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一次函数核心知识必考题训练（35题）
题型一：函数图像
1．如图，小颖依据所在城市2021年8月16日连续12个小时的风力变化情况，画出了风
力随时间变化的图象，根据图象进行判断，下列说法正确的是（ ）
A．8时风力最小
B．在8时至12时，最大风力为5级
C．风力在5级以上持续时间约为3.5小时
D．8时至14时，风力不断增大
【分析】根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
20时风力最小，故选项A不合题意；
在8时至12时，风力最大为4级，故选项B不合题意，
在13时至16.5时，风力在5级以上，即风力在5级以上持续时间约为3.5小时，故选项
C符合题意；
8时至11时，风力不断增大，11至12时，风力在不断减小，在12至14时，风力不断
增大，故选项D不合题意，
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
2．小开家、加油站和湿地公园依次在同一直线上．端午节期间，小开一家从家出发开车前
往湿地公园游玩，经过加油站时，加满油后继续驶往目的地．汽车行驶路程（千米）与
汽车行驶时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A．汽车经过30分钟到达加油站
B．汽车加油时长为10分钟
C．汽车加油后的速度比加油前快
D．小开家距离湿地公园45千米
【分析】根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由题意可知，汽车经过30分钟到达加油站，故选项A不合题意；
汽车加油时长为40﹣30＝10（分钟），故选项B不合题意；
汽车加油后的速度比加油前慢，故本选项符合题意；
小开家距离湿地公园45千米，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
3．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化
情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A．5m B．7m C．10m D．13m
【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．
【解答】解：观察图象，当t＝3时，h＝13，
∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，
故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶
飞行的最高高度是解题的关键．
4．小宇家离学校2km，某天她上学骑自行车，先骑了5分钟，因故停留10分钟，接着又
骑行了5分钟，下面哪一个图象能大致描述去学校过程中离学校的距离 s（km）和所用
时间t（分）之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意分析可得：他去学校过程中离学校的距离 s（千米）与所用时间 t
（分）之间的关系有3个阶段；（1）骑了5分钟，距离s减小；（2）因故停留10分
钟，距离s不变；（3）继续骑了5分钟，距离s继续减小，直到为0．
【解答】解：因为小宇家离学校2千米，某天她上学骑自行车，先骑了5分钟，因故停
留10分钟，接着又骑行了5分钟，
所以图象应分为三段，
因为离学校的距离随骑行时间减小．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题
的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过
图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
5．如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而
变化．下列从图象中得到的信息错误的是（ ）
A．4点时气温达最低
B．14点到24点之间气温持续下降
C．0点到14点之间气温持续上升
D．14点时气温达最高是8℃
【分析】应用函数图象中的信息进行判定即可得出答案．【解答】解：A．由图象可得，4点时气温达最低为﹣3℃，所以A选项从图象中得到的
信息正确，故A选项不符合题意；
B．由图象可得，14点到24点气温持续下降，所以B选项从图象中得到的信息正确，故
B选项不符合题意；
C．由图象可得，0点到4点气温持续下降，4点到14点气温持续上升，0点到14点气
温先下降再上升，所以C选项从图象中得到的信息不正确，故C选项符合题意；
D．由图象可知，14点时气温最高是8℃，所以D选项从图象中得到的信息正确，故D
选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象，准确理解题目所给函数图象中所给信息进行求解是
解决本题的关键．
题型二：函数自变量取值范围
6．函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
7．函数y＝ + 的自变量的取值范围是 x ≥ 且 x ≠ 2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥ 且x≠2，
故答案为：x≥ 且x≠2．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式和二次根式有意义的条
件是解题的关键．
8．函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠±3 B．x≤﹣2 C．x≠3 D．x≥﹣2且x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答
案．
【解答】解：由题意得：x+2≥0且x2﹣9≠0，
解得：x≥﹣2且x≠3，故选：D．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负
数、分母不为0是解题的关键．
9．函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥1且x≠2
C．x＞1 D．x可取任意实数
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣1≥0且1﹣ ≠0，
∴x≥1且x≠2，
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式
的分母不等于0是解题的关键．
10．已知函数y＝ ，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜4 B．x≤4 C．x＜4，且x≠3 D．x≤4，且x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答
案．
【解答】解：由题意得：4﹣x＞0，
解得：x＜4，
故选：A．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负
数、分母不为0是解题的关键．
题型三：一次函数的图像
11．若一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），点B（0，﹣3），则该函数图象不经过
的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】描点、连线，画出函数图象，观察函数图象可得出该函数图象不经过第二象
限．
【解答】解：描点、连线，画出函数图象，如图所示.
∴该函数图象不经过第二象限．
故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象，依照题意，画出函数图象是解题的关键．
12．如图，若k•b＞0，且b+k＞0，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k、b的符号确定直线的变化趋势和与y轴的交点的位置即可．
【解答】解：∵k•b＞0，且b+k＞0，
∴k＞0，b＞0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置
的关系，难度不大．
13．根据函数y ＝5x+6和y ＝3x+10的图象，当x＞2时，y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】先画出函数y ＝5x+6和y ＝3x+10的图象，根据数形结合即可得出答案．
1 2
【解答】解：∵函数y ＝5x+6和y ＝3x+10的交点为（2，16），图象为：
1 2根据数形结合，当x＞2时，y ＞y ．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，主要利用图象用数形结
合解题．
14．若式子 +（k﹣2）0有意义，则一次函数 y＝（k﹣2）x+2﹣k 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据式子 +（k﹣2）0有意义，可以求得k的取值范围，然后即可得k﹣2
和2﹣k的正负，从而可以一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过的象限．
【解答】解：∵式子 +（k﹣2）0有意义，
∴ ，
解得k＞2，
∴k﹣2＞0，2﹣k＜0，
∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象、零指数幂，解答本题的关键是求出k的取值范围，
利用一次函数的性质解答．
15．直线l ：y＝kx﹣b和l ：y＝﹣2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
1 2A． B．
C． D．
【分析】先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样
可得出答案．
【解答】解：A、直线l ：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l ：y＝﹣2kx+b中k＞0，b＞0，b的
1 2
取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线l ：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l ：y＝﹣2kx+b中k＜0，b＜0，k的取值相矛盾，
1 2
故本选项不符合题意；
C、直线l ：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l ：y＝﹣2kx+b中k＜0，b＜0，k的取值相矛盾，
1 2
故本选项不符合题意；
D、直线l ：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l ：y＝﹣2kx+b中k＞0，b＜0，k、b的取值一
1 2
致，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，
b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半
轴，直线与y轴交于负半轴．
题型四：一次函数与一元一次方程（组）不不等式（组）
16．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b
＝4的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4【分析】先利用y＝x+2求得交点P的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判
断．
【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，
所以一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象的交点P为（2，4），
所以关于x的方程kx+b＝4的解是x＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．
17．如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，则下
列说法正确的个数是（ ）
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d不经过第一象限；
③方程ax+b＝cx+d的解是x＝4；
④d﹣b＝4（a﹣c）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可
以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
①a＜0，对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
②a＜0，d＜0，则函数y＝ax+d经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故②说法
正确；
③由一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4知，方程
ax+b＝cx+d的解是x＝4，故③说法正确；
④4a+b＝4c+d可以得到4（a﹣c）＝d﹣b，故④说法正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图像经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为
x ＜﹣ 1 ．
【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b＞3的解集．
【解答】解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元
一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答．
19．如图，一次函数y＝k x+b 和y＝kx+b的图象分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，
1 1
0），则关于x的不等式组 的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x＜2
【分析】根据图象可知y＝k x+b ＞0的解集和y＝kx+b＞0的解集，即可确定不等式组的
1 1
解集．
【解答】解：一次函数y＝k x+b 和y＝kx+b的图象分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B
1 1
（2，0），
根据图象可知，y＝k x+b ＞0的解集为：x＞﹣1，
1 1
y＝kx+b＞0的解集为：x＜2，∴不等式组 的解集是﹣1＜x＜2，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解
题的关键．
20．定义max（a，b），当a≥b时，max（a，b）＝a，当a＜b时，max（a，b）＝b；已
知函数y＝max（﹣x﹣3，2x﹣9），则该函数的最小值是（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣5
【分析】根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值．
【解答】解：当﹣x﹣3≥2x﹣9时，
解得：x≤2，
此时y＝﹣x﹣3，
∵﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x＝2时，y最小值为﹣5；
当﹣x﹣3＜2x﹣9时，
解得：x＞2，
此时y＝2x﹣9，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
综上，当x＝2时，y最小值为﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一
次函数的性质是解题关键．
题型五：一次函数的应用
21．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发 1小时后，学
校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶
的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的
时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【分析】（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
（2）由图象及（1）的结果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系数法即可求
解；
（3）根据题意列出方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，
依题意得：40（x+1）＝60x，
解得x＝2．
∴轿车出发后2小时追上大巴，
此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），
答，轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了13小时，
∴B（3，120），
由图象得A（1，0），
设AB所在直线的解析式为y＝kt+b，
∴ ，
解得 ，
∴AB所在直线的解析式为y＝60t﹣60；
（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，
解得a＝ ．
∴a的值为 ．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数
图象解决问题，充分利用数形结合思想．22．某部队加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油
的过程中，设运输飞机的油箱余油量为y 吨，加油飞机的加油油箱的余油量为y 吨，加
1 2
油时间为t分钟，y 、y 与t之间的函数关系如图．回答问题：
1 2
（1）加油飞机的加油油箱中装载了 3 0 吨油；
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量y （吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
1
（3）运输飞机加完油后，以原来速度继续飞行，需 10小时到达目的地，油料是否够
用？请通过计算说明理由．
【分析】（1）根据运输飞机在没加油时，油箱中的油量，就可以得到；
（2）可以用待定系数法求解；
（3）加进30吨而油箱增加29吨，说明加油过程耗油量为1吨，依此耗油量便可计算是
否够用．
【解答】解：（1）由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油；
故答案为：30；
（2）设y ＝kt+b，把（0，40）和（10，69）代入，
1
得 ，
解得 ，
∴输飞机的余油量y （吨）与时间t（分钟）的函数关系式y ＝2.9t+40（0≤t≤10）；
1 1
（3）∵加油过程中加油飞机和运输飞机的速度和耗油量是一样的，题目说“运输飞机
加完油后，以原速继续飞行”，
∴后来的运输飞机的速度和加油的时候的加油飞机速度和耗油量也是相同的，
∵在加油过程中，余油量由40吨到69吨一共增加了29吨，
∴运输飞机在加油的过程中也有耗油，而在加油过程 10分钟内运输飞机一共耗掉了1
吨油（输了30吨油，加完油后余油量为29吨），
∴每一分钟的耗油量为：1÷10＝0.1吨每分钟．
∴运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨，
∴10小时耗油量为：10×60×0.1＝60，
∵60＜69，
∴油料够用．【点评】本题考查了一次函数的应用，难度较大，准确读出图中信息，加入30吨油而
油箱只增加29吨对解好本题很关键；另外待定系数法也是本题考查点之一．
23．今年的冬奥会点燃了青少年的“冰雪热”，推动了冰雪产业经济．某体育运动器材商
店的滑雪护目镜和滑雪头盔成了热销商品．已知滑雪头盔比滑雪护目镜的进价高 30
元，商店用3600元购进的滑雪头盔与用3000元购进的滑雪护目镜数量一样多．
（1）求每个滑雪护目镜和滑雪头盔的进价；
（2）滑雪护目镜售价为每个200元，滑雪头盔售价为每个240元，该商家计划用不少
于160000元购进两种滑雪用品1000个，且要求滑雪护目镜的数量不少于滑雪头盔的数
量，假设购进的滑雪用品全部可以售出，求获利最多的进货方案及最大利润．
【分析】（1）设滑雪护目镜的进价为每个x元，则滑雪头盔的进价是每个（x+30）
元，根据数量＝总价÷单价，结合用3600元购进的滑雪头盔与用3000元购进的滑雪护
目镜数量一样多，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设店家计划购进滑雪护目镜 m 个，滑雪头盔（1000﹣m）个，可得
，有500≤m≤666 ，设获得的利润w元，则w＝﹣
10m+60000，由一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设滑雪护目镜的进价为每个 x 元，则滑雪头盔的进价是每个
（x+30）元，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，
∴x+30＝180，
答：滑雪护目镜的进价每个150元，滑雪头盔每个180元；
（2）设商家计划购进滑雪护目镜m个，滑雪头盔（1000﹣m）个，获得的利润w元，
∵计划用不少于160000元购进两种滑雪用品，滑雪护目镜的数量不少于滑雪头盔的数
量，
∴ ，
解得：500≤m≤666 ，
依题意得：w＝（200﹣150）m+（240﹣180）（1000﹣m）＝﹣10m+60000，
∵k＝﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝500时，w最大，最大值为﹣10×500+60000＝55000（元），
该商家应该购进滑雪护目镜500个，滑雪头盔500个，最大利润为55000元．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式和函数关系式．
24．为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和
《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时
体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍
和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264
元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于
B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【分析】（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程
组，解方程组即可；
（2）设购买B型球拍a副，根据题意列出不等式，解不等式求出a的范围，根据题意
列出费用关于a的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，
，
解得 ，
答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；
（2）设购买B型球拍a副，总费用w元，
依题意得30﹣a≥2a，
解得a≤10，
w＝40（30﹣a）+32a＝﹣8a+1200，
∵﹣8＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w最小，w最小 ＝﹣8×10+1200＝1120（元），
此时30﹣10＝20（副），
答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．
【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元
一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．
25．文美书店准备购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分
别为每本20元、14元，不同方案甲、乙两种图书的购进数量和售完后总收入的对应关
系如表所示：
方案一 方案二
购进数量（本） 甲种图书 600 400
乙种图书 600 800售完后总收入（元） 28800 27200
（1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店决定用不多于20000元来购进这1200本图书，为了让利读者，实际销售甲种
图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大
利润？（购进的两种图书全部销售完．）
【分析】（1）根据题意，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．
【解答】解：（1）设甲种图书售价每本x元，乙种图书售价为每本y元．
由题意得： ，
解得： ．
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货a本，总利润w元，
则：w＝（28﹣20﹣3）a+（20﹣14﹣2）（1200﹣a）＝a+4800，
∵20a+14×（1200﹣a）≤20000，解得： ．
∵w随a的增大而增大，∴当a最大时w最大，∴当a＝533本时，w最大．
此时，乙种图书进货本数为1200﹣533＝667（本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
【点评】本题分别考查了二元一次方程组和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成
两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．
题型六：待定系数法
26．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当 时，求y的值；
（3）请你写出这个函数的一条性质．
【分析】（1）设y＝kx，把x＝2，y＝4代入，求出k即可得出答案；
（2）把x＝ 代入函数解析式，求出即可；
（3）根据正比例函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意，设y＝kx（k≠0），
把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，
解得：k＝2，
即y与x的函数关系式为y＝2x；（2）把x＝ 代入y＝2x得：y＝1；
（3）∵k＝2＞0，
∴正比例函数y＝2x的图像经过第一、三象限；y随x的增大而增大．
【点评】本题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质，能求出
函数的解析式是解此题的关键．
27．已知一次函数y＝（a+2）x+1﹣a（a是常数，且a≠0）．
（1）若该一次函数的图象与x轴相交于点（2，0），求一次函数的解析式．
（2）当﹣1≤x≤3时，函数有最大值5，求出此时a的值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）当a+2＜0时，根据一次函数的增减性可知当x＝﹣1时，函数取得最大值5；当
a+2＞0时，根据一次函数增减性可知当x＝3时，函数取得最大值，分别求解即可．
【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝（a+2）x+1﹣a，
得2（a+2）+1﹣a＝0，
解得a＝﹣5，
∴一次函数解析式：y＝﹣3x+6；
（2）当a+2＜0时，即a＜﹣2时，
当x＝﹣1时，y＝﹣（a+2）+1﹣a＝5，
解得a＝﹣3，
当a+2＞0时，即a＞﹣2，
当x＝3，y＝3（a+2）+1﹣a＝5，
解得a＝﹣1，
综上，a＝﹣3或﹣1．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析
式以及一次函数的增减性是解题的关键．
28．已知一次函数的图象经过点（3，3），（1，﹣1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出这个一次函数的图象；
（3）观察函数图象，直接写出x取什么值时，函数值y大于0．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据解析式即可画出函数图象；
（3）根据图象即可确定x取值范围．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式：y＝kx+b，
代入（3，3），（1，﹣1），
得 ，解得 ，
∴这个一次函数表达式：y＝2x﹣3；
（2）函数图象如图所示：
（3）观察图象可知，当x＞1.5时，函数值y＞0．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握这些知识是
解题的关键．
29．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣3）和点
B（5，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝mx+2（m≠0）的值小于一次函数y＝
kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法将A（0，﹣3）和点B（5，2）代入解析式求解即可．
（2）解不等式mx+2＜x﹣3，得到：（m﹣1）x＜5，再分情况讨论即可．
【解答】解：（1）将A（0，﹣3）和点B（5，2）代入y＝kx+b，
得： ，解得 ，
∴一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）由题意得：mx+2＜x﹣3，得：（m﹣1）x＜﹣5，
①当m﹣1＞0时，x＜ （不合题意，舍去）；
②当m﹣1＜0时，x＞ ，
∴ ，解得：m≥ ，
∴m的取值范围为：m＜ ．
【点评】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键
是熟练掌握一次函数的性质．
30．已知一次函数图象过点（1，﹣1）和（2，1），与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求此一次函数解析式；
（2）对于此函数图象上任意两点P（x ，y ）、Q（x ，y ），当x ＞x 时，都有y ＞
1 1 2 2 1 2 1
y ；
2
（3）直接写出△AOB的面积．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式，此题得解；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据点的坐标特征求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（1，﹣1）和（2，1），
∴ ，
解得： ．
∴这个一次函数的解析式为：y＝2x﹣3；
（2）在y＝2x﹣3中，
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴对于此函数图象上任意两点P（x ，y ）、Q（x ，y ），当x ＞x 时，都有y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2
故答案为：＞；
（3）对于y＝2x﹣3，令y＝0，则x＝ ，∴A（ ，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴B（0，﹣3），
∴S△OAB ＝ OA•OB＝ ×3＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟
练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
题型七：一次函数综合
31．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点B、点A，点C在x轴上，沿直线AC翻
折，点B恰好落在y轴负半轴上的点D处．
（1）求线段AB的长度；
（2）求直线AC的表达式；
（3）判断在△ABC内部是否存在整点（横纵坐标均为整数的点），如果存在直接写出
整点的坐标，如果不存在，说明理由．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征分别求出点A、B的坐标，根据勾股定
理计算求出AB；
（2）设OC＝m，根据折叠的性质求出AD、CD，进而求出OD，根据勾股定理列出方
程，解方程求出m，利用待定系数法求出直线AC的表达式；
（3）把x＝﹣3、﹣2、﹣1代入一次函数解析式计算，根据整点的定义判断即可．
【解答】解：（1）对于直线y＝ x+3，当y＝0时，x＝﹣4，当x＝0时，y＝3，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5；
（2）设OC＝m，则BC＝4﹣m，
由折叠性质可知，AD＝AB＝5，CD＝BC＝4﹣m，
∴OD＝5﹣3＝2，
在Rt△DOC中，OC2+OD2＝CD2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得：m＝ ，
∴点C坐标为（﹣ ，0），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
∴AC的表达式是y＝2x+3；
（3）当x＝﹣3时，y＝ x+3＝ ，
则当横坐标为﹣3时，△ABC内部不存在整点；
当x＝﹣2时，y＝ x+3＝ ，
则当横坐标为﹣2时，△ABC内部存在整点（﹣2，1）；
当x＝﹣1时，y＝ x+3＝ ，y＝2x+3＝1，
则当横坐标为﹣1时，△ABC内部存在整点（﹣1，2）；
综上所述，△ABC内部存在两个整点（﹣2，1）（﹣1，2）．
【点评】本题考查的是一次函数知识的综合运用、翻转变换的性质，掌握待定系数法求
一次函数解析式的一般步骤、一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
32．如图：已知在平面直角坐标系中，OADC是矩形，OA＝2，OC＝5，点P是边AD边上
一动点，联结CP，将四边形AOCP沿CP所在直线翻折，落在EFCP的位置，点A、B
的对应点分别为点E、F，边CF与边AD的交点为点G．
（1）当P坐标为（2，2）时，求G点坐标，和直线CF的解析式．
（2）过G作GH⊥PC交OC于H，若P（x，2），H（y，0），求y关于x的函数解析
式，并写出它的定义域；
（3）联结OP并延长与线段CF交于点M，当△PGM时以MG为腰的等腰三角形时求P
点坐标．【分析】（1）设PG＝a，先求出GD＝3﹣a，再根据勾股定理求出点G的坐标，由点C
的坐标可求出直线CF的解析式；
（2）由折叠的性质得出DG＝5﹣（5﹣y）﹣x＝y﹣x，利用勾股定理得出y＝ ；
（3）分两种情况解答：①当MG＝MP时，得到△APO≌△DGC，由AP＝DG，得到
＝2x，求解即可；②当MG＝PG时，先得出△AOP，△DPC，△OPC均为直角
三角形，利用勾股定理得到AP2+AO2+DP2+CD2＝BC2，列出关于x的方程，得出结果．
【解答】解：（1）设PG＝a，
∵四边形OADC是矩形，
∴AD∥OC，
∴∠GPC＝∠PCO，
由折叠得：∠PCO＝∠PCG，
∴∠PCG＝∠GPC，
∴PG＝GC＝a，
∵OA＝2，OC＝，P（2，2），
∴PD＝5﹣2＝3，
∴GD＝3﹣a，
在Rt△GDC中，GD2+DC2＝CG2，
∴22+（3﹣a）＝a2，
∴a＝PG＝ ，
∴AG＝2+ ＝ ，
∴G（ ，2），
∵C（5，0），设直线CF为：y＝kx+b，则 ，解得： ，
∴直线CF为：y＝ x+12，
∴G（ ，2）．
（2）∵P（x，2），H（y，0），
由对称性可知：∠OCP＝∠FCP，OC＝CF，
∵GH⊥PC，
∴CG＝CH，
∴FG＝OH＝y，AP＝x，
∴CG＝CF﹣FG＝5﹣y，
∴PG＝5﹣y，
∴DG＝5﹣（5﹣y）﹣x＝y﹣x，
在Rt△DGC中，CD2+DG2＝CG2，
∴（y﹣x）2+22＝（5﹣y）2，
∴y＝ ，
当CF与CD重叠时，G与D重合，此时AP＝5﹣2＝3，
∴y＝ （0≤x≤3）．
（3）∵△PGM时以MG为腰的等腰三角形，MG＝MP或MG＝PG，
①当MG＝MP时，∠MPG＝∠MGP，∠APO＝∠MPG，∠MGP＝∠DGC，
∴∠APO＝∠DGC，
在△APO与△DGC中，
，
∴△APO≌△DGC（AAS），
∴AP＝DG，
∴y＝2x，
∴ ＝2x，
∴3x2﹣20x+21＝0，
∴x＝ ，∵ ＞3（舍去），
∴x＝ ；
②当MG＝PG时，∠MPG＝∠PMG，∠MOC＝∠MPG，
∴CM＝CO，
∵∠OCP＝∠MCP，
∴∠OPC＝∠MPC＝90°，
∴CP⊥OP，
∴△AOP，△DPC，△OPC均为直角三角形，
∴AP2+AO2＝OP2，PD2+CD2＝CP2，OP2+CP2＝OC2，
∴AP2+AO2+DP2+CD2＝BC2，
∴x2+22+（5﹣x）2+22＝52，
∴x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4＞3（舍去），
综上，AP为 或1，
∴P（ ，2）或（1，2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，
分类讨论是解题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，
线段OB，OC（OB＜OC）的长是关于x的方程x2﹣7x+6＝0的两个根，且满足CO＝
2AO．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于
点Q，设△CPQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；
（3）点M的坐标为（m，2），当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．【分析】解：（1）用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）要学会表示水平的距离等于两点的横坐标相减的绝对值，竖直的距离等于两点的
纵坐标相减的绝对值，三角形的面积公式的应用；
（3）分类讨论思想，当∠AMB为直角时，以AB的中点为圆心，AB为直径作圆与y＝2
相交有两个点，则点m的值有两个，当∠MAB为直角时，有一种情况，当∠MBA为为
直角时，有一种情况．
【解答】解：（1）解方程x2﹣7x+6＝0，
得x ＝6，x ＝1．
1 2
∵OB＜OC，
∴OB＝1，OC＝6．
∴B（1，0），C（﹣6，0）．
∵CO＝2AO，
∴OA＝3．
∴A（0，3）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
把点A（0，3），C（﹣6，0）代入，
得 ，
解得 ．
∴直线AC的解析式为 ．
（2）∵A（0，3），B（1，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+3．
∴点 ，Q（a，﹣3a+3）．
∵ ，CD＝|a+6|，
∴ ．当a＜﹣6时， ；
当﹣6＜a＜0时， ；
当a＞0时， ．
（3）m的值﹣1或2．
当∠AMB＝90°时，如下图
∵A（0，3），B（1，0），M（m，2），AM⊥MB，
∴ ，
解得：m ＝﹣1或m ＝2，
1 2
当∠MAB＝90°时，不存在这样的点M；
当∠MBA＝90°时，不存在这样的点M．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数与三
角形面积公式的应用，与直角三角形的应用．
34．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝0.5x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A
在第二象限内作AC⊥AB，且AC＝AB．
（1）如图1，①求线段AB的长度；
②设直线BC的解析式为y＝kx+b，直接写出关于x的不等式kx+b＞0.5x+1的解集；
（2）如图2，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，点A的对应点A′始终在x轴上，
当点C的对应点C′落在直线y＝0.5x+1上，求C′的坐标．
【分析】（1）由直线AB的解析式求出点A，B的坐标，再利用勾股定理求出线段AB
的长度．利用图象可得出不等式的解集．（2）先过点C作CD⊥x轴，构造全等三角形求出C点的坐标，通过平移性质表示出点
C′的坐标，再将点C′的坐标代入直线AB的解析式中即可求出C′的坐标．
【解答】解：（1）①由y＝0.5x+1可知，当x＝0时，y＝1，即点B（0，1），当y＝0
时，x＝﹣2，即点A（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∴在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2．
∴AB＝ ＝ ．
故答案为：AB＝ ．
②如图1，根据图象找出直线BC：y＝kx+b在直线AB：y＝0.5x+1的上方的图象对应的
x的值的范围即可求出；
∵直线BC与直线AB的交点事点B（0，1），
∴kx+b＞0.5x+1的解集为：x＜0，
故答案为：x＜0．
（2）如图2：过点C作CD⊥x轴于D，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD+∠OAB＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°．
∴∠CAD＝∠ABO，
∵∠CDA＝∠AOB＝90°，AC＝AB，
∴△ACD≌△ABO（AAS）．
∴CD＝OA＝2，AD＝OB＝1，
∴OD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，2）．
设点C向右平移b（b＞0）个单位得到点C′，即点C′的坐标为（﹣3+b，2），
∵点C′在直线AB上，则将（﹣3+b，2）代入y＝0.5x+1，得b＝5，
∴点C′的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题主要考查一次函数与x轴，y轴的交点，一次函数与一次不等式的关系及
用坐标表示平移的性质．
35．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+8（k≠0）经过点C（2，4），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝ x于点D．连接
OC、AD．
（1）求证：四边形OCDA是平行四边形；
（2）点P为直线AC上一点，连接OP、PD，当S△POD ＝2S△COD ，求此时点P的坐标；
（3）OD与AC交于点E，点F为x轴上一点，在y轴上是否存在一点G，使得以D、
E、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 G的坐标；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）根据点C的坐标求出直线AB的解析式，再求出OA的长度，利用CD∥x
轴及点D在直线OD上，得出点D的坐标，再计算出CD的长度，从而得出OA＝CD，
且OA∥CD，即可证出．
（2）由△POD与△COD同底，S△POD ＝2S△COD ，可知点P到OD的距离是点C到OD
距离的2倍，利用平移的知识即可解决．
（3）画出图形，再根据平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分等性质进行分
类讨论，利用中点公式，构造全等三角形即可求出符合条件的G点．
【解答】（1）证明：
如图1，将C（2，4）代入y＝kx+8，得k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．
当y＝0时代入y＝﹣2x+8，得x＝4，即点A（4，0），
∴OA＝4．
∵CD平行于x轴，则点D的纵坐标为4，
∴将y＝4代入y＝ ，得x＝6．
∴点D（6，4），C（2，4）．
∴CD＝4．
∴OA＝CD，且OA∥CD．
∴四边形OCDA是平行四边形．（2）∵△POD与△COD的底都是OD，
∴当S△POD ＝2S△COD 时，则点P到OD的距离是点C到OD距离的2倍，
如图2，设将直线OD向上平移b（b＞0）个单位得到直线l ，使得直线l 经过点C，
1 1
∴直线l 的解析式为y＝ +b，经过点C（2，4），则可得b＝ ．
1
∵点P到OD的距离是点C到OD距离的2倍，
①将直线OD向上平移2b（b＞0）个单位得到直线l ，
2
∴直线l 的解析式为y＝ + ．
2
∴直线l 与直线AC的交点即为点P，
2
∴ ，解得 ，
∴点P的坐标为（1，6）；
②将直线OD向上平移2b（b＞0）个单位得到直线l ，
3
∴直线l 的解析式为y＝ ﹣ ．
3
∴直线l 与直线AC的交点即为点P，
3
∴ ，解得 ，
∴点P的坐标为（5，﹣2）．
故答案为：（1，6）或（5，﹣2）．（3）在y轴上存在一点G，使得以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，理由
如下：
设G（0，y），F（x，0）．
∵直线OD与直线AB交于点E，
∴ ，解得 ，即E（3，2），D（6，4）．
①如图3，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，作DM⊥x轴，垂足为M，ED的中点为H．
∵四边形GEFD是以ED为对角线的平行四边形，点H坐标为（ ， ）即H（
，3）．
∴点H也是GF的中点，则 ，解得 ．
∴点G的坐标为（0，6）．
②如图4，当四边形GFED是以ED为边的平行四边形．∴过点G作GM∥x轴，过点D作DM⊥GM，过点E作EN⊥x轴．
∵GD∥EF，GD＝EF．
∴EN∥DM．
∴∠GDE＝∠FEO，∠MDE＝∠NEO．
∴∠GDM＝∠FEN，∠DMG＝∠ENF，GD＝FE．
∴△GDM≌△FEN（AAS）．
∴EN＝DM＝2，OG＝2
∴点G的坐标为（0，2）．
②如图5，过点E作EN⊥y轴，DM⊥x轴．
∵四边形GFED是以ED为边的平行四边形．
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴NE∥x轴，则∠NEG＝∠1，EG∥DF，则∠1＝∠DFM．
∴∠NEG＝∠DFM，∠GNE＝∠DMF＝90°，EG＝DF．
∴△NGE≌△MDF，
∴NG＝DM＝4，
∵ON＝2，
∴OG＝4﹣2＝2，且点G在y轴负半轴，
∴点G的坐标为（0，﹣2）．故答案为：在y轴上存在一点G，使得以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，
点G的坐标为（0，6）或（0，2）或（0，﹣2）．
【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用三角形的面积关系，平
行四边形的性质与判定是解题的关键．
