一个即可）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）要使得该正方形的面积为13，则边长为 ，即构造一个斜边长为 的直角三角形，然
后以斜边为一边作出正方形即可；
（2）以AC为对称轴，作出点B的对称点D点，则D点为所求；
（3）在F点的下方，作FC=FE，并且 ，然后作EC的垂直平分线，在垂直平分线上任意取一
个格点H即可.【详解】
⑴如图示，要使得该正方形的面积为13，则边长为 ，即构造一个斜边长为 的直角三角形，然后以
斜边为一边作正方形（答案不唯一）；
⑵ 如图，以AC为对称轴，作点B的对称点D点，则D点为所求（答案不唯一）；
⑶ 如图，在F点的下方，作FC=FE，并且 ，然后作EC的垂直平分线，在垂直平分线上任意
取一个格点H，则G、H为所求（答案不唯一）.
【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识．
24．（2022·广东·八年级期中）已知： 为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一
点， ．
(1)如图1，当E在AC的延长线上且 时，AD是 的中线吗？请说明理由；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时， 等于AE吗？请说明理由;
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．【答案】(1)是，理由见解析；(2) ，理由见解析；(3) .
【分析】(1)由等边三角形的性质得∠BAC=∠ACD=60°，由等腰三角形的性质得∠CDE=∠E，再根据三角
形外角的性质可得∠E=30°，继而可得∠DAC=∠E=30°，得出AD平分∠BAC，由此即可得AD是△ABC
的中线；
(2)在AB上取BH=BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，
(3)在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的
关系得出结论AB-BD=AE．
【详解】(1)是，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠E+∠CDE，
∴∠E=30°，
∵AD=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∴∠DAC= ∠BAC，
即AD平分∠BAC，
∴AD是△ABC的中线；
(2) ，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=∠B=60°，AB=AC，
∴∠DCE=120°，△BDH是等边三角形，
∴DH=BD，∠DHB=60°，∴∠AHD=120°，∠DHB=∠CAB，
∴∠DCE=∠AHD，DH//AC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠DAC，
∵DH//AC，
∴∠HAD=∠DAC，
∴∠HAD=∠E，
∴△ADH≌△DEC，
∴DH=CE，
∴CE=BD，
∴AB+BD=AC+CE=AE；
(3)AE=AB-BD，理由如下：
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=EF，∠AFE=∠AFE=∠FAE=60°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴EF//BC，
∴∠FED=∠EDB，
∵AD=DE，DF=DF，AF=EF，
∴△ADF≌△EDF，
∴∠DAF=∠DEF，∠ADF=∠EDF，
∵∠DFB=∠DAF+∠ADF，∠FDB=∠EDF+EDB，
∴∠DFB=∠FDB，
∴BD=BF，∵AB-BF=AF，
∴AB-BD=AE.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外
角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
25．（2021·绵阳市·八年级期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E为边AB上一点，连接CE．
（1）如图1，以CE为边作等腰三角形DCE，DE＝DC，连接AD，且满足条件AB⊥AD，∠B＝∠ADE，
∠ACD＝3∠B，求证：DE⊥DC．
（2）如图2，∠BAC＝120°，过点A作直线AM⊥BC交BC于点M，点F为直线M上一点，BE＝AF，连接
CF，当CE＋CF最小时，直接写出∠ECF的度数．
【答案】（1）见解析（1）60°
【分析】（1）根据三角形的内角和与角度关系得到∠EDC=∠ADE+∠ADC=90°，故可求解；
（2）作∠GBA=∠BAM且BG=AB，连接GE、GA、CG，证明△GBE≌△CAF，得到CE+CF=GE+CE，故当
C、G、E在一条直线上时，CE+CF最短，再根据C、G、A在一条直线上得到当CE+CF最小时，E与A重
合，故可得到△AFC是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）设AD与BC交于O点
∵∠AOB=∠COD
∴∠B+∠BAO=∠ADC+∠OCD
∵AB⊥AD
∴∠BAO=90°
∵AB=AC∴∠B=∠ACB
∵∠ACD=3∠B=∠ACB+∠OCD
∴∠OCD=2∠B
∴∠ADC=90°+∠B-2∠B=90°-∠B
∵∠ADE=∠B
∴∠EDC=∠ADE+∠ADC=90°
∴ED⊥DC
（2）作∠GBA=∠BAM且BG=AB，连接GE、GA、CG
∵AB=AC，AM⊥BC
∴∠BAM=∠CAM= ∠BAC=60°，∠ACB=∠ABC=30°
∴∠GBE=∠FAC=60°
∵BE=AF，BG=AC=AB
∴△GBE≌△CAF（SAS）
∴GE=CF
∴CE+CF=GE+CE
当C、G、E在一条直线上时，CE+CF最短
∵∠GBA=60°，AB=BG
∴△GBA是等边三角形，
∴∠GAB=60°
∵∠BAC=120°
∴C、G、A在一条直线上
∴当CE+CF最小时，E与A重合
∴BE=AF=AB=AC
∵∠FAC=60°
∴△AFC是等边三角形∴∠ACF=60°
即∠ECF=60°．
【点睛】此题主要考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角
形，利用两点之间线段最短求最值．
26．（2022·重庆八年级期中）已知：△ABC中， ， ，D为直线BC上一动点，连接
AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AC于F，连接DE，若CD=1，EF=3，求CF的长；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点P．若 ．求证：
BE=4AC；
(3)如图3，当点D在CB延长线上时，连接BE交AC的延长线于点P，若DB：BC=3：4，请直接写出
的值（不需要计算过程）．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)【分析】（1）利用 定理可证 ，可得 ， ，再根据线段和差即可得；
（2）过点 作 ，交 延长线于 ，先利用 定理证出 ，根据全等三角形的性
质可得 ，从而可得 ，再利用 定理证出 ，根据全等三角形的性质可得
，则 ，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得证；
（3）过点 作 ，交 延长线于 ，设 ，则 ， ，先利
用 定理证出 ，根据全等三角形的性质可得 ， ，则 ，
再根据 定理证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，则 ，然后
利用三角形的面积公式即可得．
（1）
解：∵ ， ，
∴ ， ，
，
在 与 中， ，
，
， ，
，
．
（2）
证明：如图，过点 作 ，交 延长线于 ，
∵ ， ，∴ ， ，
，
在 与 中， ，
，
，
又∵ ，
，
在 与 中， ，
，
，
，
，
，
．
（3）
解：如图，过点 作 ，交 延长线于 ，
，
∴可设 ，
， ，
∵ ， ，
，∴ ， ，
，
在 与 中， ，
，
， ，
，
又∵ ，
，
在 与 中， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，
构造全等三角形是解题关键．
