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第15章 分式 培优
一、单选题
x+ y 7 x
1. ( 3分 ) 如果 = ，那么 的值是( )
y 4 y
3 2 4 3
A. B. C. D.
2 3 3 4
【答案】 D
【考点】分式的基本性质
x+ y 7
【解析】【解答】解：∵ = ，
y 4
∴4(x+ y)=7 y
∴4x=3 y
x 3
∴ = ，故选D.
y 4
1
2. ( 3分 ) 当分式 有意义时，x的取值范围是（ ）
x−2
A. x＜2 B. x＞2 C. x≠2 D. x≥2
【答案】 C
【考点】分式有意义的条件
1
【解析】【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式 有意义．
x−2
故选：C．
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
3. ( 3分 ) 下列分式中是最简分式的是（ ）
2x 4 x−1 1−x
A. B. C. D.
x2+1 2x x2−1 x−1
【答案】 A
【考点】最简分式
2x
【解析】【解答】解：A、 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
x2+1
14 2
B、 = ；
2x x
x−1 x−1 1
=
C、 = ；
x2−1 (x+1)(x−1) x+1
1−x x−1
D、 = =−1 ；
x−1 x−1
故选A．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因
式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
4. ( 3分 ) 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】分式的基本性质，分式的加减法
【解析】解答：A、分式的分子分母同时加上一个不为0的数，分式的值改变，故A错误，
B、 ，故B错误，
C、 不能再约分，故C错误，
D、 ，
故选D．
分析: 根据分式的基本性质和分式的加减法法则对各选项进行判断．
3a2 x2 3 a
5. ( 3分 ) 下列各式： ， ， a+b，（x+3）÷（x﹣1），﹣m2 ， ，其中分式共有
π 2x 4 m
（ ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个
D. 6个
【答案】 A
【考点】分式的定义
23a2 x2 3 a
【解析】【解答】解：在 ， ， a+b，（x+3）÷（x﹣1），﹣m2 ， 中，其中分式有
π 2x 4 m
x2 a
， ，（x+3）÷（x﹣1），共3个．
2x m
故选A．
【分析】根据分式的定义看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，
即可得出答案．
x−1
6. ( 3分 ) 若分式 的值为0，则（ ）
x+2
A. x=﹣2 B. x=0 C. x=1 D. x=1或﹣2
【答案】 C
【考点】分式的值为零的条件
x−1
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
x+2
∴ ，解得x=1．
故选：C．
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
7. ( 3分 ) 如果分式 的值为负数,则的x取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】分式的值
【解析】解答：当1-2x＜0时,分式的值为负数,即
分析：分式 的取值范围，主要取决于A和B,在分式 有意义的情况下，若A、B同号，则分式
的值大于0，若A、B异号，则分式的值小于0
38. ( 3分 ) 从﹣3，﹣1，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组
1
(2x+7)≥3 x a−2
{3 无解，且使关于x的分式方程 − =﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条
x−3 3−x
x−a<0
件的a的值之和是（ ）
2 1
A. ﹣2 B. ﹣3 C. - D.
3 2
【答案】 A
【考点】分式方程的解及检验，解一元一次不等式组
x≥1
【解析】【解答】解：不等式组整理得： { ，
x<a
由不等式组无解，得到a≤1，即a=﹣3，﹣1，1，
x 5
当a=﹣3时，分式方程为 ﹣ =﹣1，
x−3 x−3
去分母得：x﹣5=﹣x+3，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，且为整数解，满足题意；
x 3
当a=﹣1时，分式方程为 ﹣ =﹣1，
x−3 x−3
去分母得：x﹣3=﹣x+3，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解，不满足题意；
x 1
当a=1时，分式方程为 ﹣ =﹣1，
x−3 x−3
去分母得：x﹣1=﹣x+3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，且为整数解，满足题意，
则这5个数中所有满足条件的a的值之和为﹣3+1=﹣2，
故选A
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，由不等式组无解确定出a的值，代入分式方程判断，求出满
足条件a的值，求出之和即可．
49. ( 3分 ) 若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A. x＜2 B. x＞2
C. x＞5 D. x＜-2
【答案】 A
【考点】分式的值
【解析】解答：若分式 的值为负数，则2-x＞0，解得x＜2．则x的取值范围是x＜2．故选A．
分析: 分式的值为负数，那么分子、分母异号，在解题过程中，不要忽略分母不为0的条件．
10. ( 3分 ) 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E ， 沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD
上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）.
A. B. C. D. 2
【答案】 B
【考点】一元二次方程的应用，分式方程的实际应用，翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质
【解析】【解答】∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，
设AD=x ， 则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
5∴ ，即 ，
解得x= ，x= （负值舍去），
1 2
经检验x= 是原方程的解．
1
故选：B．
【分析】设AD=x ， 根据矩形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，进行求解得到答案．考查了翻折
变换（折叠问题），相似多边形的性质，解答此题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例
式．
二、填空题
1
11. ( 4分 ) 使y= +x有意义的x的取值范围是________．
2−x
【答案】 x≠2
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】含自变量的式子有分式，则分母≠0，建立不等式求解即可。
√x−4+√4−x
12. ( 4分 ) 若 y= −2 ，则 (x+ y) −2= ________.
2
1
【答案】
4
【考点】负整数指数幂的运算性质，非负数的性质：算术平方根
【解析】【解答】解：∵ x−4≥0 ， 4−x≥0 ，
∴ x≥4 ， 4≥x ，
∴ x=4 ，
√x−4+√4−x
∴ y= −2=0−2=−2 ，
2
1
∴ (x+ y) −2=[4+(−2)] −2=(−2) −2=
4
1
故答案是： .
4
6【分析】根据二次根式的双重非负性可得二次根式的被开方式非负，于是可求得x的值，把x的值代入已
知的等式计算可求得y的值，再把x、y的值代入所求代数式计算并根据负整数指数幂的意义“一个不为0
的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”即可求解.
m
13. ( 4分 ) 关于x的分式方程 ＝－1的解是负数，则m的取值范围是________。
x+1
【答案】 m＞-1且m≠0
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】方程两边同乘（x+1），得m=-x-1
解得x=-1-m，
∵x＜0，
∴-1-m＜0，
解得m＞-1，
又x+1≠0，
∴-1-m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞-1且m≠0。
故答案是：m＞-1且m≠0。
【分析】首先将m作常数，将分式方程装化为整式方程，求解得出x的值，根据方程的解是负数得出-1-m
＜0，与-1-m+1≠0，求解得出m的取值范围。
1
14. ( 4分 ) 计算：|﹣ √2 |+（ ）﹣1﹣2sin45°＝________.
2
【答案】 2
【考点】负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值
√2
【解析】【解答】原式 =√2+2−2× =√2+2−√2=2 ，
2
故答案为：2.
√2
【分析】由特殊角的三角函数值可得sin45°= ， 由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负
2
1
整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（ ）-1=2，再根据实数的运算法则计算即可求解.
2
√1−x
15. ( 4分 ) 在函数 y= 中，自变量x的取值范围是________．
x+2
【答案】 x≤1且x≠﹣2
7【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
16. ( 4分 ) 阅读材料：
分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．如：
x+1 x−1+2 x−1 2 2
① = = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
x2+1 x2−9+10 x2−9 10 10
② = = + =x+3+ .
x−3 x−3 x−3 x−3 x−3
3x−4
解答问题．已知x为整数，且分式 为整数，则x的值为________.
x−2
【答案】 3或1或4或0
【考点】分式的加减法
3x−4 3x−6+2 3（x−2）+2 2
【解析】【解答】解：∵ = = =3+ ，
x−2 x−2 x−2 x−2
3x−4
又∵ 的值为整数，且x为整数；
x−2
∴x-2的值为1或-1或2或-2，
∴x的值为3或1或4或0．
故答案为：3或1或4或0．
【分析】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据分式值为整数，即可得到
x的整数值．
x+2 m
17. ( 4分 ) 若关于x的方程 = 有增根，则m的值是________．
x−2 x−2
【答案】 4
【考点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘（x﹣2），
得x+2=m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）=0，
解得x=2，
8当x=2时，m=2+2+4，
故答案为：4．
【分析】分式 方程有增根，即分式方程化为 整式方程有一个使分母为0的根.
18. ( 4分 ) 一位工人师傅加工1500个零件后，把工作效率提高到原来的2.5倍，因此再加工1500个零件
时，较前提早了18个小时完工，问这位工人师傅提高工作效率的前后每小时各加工多少个零件？设提高工
作效率前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为________。
【答案】 −18 =
【考点】列分式方程
【解析】【解答】原来加工1500个零件所用时间为： ，现在加工1500个零件所用时间为： ，
∴根据题意可列方程为 −18 =
【分析】关键描述语为：“较前提早了18个小时完工”；本题的等量关系为：原来加工1500个零件所用
时间−18=现在加工1500个零件所用时间，把相应数值代入即可求解．
三、计算题
1 m
19. ( 5分 ) 先化简，再求值： (m+2+ )• ，其中 m=−4+√3
m m+1
(m+1) 2 m
【答案】 解：原式 = · =m+1 ，
m m+1
把 m=−4+√3 代入上式，
原式 =−4+√3+1=√3−3 ；
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先将括号内通分，再作分式的乘法，将分式化简，然后代入m的值计算即得结果.
x+3 5
20. ( 5分 ) 先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中x=3+ √3 ．
x−2 x−2
x+3 x2−4 5
【答案】 解：原式= ÷（ ﹣ ）
x−2 x−2 x−2
x+3 x2−9
= ÷
x−2 x−2
9x+3 x−2
= •
x−2 (x+3)(x−3)
1
= ，
x−3
1 1 √3
当x=3+ √3 时，原式= = =
3+√3−3 √3 3
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值
代入计算即可求出值．
1 1 1 1 2 1 1
21. ( 5分 ) 已知 x,y 为整数，且满足 ( + )( + )=− ( − ) ，求 x+ y 的值。
x y x2 y2 3 x4 y4
x+ y x2+ y2 2 x4−y4
【答案】 解：由已知等式得 ⋅ = ⋅ ，显然 x,y 均不为0，∴ x+ y ＝0或
xy x2y2 3 x4 y4
x=−1，
3xy=2(x−y)若 3xy=2(x−y) ，则 (3x+2)(3 y−2)=−4 .又 x,y 为整数，可求得 { 或
y=2,
x=−2，
{ ∴ x+ y=1 或 x+ y=−1 ∴， x+ y 的值为0或±1.
y=1.
【考点】代数式求值，分式的加减法
x+ y x2+ y2 2 x4−y4
【解析】【分析】首先根据异分母分式的加法法则将原式变形为 · = · ,根据分式有意
xy x2y2 3 x4 y4
义的条件知 x , y 均不为0，从而得出 x + y ＝0或 3 x y = 2 ( x − y )，由3 x y = 2 ( x − y )通过配方
可以得到( 3 x + 2 ) ( 3 y − 2 ) = − 4 ，根据x,y都是整数，从而得出
{x=−1
,
{x=−2))
;从而得出x + y = 1
y=2 y=1
或 x + y = − 1 ，综上所述，从而得出答案。
四、解答题
22. ( 9分 ) 某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的
时间他将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.
【答案】 解：设他原来驾车的速度为x km/h.
100 100−2x
根据题意得 =2+0.5+ ,
x 1.6x
10解得x=30,
经检验x=30是原分式方程的解,
答:某人原来驾车的速度为30km/h
【考点】解分式方程，分式方程的实际应用
【解析】【分析】抓住已知条件结果按时到达，可得出等量关系：原计划用的时间=2+0.5+后来走剩余路程
所用时间，列方程求解即可。
23. ( 10分 ) 某市公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住新城的小王上班由自驾
车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自
驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间
3
是自驾车方式所用时间的 .小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？
7
【答案】 解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米
18 3 18
由题意得： × = ，
x 7 2x+9
解得x=27，
经检验x=27是原方程的解.
【考点】分式方程的实际应用
3
【解析】【分析】根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 ， 等量关系是：乘公交车方
7
3
式所用时间等于自驾车方式所用时间的 ， 设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，乘公交
7
18 18 18 18 3
车方式所用时间为 ， 自家车所用时间为 ， 所以列方程为: = × ， 解方程，检
2x+9 x 2x+9 x 7
验作答即可。
24. ( 9分 ) 列方程解应用题：
甲乙两站相距1200千米，货车与客车同时从甲站出发开往乙站，已知客车的速度是货车速度的2.5倍，结
果客车比货车早6小时到达乙站，求客车与货车的速度分别是多少？
【答案】 解：设货车速度为x千米/小时，则客车速度为2.5x千米/小时，
1200 1200
根据题意得： = +6，
x 2.5x
解得x=120，
经检验：x=120是原方程的解且符合实际．
112.5×120=300（千米/小时），
答：货车速度为120千米/小时，客车速度为300千米/小时．
【考点】解分式方程，列分式方程，分式方程的实际应用
【解析】【分析】首先设货车速度为x千米/小时，则客车速度为2.5x千米/小时，根据时间可得等量关系：
客车行驶1200千米的时间=货车行驶1200千米的时间+6小时，根据等量关系列出方程即可．
25. ( 15分 ) 阅读下面的解题过程:
x 1 x2
已知 = ,求 的值.
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解:由 = 知x≠0,所以 =3,即x+ =3.所以
x2+1 3 x x
x4+1 1 1 2
=x2+ = (x+ ) -2=32-2=7.
x2 x2 x
x2 1
故 的值为 .
x4+1 7
该题的解法叫做“倒数求值法”,请你利用“倒数求值法”解下面的题目:
x 1 x2
若 = ,求 的值.
x2−3x+1 5 x4+x2+1
x 1
【答案】 解:由 = 知x≠0,
x2−3x+1 5
x2−3x+1 1
所以 =5,即x+ =8.
x x
x4+x2+1 1 1 2 x2 1
=x2+ +1= (x+ ) -2+1=82-2+1=63.所以 的值为
x2 x2 x x4+x2+1 63
【考点】分式的乘除法
【解析】【分析】这是一道阅读题，要求一个式子的值，只需要先求出其倒数的值，根据分式除法的意义，
将分式的除法转变为多项式除以单项式，进行化简，再根据互为倒数的两个数的乘积为1，这一性质，用
配方的方法将互为相反数的两个数的平方改写成一个完全平方式，得出倒数的平方，最后再倒回来得出答
案。
12
