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期末复习-勾股定理核心知识必考题训练（50题）
题型一：勾股定理
1．如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则x的值为（ ）
A．√2 B． C．2 D．-2
【答案】B
【解析】【解答】解：取点O和点B，
∵OB=√12+12=√2，
∴OA=OB=√2，
∴A点表示的数为-√2.
故答案为：B.
【分析】取点O和点B，根据勾股定理求出OB长，则可得出OA的长，结合A在数轴
上的位置，即可解答.
2．已知 △ABC 中， AC=3 ， AB=5 ， ∠C=90° ，则 △ABC 的周长等于（
）
A．11 B．8+√34 C．12 D．13
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AC=3 ， AB=5 ， ∠C=90° ，
∴BC=√AB2-AC2=√52-32=4
∴△ABC 的周长=AC+BC+AB=4+3+5=12.故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理求出BC，进而可得△ABC的周长.
3．如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若
AC＝ √2 ，则PE+PF=（ ）
A．√2 B．2 √2 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解： ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠A=90° ， AB=BC ，
∴AB2+BC2=AC2 ，
∵AC=√2 ，
∴AB=BC=1 ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45° ，
∵PE⊥AB 于 E ， PF⊥BC 于 F ，
∴ 四边形 PEBF 为矩形， △AEP 和 △PFC 为等腰直角三角形，
∴PF=BE ， PE=AE ，
∴PE+PF=AB=1 ，
即四边形 PEBF 的周长为1.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAC=∠BCA=45°，∠A=90°，AB=BC，根据勾股定
理可得AB=BC=1，易得四边形PEBF为矩形，△AEP和△PFC为等腰直角三角形，则
PF=BE，PE=AE，PE+PF=AB=1，据此不难求出四边形PEBF的周长.
4．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技
艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学
小组发现如下图形：在△ABC中，∠ACB=90°，图中以AB、BC、AC为边的四边形
都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（
）A．25 B．175 C．600 D．625
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2=400+225=625，
又S的值即为AB2，
所以S的值为625，
故答案为：D.
【分析】由勾股定理可得AB2=BC2+AC2=625，根据正方形的面积=AB2，即可得解.
5．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别
为点E，F，且DE=DF=√2，则线段BE的长为（ ）
A．√2 B．√6 C．2 D．2√2
【答案】B
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC= ×60°=30°，
2 2
在Rt△BDE中，
BD=2DE=2√2，∴BE=√ (2√2) 2-(√2) 2=√6.
故答案为：B.
【分析】连接BD，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到BD平分
∠ABC，由此可求出∠ABD的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求
出BD的长；然后利用勾股定理求出BE的长.
6．在直角坐标系中，点P（4，﹣3）到原点的距离是（ ）
A．5 B．√11 C．√13 D．√5
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，连接OP，
∵P（4，﹣3），
∴OE=4，PE=3，
∴在RtΔOPE中，OP=√OE2+PE2=√42+32=5，
∴点P（4，﹣3）到原点的距离是5，
故答案为：A.
【分析】过点P作PE⊥x轴于点E，连接OP，由点P坐标可得OE=4，PE=3，利用勾
股定理求出OP即可.
7．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度
分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，
AP=3×20=60m ， BP=4×20=80m ，
∴AB=√AP2+BP2=√602+802=100m ，
即20s后他们之间的距离为 100m .
故答案为：D.
【分析】利用方位角的定义可求出∠APB=90°，利用已知求出AP，BP的长，然后利
用勾股定理求出AB的长.
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，
AD=√5，则BC的长为（ ）
A．√3-1 B．√3+1 C．√5+1 D．
2√5-1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，AD=√5
∴CD＝√AD2-AC2=1，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝AD=√5，
∴BC＝BD＋CD＝√5+1
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再证明∠B＝∠BAD，可得DB＝AD=√5，
最后利用线段的和差可得BC＝BD＋CD＝√5+1。
题型二：勾股定理的逆定理
9．已知三角形的三边长为a、b、c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+（c-13）2=0，则△ABC是
（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：a-5=0，b-12=0，c=13，
解得a=5，b=12，c=13，
∵52+122=169=132，
∴该三角形是以c为斜边的直角三角形.
故答案为：C.
【分析】根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别列式求出a、b、c的值，
再根据勾股定理逆定理进行判断即可.
10．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，∠B=90°，∠D=α.
则∠BCD的大小为（ ）
A．α B．90°-α C．45°+α D．
135°-α
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵∠B=90°， AB=BC=2
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2= AB2+BC2
= 22+22
=8
∵CD=3， AD=1
AD2+AC2
=8+1=9
而CD2=32=9
∴AD2+AC2=CD2
∴∠CAD=90°，
∠D+∠ACD=90°
∵∠D=α
∴∠ACD=90°- α
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD
=45°+（90°- α）
=135°-α
故答案为：D.
【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC2，结合勾股定理逆定理可得△ACD为直角三
角形，且∠DAC=90°，易得∠ACD=90°-α，根据等腰直角三角形的性质可得
∠BAC=∠ACB=45°，然后根据∠BCD=∠ACB+∠ACD进行计算.
11．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC=2√3 ，BC=2，DB=1，
CD= √3 ，则AB的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD2+CD2=1+3=4，BC2=22=4，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠CDB=∠ADC=90°，
∴AD=√AC2-CD2=√(2√3) 2-(√3) 2=3
∴AB=AD+BD=3+1=4.
故答案为：B.
【分析】分别求出BD2+CD2和BC2的值，可得到BD2+CD2=BC2，由此可证得
∠CDB=∠ADC=90°；再利用勾股定理求出AD的长；然后根据AB=AD+BD，代入计
算求出AB的长.
12．以下列几组数为三角形的边，能组成直角三角形的是（ ）
A．5、10、12 B．6、8、10 C．2、3、4 D．4、5、
6【答案】B
【解析】【解答】解：A.52+102≠122，不能构成直角三角形．不符合题意；
B.62+82=102，能构成直角三角形．符合题意；
C.22+32≠42，不能构成直角三角形．不符合题意；
D.42+52≠62，不能构成直角三角形．不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即
可.
13．已知下列三角形的各边长：①3、4、5，②3、4、6，③5、12、13，④5、11、12
其中直角三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】解：①32+42=52，能构成直角三角形；
②32+42≠62，不能构成直角三角形；
③52+122=132，能构成直角三角形；
④52+112≠122，不能构成直角三角形；
∴其中直角三角形有2个；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
14．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的
面积为（ ）
A．60 B．30 C．65 D．不能确
定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB2=132=169， BC2+AC2=52+122=169，
∴AB2=BC2+AC2， 即△ABC是直角三角形，
1 1
∴S ABC= BC×AC = ×5×12 =30，
△ 2 2
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形， 再利用三角形面积公式求解即可。
二、解答题
15．如图所示，小明制作一个模具，AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90°，
AB=13cm，BC=12cm，求这个模具的面积．
【答案】解：连接AC，
在ΔADC中，∵AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
∴AC=√AD2+CD2=√32+42=5(cm)，
1 1
∴S = CD×AD= ×3×4=6(cm2 )，
ΔACD 2 2
在ΔABC中，∵AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，52+122=132，
即：AC2+BC2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得，ΔABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
1 1
∴S = AC×BC= ×5×12=30(cm2 )，
ΔABC 2 2
∴S =S -S =30-6=24(cm2 )，
四边形ABCD ΔABC ΔACD
答：这个模具的面积是24cm2．
【解析】【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理
证明ΔABC是直角三角形，且∠ACB=90°，然后利用三角形的面积公式可得
1 1 1 1
S = CD×AD= ×3×4=6(cm2 )，S = AC×BC= ×5×12=30(cm2 )，
ΔACD 2 2 ΔABC 2 2
再利用割补法可得S =S -S =30-6=24(cm2 )。
四边形ABCD ΔABC ΔACD
1
16．已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF= AD，
4
求证：CE⊥EF．1
【答案】证明：∵正方形ABCD的边长为4，且AF= AD
4
∴AF＝1，FD＝3，DC＝BC＝4，
∵E为AB的中点
∴AE＝EB＝2；
在Rt△AEF中，EF＝√AF2+AE2＝√5；
在Rt△DFC中，FC＝√DF2+CD2＝5
在Rt△EBC中，EC＝√EB2+BC2＝2√5．
∴EC2＋EF2＝FC2，
∴△EFC是直角三角形
即CE⊥EF．
1
【解析】【分析】由正方形的性质及AF= AD，可得AF＝1，FD＝3，DC＝BC＝4，
4
AE＝EB＝2，再利用勾股定理求出EF、CF、EC，再利用勾股定理的逆定理可推出
△EFC是直角三角形且∠FEC=90°.
17．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，请判
断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】解：△ABC是直角三角形
理由是：∵(a-5) 2+(b-12) 2+|c-13|=0
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0
∴a=5 ， b=12， c=13，
∵a²+b²=5²+12²=169，c²=13²=169
∴a²+b²= c²
∴△ABC是直角三角形.
【解析】【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性可得a-5=0、b-12=0、
c-13=0，求出a、b、c的值，然后结合勾股定理逆定理进行解答.
题型三：勾股定理的实际应用
18．如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯
中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，求茶杯的高度.【答案】解：由题意得当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长
度最短，此时CD=7厘米，AB=5厘米
∴AC=20-7=13厘米，
∴BC=√AC2-AB2=12厘米，
∴茶杯的高度为12厘米.
【解析】【分析】如图所示放置时， 筷子露在外面的长度最短 ，求出此时AC=AD-
CD=13，利用勾股定理求出BC即可.
19．如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的
距离，已知CD⊥BD，现测得AC= 20√3m ，BC= 60m ，CD= 30m ，请计算A，B
两个凉亭之间的距离.
【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝ 20√3m ，CD= 30m ,
∴AD2＝AC2−CD2,AD= 10√3m ．
在Rt△CDB中，∵CD= 30m ，BC= 60m ，
∴BD2＝BC2−CD2，BD= 30√3m
∴AB＝BD-AD= 20√3m
答：A，B两个凉亭之间的距离为 20√3m ．
【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分别求出AD、BD长，再由
AB＝BD-AD，代入数据计算即可得出两个凉亭之间的距离．
20．如图，马路一边有一根5.4m长的电线杆被一辆货车从离地面1.5m处撞断裂，倒
下的电线杆顶部C 是否会落在离它底部3.8m远的快车道上？说明理由．
1【答案】解：不会落在离它的底部3.8m远的快车道上，理由如下：
∵AB=1.5(m)，
∴BC =BC=AC-AB=3.9(m)
1
∴在Rt△BAC 中由勾股定理得AC =√3.92-1.52=3.6(m)
1 1
∵3.6<3.8，
∴电线杆顶部不会落在离它的底部3.8m远的快车道上．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，再与3.8比较即可.
1
21．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子AB斜靠在一竖直的
墙AC上，这时BC为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，你能帮乐乐算
算梯子顶端A下滑多少米吗？（E处）．
【答案】解：∵∠C=90°，在RtΔABC中，由勾股定理得，
AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2米，（负值已舍去）
∵BD=0.5米，
∴在RtΔECD中，CE2=DE2-CD2=2.52-(CB+BD) 2=1.52，
∴CE=1.5米
∴AE=AC-CE=2-1.5=0.5（米）
答：梯子顶端A下滑0.5米．
【解析】【分析】在RtΔABC中，由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
得出AC的值，在RtΔECD中，CE2=DE2-CD2=2.52-(CB+BD) 2=1.52，得出CE的值，即可得出AE的值。
22．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一
头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？
【答案】解：∵在Rt△ABC中，AB=2.5,AC=0.7
∴BC=√AB2-AC2=2.4
∴CE=BC-BE=2
∵在Rt△CDE中DE=2.5
∴CD=√DE2-CE2=1.5
∴AD=CD-AC=0.8．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出CE的长，再
求出CD的长，最后利用AD=CD-AC计算即可。
23．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．
如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正
前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为
50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【答案】解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，
在Rt△ACB中， BC=√AB2-AC2=√502-302=40m，
40m
∴小汽车的速度 =20m/s=72km/h>70km/h；
2s
∴这辆小汽车超速．
【解析】【分析】 在Rt△ACB中 利用勾股定理求出BC，再根据速度=路程÷时间即
可求解.
24．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 AB 斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 AC 为0.7米，顶端到地面距离 BC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，
将梯子斜靠在右墙时，顶端到地面距离 B'D 为2米，求小巷的宽度 CD .
【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝2.4米，AC＝0.7米，
∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25，
在Rt△AB′D中，∵∠ADB′＝90°，B′D＝2米，
∴AD2＋22＝6.25，
∴AD2＝2.25．
∵AD＞0，
∴AD＝1.5米．
∴CD＝AC＋AD＝0.7＋1.5＝2.2米．
答：小巷的宽度CD为2.2米．
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出AD的长，进而可得出结
论．
25．如图是一个滑梯示意图，点A，C，D在同一水平线上，滑梯的高度BC=3米，
DC=1米，AB=AD，求滑梯AB的长．
【答案】解：由滑梯的结构可得：BC⊥AD，
设AB=x，
∵BC=3，DC=1，AB=AD=x，
∴AC=x-1，
在△ABC中，
BC2+AC2=AB2，即32+（x-1）2=x2，
解得：x=5，
则滑梯AB的长为5米.【解析】【分析】先设AB=x ，再利用勾股定理列方程求解即可。
26．如图，在笔直的铁路上 A,B 两点相距 20km ， C,D 为两村庄， DA=8km ，
CB=14km ， DA⊥AB 于 A ， CB⊥AB 于 B .现要在 AB 上建一个中转站
E ，使得 C ， D 两村到 E 站的距离相等，求 AE 的长.
【答案】解：设 AE=x ，则 BE=20-x ，
由勾股定理得：
在 Rt△ADE 中， DE2=AD2+AE2=82+x2 ，
在 Rt△BCE 中， CE2=BC2+BE2=142+(20-x) 2 ，
由题意可知： DE=CE ，
所以 82+x2=142+(20-x) 2 ，
解得： x=13.3
即 AE 的长为 13.3km .
【解析】【分析】先设 AE=x ，则 BE=20-x ，根据勾股定理分别表示出DE2与
CE2，进而根据DE=CE建立方程，求解即可.
题型四：立体图形与最短距离
27．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一
只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?
【答案】解：将长方体沿CH,HE,BE剪开翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,
连接AM,如图1由题意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,
在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=25cm,
将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折,使面ABCD和面DCHG在同一个平面内,连接
AM，
如图2,由题意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,
在Rt△ABM中,根据勾股定理得:AM=5 √29 cm,
将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折,连接AM,如图3,由题意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,
在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AM=5 √37 cm,
∵25＜5 √29 ＜5 √37 ,
则需要爬行的最短距离是25cm.
【解析】【分析】将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根
据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较.
28．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的
点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，
试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．
【答案】解：将曲面沿AB展开，如图所示，过C作CE⊥AB于E，
1
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18﹣1﹣1=16（cm），CE= ×60=30（cm），
2
由勾股定理，得CF= √CE2+EF2=√302+162 =34（cm）．答：蜘蛛所走的最短路线是34cm．
【解析】【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展
开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．
29．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm,如果用一根细线从点A开
始经过4个侧面缠绕一圈到达B(B为棱的中点)，那么所用细线最短需要多长？如果从
点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？
【答案】解：将长方体侧面展开如下图，
据图可知，连接A,B,，根据两点之间线段最短，可知从A开始经过4个侧面缠绕一圈
到B所用细线最短为d=√82+32=√64+9=√73cm,
∴如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边
长分别为8n和3，那么根据勾股定理可知所用细线最短为d =√(8n) 2+32=√64n2+9.
n
【解析】【分析】（1）将该长方体侧面展开如图，再根据勾股定理即可求解AB的最
短距离；
（2）从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则直角三角形的长两条直角边长分别为
8n和3，再利用勾股定理即可求解.
题型五：折叠问题
30．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C恰好落在AB边的中点C'上，点D落在
D'处，C'D'交AE于点M．若AB=6，BC=9，求线段ED．【答案】解：如图，连接C'E，
设DE＝D'E＝x，
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，∠A＝∠D＝90°，
∴AE＝AD－DE＝9－x，
∵折叠，
∴∠D'＝∠D＝90°，C'D'＝CD＝6，
∵点C'为AB边的中点，
1
∴AC'＝ AB＝3，
2
在Rt△AEC'中，C'E2＝AE2＋AC'2＝32＋（9－x）2，
在Rt△C'D'E中，C'E2＝C'D'2＋D'E2＝62＋x2，
∴32＋（9－x）2＝62＋x2，
解得x＝3，
∴线段ED的长为3．
【解析】【分析】连接C'E，设DE＝D'E＝x，则AE＝9－x，利用两次勾股定理分别表
示出C'E2，进而得到方程求解即可．
31．已知，如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果
AB=3cm，BC=5cm，求FC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5cm，∠B＝90°，∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝5cm，
在Rt△ABF中，BF＝√AF2-AB2=√52-32=4cm，
∴FC＝BC−BF＝1cm．
【解析】【分析】根据折叠的性质可得AF＝AD＝5cm，再利用勾股定理求出BF的长，
最后利用线段的和差可得FC＝BC−BF＝1cm。
32．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5,BC=10,现把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，
点C与C'重合，求AF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5,BC=AD=10,∠A=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，
由折叠得：CD=C'D=5，BC=BC'=10,∠CBD=∠C'BD，
∵∠CBD=∠ADB，
∴∠ADB=∠C'BD，
∴FB=FD，
设AF=x,则FD=FB=10-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2+AF2=BF2，即
52+x2=(10-x) 2
15 15
解得x= ，即AF= ．
4 4
【解析】【分析】设AF=x,则FD=FB=10-x，利用勾股定理可得52+x2=(10-x) 2，
再求出x的值即可。
33．如图所示,沿AE折叠长方形ABCD使点D恰好落在BC边上的点F处,已知AB=8
cm ,BC=10 cm ，求EC的长。【答案】解：∵沿AE折叠长方形ABCD使点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AD=AF=BC=10，DE=EF，∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中
BF=√AF2-AB2=√102-82=6,∴CF=BC-BF=10-6=4
设EC=x，则DE=EF=8-x
在Rt△EFC中
EC2+CF2=EF2
∴x2+42=(8-x)2
解之：x=3
∴EC的长为3cm.
【解析】【分析】利用折叠的性质可得到AD=AF=BC=10，DE=EF，∠B=∠C=90°，利
用勾股定理求出BF的长，即可得到CF的长；设EC=x，可表示出EF的长；然后在
Rt△EFC中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
34．如图，在RtΔABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在
边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长.
【答案】解:根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，
设BE=EB′= x ，则EC=4- x .
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中.由勾股定理得， AC=√AB2+BC2=√32+42=5
∴B′C=5-3=2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，
x2+22=(4-x) 2
3
解得 x= .
23
∴EB′的长是 .
2
【解析】【分析】根据折叠得到BE=EB′，AB′=AB=3，设BE=EB′=x，则EC=4-x，根
据勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22=（4-x）2，再解方程即可算出
答案.
35．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线
段AE上的点G处，折痕为AF.若AD=4 cm，求CF的长.
【答案】解：∵正方形ABCD，点E是CD的中点，
1
∴∠B=∠D=90°，AD=CD=4，DE=CE= CD=2，
2
在Rt△ADE中，
AE=√AD2+DE2=√42+22=2√5，
∵将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，
∴DE=EF=2，AG=AB=4，BF=FG，
∴GE=2√5-4
设BF=x，则CF=4-x，
在Rt△GEF中
EF2=GE2+GF2=(2√5-4) 2+x2
∴在Rt△CEF中
EF2=CE2+CF2，
∴(2√5-4) 2+x2=(4-x) 2+22
解之：x=2√5-2
∴FC=4-(2√5-2)=6-2√5.
【解析】【分析】利用正方形的性质及点E是CD的中点，可证得∠B=∠D=90°，
AD=CD=4，同时可求出DE的长，利用勾股定理求出AE的长；再利用折叠的性质可
得到DE=EF=2，AG=AB=4，BF=FG，同时可求出GE的长；设BF=x，则CF=4-x，利
用勾股定理表示出EF2，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后
求出FC的长.题型六：格点问题
36．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知
A，B，C都是格点．小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路．
小明的思路
先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB=√10，BC= ，AC= ，
从而得到AB，BC，AC之间的关系是 ，根据 ，
△ABC的形状为 可得∠ABC是直角．
【答案】√10；√20；AB2+BC2=AC2；勾股定理的逆定理；直角三角形（等腰直角
三角形）
【解析】【分析】利用勾股定理求出BC和AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明
△ABC是直角三角形，即可得到∠ABC是直角．
37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（即
A，B，C均为格点），求BC上的高．
【答案】解：∵AB2=22+12=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
设BC上的高为 h，
1 1
∵S = AB•AC= BC•h，
△ABC 2 2
√5×2√5
∴h= =2，
5
∴BC上的高为2．
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，然后根据三角形
的面积公式即可得到结论
38．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？说明理由.
【答案】解：∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，如图所示
BC＝ √42+22 ＝2 √5 ，CD＝ √22+12 ＝ √5 ，BD＝ √32+42 ＝5.
∵BC2+CD2＝25＝BD2，
∴∠BCD＝90°.
【解析】【分析】连接BD，根据勾股定理可求出BC、CD、BD的值，再由BC2+CD2
＝BD2利用勾股定理的逆定理，即可证出∠BCD＝90°.
39．如图，在边长为1的正方形网格上，有一个△ABC，它的各个顶点都在格子上，
△ABC是直角三角形吗？为什么？
【答案】解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2=5，AC2=20，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．
【解析】【分析】根据格点的边长应用勾股定理分别求出三边的长度，然后判断较短
两边的平方和与长边的平方的关系，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状.
三、综合题40．如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上.
（1）填空：AB= ，BC= ，AC= .
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在图中的格点上是否存在点P，使∠APC=90°，请在图中标出所有满足条件
的格点P（点B除外）（用P 、P ……表示）
1 2
【答案】（1）√5；2√5；5
（2）解：△ABC是直角三角形
理由是：∵AB2=(√5) 2=5，BC2=(2√5) 2=20，AC2=52=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形.
（3）解：如图所示：
【解析】【解答】解：（1）AB=√12+22=√5，BC=√22+42=2√5，AC=√32+42=5.
【分析】（1）直接根据勾股定理就可求出AB、BC、AC；
（2）根据AB、BC、AC的值结合勾股定理逆定理进行判断；
（3）以AC为斜边，找出使△APC为直角三角形的点P的位置即可.
41．如图△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上．（1）求△ABC各边边的长
（2）求△ABC的面积
【答案】（1）解：如图所示：
AD=BD=CE=1，BF=CF=2，AE=3
由勾股定理得：AB=√AD2+BD2=√2，BC=√BF2+CF2=2√2，
AC=√AE2+CE2=√10
（2）解：由（1）得AB=√2，BC=2√2，AC=√10
∴AB2+BC2=(√2) 2+(2√2) 2=10，AC2=(√10) 2=10
∴AB2+BC2=AC2
∴∠ABC=90°
1
∴S = AB·BC=2
△ABC 2
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出△ABC各边的长即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠ABC=90°，最后利用三角形的面积公式可得
1
S = AB·BC=2。
△ABC 2
题型七：方向距离问题
42．如图，一艘轮船从港口A出发，沿北偏东60°方向航行了30√3海里到达点B，有
一个小岛C，恰好在A的北偏东30°方向，在B处的北偏西30°方向．（1）∠BAC＝ ．
（2）求A，C间的距离．
【答案】（1）30°
（2）解：∵EF∥AB，AB=30√3，∠BAC=∠BAD-∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠ABE=60°，
∴∠ABC＝180°-∠ABE-∠FBC=180°-60°-30°=90°，
1
∴BC＝ AC，
2
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
1 1
AC2＝（ AC）2＋AB2即AC2＝（ AC）2＋（30√3）2，
2 2
解得AC＝60（海里），
答：A，C间的距离是60海里．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得∠BAD＝60°，∠CBF＝30°，∠CAD＝30°，
∵AD//EF，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-30°=30°；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABE＝∠DAB＝60°，再利用角的运算列出算
式∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-30°=30°求解即可；1
（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC＝ AC，再利用勾股定理列出方程
2
1 1
AC2＝（ AC）2＋AB2，即AC2＝（ AC）2＋（30√3）2，再求解即可。
2 2
43．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，
我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B
的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，
（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距
离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长.（结果保留根号）
【答案】（1）解：根据题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝20km.
答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km；
（2）解：过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长.
∵CD⊥l，
∴∠CDB＝90°，
∵∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝30°，BC＝20km，1
∴BD= BC=10 km
2
CD=√BC2-BD2=10√3 km，
答：这条最短公路的长为 10√3 km.
【解析】【分析】（1）利用已知可求出∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出
∠ACB=∠CAB=30°，利用等角对等边可求出BC的长；
（2）过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长，利用垂直的定义，
可证得∠CDB＝90°，同时可求出∠BCD的度数；然后利用30°所对的直角边等于斜边
的一半，可求出BD的长，利用勾股定理求出CD的长.
44．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行
125km到达CA岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
【答案】（1）解：由题意可知AD=60km，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴602+BD2=1002，
∴BD=80(km)，
∵BC＝125km，
∴CD=BC-BD=125-80=45(km)，
∴AC=√CD2+AD2=√452+602=75(km)，
∴75÷25=3（小时），
∴从C岛返回A港所需的时间为3小时；
（2）解：∵AB2+AC2=1002+752=15625，BC2=1252=15625，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-90°-48°=42°，
∴C岛在A港的北偏西42°．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差可得CD的
长，然后利用勾股定理求出AC的长，最后利用“时间=路程÷速度”可得答案；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BAC=90°，再利用角的运算可得
∠NAC=180°-90°-48°=42°，即可得到答案。
45．如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东30°方向上的A处，且A处距离灯塔C处80
海里，轮船沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．
（1）求灯塔C到达航线AB的距离；
（2）若轮船的速度为20海里/时，求轮船从A处到B处所用的时间（结果保留根
号）．
【答案】（1）过点C作CD⊥AB，
由题意可知CN∥AB，∠NCA=30°
∴∠CAB=30°
1 1
∴在Rt△ACD中， CD= AC= ×80=40
2 2
答：点C到AB的距离为40海里；
（2）由题意可得：∠MCB=45°
∴在Rt△CDB中，∠DCB=45°∴DB=CD=40
在Rt△ACD中， AD=√AC2-CD2=40√3
∴AB=AD+DB= 40+40√3
40+40√3
∴轮船从A处到B处所用的时间为 =2+2√3 （小时）．
20
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥AB，然后根据含30°的直角三角形性质；（2）
根据勾股定理求AB得长度，然后利用时间=路程÷速度公式求解．
题型八：综合-动点问题
46．已知：如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB=900 ， AB=5cm,AC=3cm, 动点 P
从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动的时间为 ts ，
（1）当 ΔABP 为直角三角形时，求 t 的值；
（2）当 ΔABP 为等腰三角形时，求 t 的值。
【答案】（1）解： ∵∠C=900,AB=5cm,AC=3cm ，
∴BC=4cm
①当 ∠APB 为直角时，点P与点C重合， BP=BC=4cm ， ∴t=2(s) ；
②当 ∠BAP 为直角时，BP=2t cm,CP=(2t-4) cm,AC=3 cm,
在 RtΔACP 中， AP2=32+(2t-4) 2,
在 RtΔBAP 中， AP2=BP2-AB2,
25
∴32+(2t-4) 2=(2t) 2-52 ，解得 t= s
8
25
综上，当 t=2s 或 t= s 时， ΔABP 为直角三角形
8
（2）解：①当BP=BA=5时， ∴t=2.5s②当AB=AP时，BP=2BC=8cm, ∴t=4s ;
③当PB=PA时，PB=PA=2t cm,CP=(4-2t) cm,AC=3 cm
25
在 RtΔACP 中， AP2=AC2+CP2,∴(2t) 2=32+(4-2t) 2 ,解得 t= s
16
25
综上，当 ΔABP 为等腰三角形时， t=2.5s 或 4s 或 s
16
【解析】【分析】（1）首先由勾股定理求出BC的长，①当∠APB为直角时，
BP=BC=4cm，据此可得t的值；当∠BAP为直角时，表示出BP、CP、AC，分别在
Rt△ACP、Rt△BAP中表示出AP2，令其相等可得t的值；
（2） 当BP=BA=5时， 利用路程除以速度=时间可得t的值；当AB=AP时，
BP=2BC=8cm，求出此时的t的值；当PB=PA时，表示出PB、PA、CP、AC，在
Rt△ACP中应用勾股定理可得t的值.
47．如图所示，在 ΔABC 中， ∠ACB=90∘,AB=50cm,AC=40cm ，点 P 从点
C 开始沿 CA 边向点 A 以 4cm/s 的速度运动，同时，另一点 Q 从点 C 开始以
3cm/s 的速度沿 CB 边向点 B 运动.
（1）几秒钟后， PQ 的长度是 15cm ？
1
（2）几秒钟后， ΔPCQ 的面积是 ΔABC 面积的 ？
4
【答案】（1）解：假设t秒后PQ长度为15cm
∴CP=4t ， CB=3t
∵∠ACB=90∘
∴PQ2=CP2+CQ2
∴152=(4t) 2+(3t) 2
解得 t=3 或 t=-3 （舍去）
∴答案为 3 秒后 PQ 的长为 15cm
（2）解：∵∠ACB=90∘,AB=50cm,AC=40cm
∴BC2+AC2=AB2
∵AB=50cm,AC=40cm
∴BC2=√AB2-AC2=√502-402=301
∴S = ×40×30=600cm2 .
ΔABC 2
1
设 x 秒后 ΔPCQ 的面积是 ΔABC 面积的
4
1
∴PC=4xcm,CQ=3xcm,S = ⋅4x⋅3x=6x2
ΔPCQ 2
1
依题意得 S = S
ΔPCQ 4 ΔABC
1
∴6x2= ×600
4
∴x=5 或 x=-5 （舍去）
1
∴5 秒后 ΔPCQ 的面积是 ΔABC 面积的
4
【解析】【分析】（1）假设P和Q运动时间为t，根据 ∠ACB=90∘ ，得到
Rt△CPQ ，通过直角三角形勾股定理，计算得t的取值;
（2）由 ∠ACB=90∘ 得出 Rt△ABC ，通过勾股定理计算得出BC，从而求解出
△ABC 面积；同理，求得 △CPQ 面积和x秒的关系；最后通过 △ABC 和 △CPQ
的比值关系，计算得到答案.
48．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm，P、Q是△ABC的边上
的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点
B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t
s．
（1）BC= cm；
（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？
（3）当点Q在边CA上运动时，求出使△BCQ成为等腰三角形的t值．
【答案】（1）12
（2）解：∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PC=PA=t，PB=16-t，
在Rt△PBC中，BC2+BP2=CP2，即122+(16-t) 2=t2，
25
解得：t= ．
2
（3）解：①当CQ=BQ时，如图1所示，则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，∴BC+CQ=22，∴t=22÷2=11s．
②当CQ=BC时，如图2所示，则BC+CQ=24，t=24÷2=12s．
③当BC=BQ时，如图3所示，过点B作BE⊥AC于点E，
1 1
∵S = AB·BC= AC·BE
△ABC 2 2
AB⋅BC 12×16 48
∴BE= = = ，
AC 20 5
36
∴CE=√BC2-BE2=
，
5
∴CQ=2CE=14.4；BC+CQ=26.4，∴t=26.4÷2=13.2s，
综上所述，当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）由题意得，BC=√AC2-AB2=√202-162=12cm．
故答案为：12；
【分析】（1）利用勾股定理求出BC即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得 PC=PA=t，PB=16-t，在Rt△PBC中，由勾
股定理知BC2+BP2=CP2 ，据此建立关于t的方程并解之即可；（3） 根据等腰三角形的性质可分三种情况：①当CQ=BQ时②当CQ=BC时③当
BC=BQ时 ，据此分别求解即可.
49．如图，Rt△ABC，AC⊥CB，AC=15，AB=25，点D为斜边上动点.
（1）如图，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求
CE；
（2）如图，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD.
【答案】（1）解：∵AC⊥CB，AC=15，AB=25
∴BC=20
∵AE平分∠CAB
∴∠EAC=∠EAD
∵AC⊥CB， DE⊥AB
∴∠EDA=∠ECA=90°
∵AE=AE
∴△ACE≌△AED
∴CE=DE，AC=AD=15
设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10
在Rt△BED中
∴x2+102=(20-x) 2∴x=7.5
∴CE=7.5
（2）解： ①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC=15∴AD=AC=15
②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD=AD
∴∠DCA=∠CAD
∵∠CAB+∠B=90°
∠DCA+∠BCD=90°
∴∠B=∠BCD
∴BD=CD
∴CD=BD=DA=12.5
③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形
如图，作CH⊥BA于点H，
1 1
则 AB×CH= AC×BC
2 2
∵AC=15，BC=20，AB=25
∴CH=12
在Rt△ACH中，易求AH=9
∵CD=AC ， CH⊥BA
∴AD=2AH=18
【解析】【分析】（1）首先用勾股定理算出BD，利用角平分线的定义可证得
∠EAC=∠EAD，利用垂直的定义得∠EDA=∠ECA，利用AAS证明△ACE≌△AED，利
用全等三角形的性质可证得CE=DE，AD=AC，设CE=x，可表示出BE，BD的长，利
用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CE的长；
（2）根据△ACD是等腰三角形，分情况讨论：当AD=AC时，可求出AD的长；当
CD=AD时，利用余角的性质可证得∠B=∠BCD，利用等角对等边可证得
BD=CD=AD，即可求出AD的长；当CD=AC时，作CH⊥BA于点H，利用三角形的面
积可求出CH的长，同时可求出AH的长，利用等腰三角形的性质可求出AD的长.
题型九：其他问题50．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交
BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请
证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，MD=DF，
又DE⊥DF，
∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2；
（2）解：成立．
证明：如图2，延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠MAD=∠B，
∴AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，
又DE⊥DF，MD=FD，
∴EF=EM，
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
【解析】【分析】 （1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，由平行
线的性质可得∠MAE=∠ACB
=90°，∠MAD=∠B， 再证明△ADM≌△BDF可得AM=BF，MD=DF，由DE⊥DF，利
用线段垂直平分线的性质可得EF=EM，根据勾股定理可得
AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2；
（2） 成立．证明：如图2，延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM， 同（1）
方法可证.
