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第8章 二元一次方程组 单元检测
学校 班级 姓名 学号 分数
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依据方程组中未知数的个数，依据最高次项的次数进行判断即可．
【解答】解：A、方程2x2﹣y＝1的为二元二次方程，故A错误；
B、方程xy+3＝y中，xy的次数为2，故B错误；
C、符号二元一次方程组的定义，故C正确；
D、方程组中含有3个未知数，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题
的关键．
2．（3分）二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
①×4+②得：11x＝22，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为 ，
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元
法与加减消元法．
3．（3分）已知 是方程x﹣my＝3的解，那么m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】把 代入原方程得关于m的一元一次方程，解出即可．【解答】解：∵把 代入原方程得，
1+m＝3，
解得m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤，把 x、y的值
代入原方程得关于m的一元一次方程是解题关键．
4．（3分）若|a+b+5|+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2019＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣52018 D．52018
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 a与b的值，代入原式计
算即可求出值．
【解答】解：∵|a+b+5|+|2a﹣b+1|＝0，
∴ ，
①+②得：3a＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
把a＝﹣2代入①得：﹣2+b＝﹣5，
解得：b＝﹣3，
则（b﹣a）2019＝（﹣3+2）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，利用了消元的思想，消元
的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（3分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝﹣1，则p的值为（
）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【分析】将不含p的两个方程联立，求出x，y的值，再代入x+y＝p中求出p的值．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
代入x+y＝p中得：p＝2.5+3.5＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，将不含p的两个方程联立，求出x，y的值是
解题的关键．
6．（3分）已知a，b满足方程组 ，则a﹣b的值为（ ）A．﹣1 B．m﹣1 C．0 D．1
【分析】观察方程组系数的特点，用第二个方程减去第一个方程，即可得到a﹣b的值．
【解答】解： ，
②﹣①得a﹣b＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，仔细观察系数的特点得到两个方程的系数的差
正好等于所求代数式是解题的关键，也可以分别求出用m表示出的a、b，再求解．
7．（3分）701班班委会计划用100元去超市购买价格分别为8元和12元的两种型号的钢
笔，则可供班委会选择的购买方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【分析】设可以购买8元的钢笔x支，12元的钢笔y支，根据总价＝单价×数量，即可
得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出结论．
【解答】解：设可以购买8元的钢笔x支，12元的钢笔y支，
依题意得：8x+12y＝100，
∴x＝ ，
∵x，y均为非负整数，
∴ 或 或 或 ，
∴可供班委会选择的购买方案有4种．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解
题的关键．
8．（3分）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是
某队全部比赛结束后的部分统计结果：
胜 负 合计
场数 y 10
积分 2x 16
表中x，y满足的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得胜x场，负y场，合计10场，则x+y＝10；胜一场得2分，负一场
得1分，合计16分，则2x+y＝16．即可求解．【解答】解：由题意得： ，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，列出二元一次
方程组是解题的关键．
9．（3分）某商店搞促销活动，同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费 1280
元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元，若设足球的标价是x元，篮球的标价为y
元，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据“同时购买一个篮球和一
个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元”列出方
程组即可．
【解答】解：若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为：
．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程
组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
10．（3分）疫情期间，小明要用15元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须
都买，15元全部用完．若A型口罩每个3元，B型每个2元，则小明的购买方案有（
）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设可以购买x个A型口罩，y个B型口罩，根据总价＝单价×数量，即可得出关
于x，y的二元一次方程组，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【解答】解：设可以购买x个A型口罩，y个B型口罩，
依题意，得：3x+2y＝15，
∴x＝5﹣ y．
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 ，
∴小明有2种购买方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知关于x，y的方程组 ，和 的解相同，则a＝
，b＝ ．
【分析】根据题意得出方程组 ，求出方程组的解，把x、y的值代入方程组
，得出关于ab的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵x，y的方程组 ，和 的解相同，
∴这个解既满足2x﹣3y＝3，又满足3x+2y＝11，
应该是方程组 的解，
解这个方程组，得 ，
又∵ 既满足ax+by＝﹣1，又满足2ax+3by＝3，
∴ ，
解得 ．
故答案为：﹣2；5．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，关键是能求出关
于a、b的方程组．
12．（3分）若方程x+2y＝5，3x﹣4y＝﹣5与kx﹣y＝2有公共解，则k＝ ．
【分析】先求出方程x+2y＝5，3x﹣4y＝﹣5的解，代入方程kx﹣y＝2，求出k．
【解答】解：∵方程组 的解为 ，
把 代入方程kx﹣y＝2得：k﹣2＝2．
解得k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，能根据题意得出关于k的
方程是解此题的关键．
13．（3分）已知|2x+3y+5|+（3x+2y﹣25）2＝0，则x﹣y＝ ．
【分析】利用非负数的意义和加减法解答即可．【解答】解：∵|2x+3y+5|+（3x+2y﹣25）2＝0，|2x+3y+5|≥0，（3x+2y﹣25）2≥0，
∴ ，
②﹣①得：x﹣y＝30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，加减法解二元一次方程组，利用整体的思想解
答是解题的关键．
14．（3分）解方程组 ，当采用加减消元法时，先消去未知数 比较简便．
【分析】由未知数的系数的特点，y的系数互为相反数，即可得到答案．
【解答】解：把两个方程进行相加，即可消去未知数y，
故答案为：y．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元
法与加减消元法．
15．（3分）已知2a+2b+ab＝2，且a+b+3ab＝11，那么a+b+ab＝ ．
【分析】把a+b与ab看作整体，利用加减消元法求出解a+b与ab的值，代入原式计算
即可求出值．
【解答】解：∵2a+2b+ab＝2，即2（a+b）+ab＝2①，且a+b+3ab＝11②，
①×3﹣②得：5（a+b）＝﹣5，即a+b＝﹣1，
把a+b＝﹣1代入②得：﹣1+3ab＝11，即ab＝4，
则a+b+ab＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元
法与加减消元法．
三．解答题（共8小题）
16．解方程组不等式组：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）由于y的系数比较简单，可选用加减法或代入法；
（2）先把方程组化简，再用代入法求解．
【解答】解：（1） ，
①×2+②，得11x＝22，
解得，x＝2．把x＝2代入①，得6+y＝7，
所以y＝1．
所以原方程组的解为 ．
（2）原方程可化简为： ，
把①代入②，得4（3x﹣1）﹣3x＝5，
解得x＝1．
把x＝1代入①，得y＝3﹣1＝2．
所以原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解决本题的关
键．
17．解方程组：
（1）
（2）
【分析】（1）先让①+②得④，再把③④联立得二元一次方程组，求出x和z的值，
再把x的值代入①求出y的值；
（2）先①﹣②，①+③，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，求出二元一次
方程组的解，再把解代入①，从而求出原方程组的解．
【解答】解：（1） ，
①+②得：x﹣z＝2④，
解由③④组成的二元一次方程组得： ，
把x＝4代入①得：y＝3，
所以原方程组的解为： ；
（2） ，①﹣②得：x﹣4y＝5④，
①+③得：5x﹣2y＝13⑤，
解由④⑤组成的二元一次方程组得： ，
把x＝ ，y＝﹣ 代入①得： + +z＝11，
解得：z＝ ，
所以原方程组的解为： ．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解，降次是解题的关键．
18．已知关于x、y的方程组 的解为3x+2y＝14的一个解，求m的值．
【分析】①×4﹣②得出3x+9y＝0，求出x＝﹣3y，把x＝﹣3y代入3x+2y＝14得出﹣
9y+2y＝14，求出y的值，再求出x的值，把x、y的值代入①，即可求出m值．
【解答】解： ，
①×4﹣②得：3x+9y＝0，
即x＝﹣3y，
把x＝﹣3y代入3x+2y＝14得：﹣9y+2y＝14，
解得：y＝﹣2，
即x＝﹣3y＝6，
把 代入①得：m＝6+2×（﹣2）＝2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出 x、y的值是解
此题的关键．
19．已知关于x、y的方程组 和 有相同解，求（﹣b）a的值．
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入剩
下的方程求出a与b的值，即可求出原式的值．
【解答】解：联立得： ，解得： ，
代入得： ，
解得： ，
则原式＝9．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立
的未知数的值．
20．某中学为了丰富学生的校园生活，准备从体育用品店一次性购买若干个足球和篮球
（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若买3个足球和1个篮球需230元；
购买2个足球3个篮球共需340元，则购买一个足球，一个篮球各需多少元？
【分析】设购买一个足球x元，购买一个篮球y元，由买3个足球和1个篮球需230元
列方程为：3x+y＝230；由购买2个足球3个篮球共需340元列方程为：2x+3y＝340，组
成方程组解出即可．
【解答】解：设购买一个足球x元，购买一个篮球y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：购买一个足球50元，购买一个篮球80元．
【点评】本题是二元一次方程组的应用，首先找出题中的两个关键的未知量：足球和篮
球的单价，设两个未知数；挖掘题目中的关系，找出两个等量关系：①3个足球+1个
篮球＝230元，②2个足球+3个篮球＝340元，列出方程组；一般情况下，此类题的等
量关系都比较明显．
21．在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第
一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二
次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了
30%和20%，只花费了260元．求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
【分析】设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，根据总价＝单价×数量，结合两次购买所需
费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
依题意得： ，
解得： ．
答：每次购买酒精20瓶，消毒液30瓶．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
22．已知如图，在数轴上点A，B所对应的数是﹣4，4．对于关于x的代数式P，我们规定：
当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间（包括点A，B的任意一点时），代数式P取
得的最大值小于等于4，最小值大于等于﹣4，则称代数式P是线段AB的相依代数式．
例如，对于关于x的代数式|x|，当x＝±4时，代数式|x|取得最大值是4；当x＝0时，代
数式|x|取得最小值是0，所以代数式|x|是线段AB的相依代数式．
问题：
（1）关于x代数式|x﹣2|，当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间（包括点A，B）
的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是 和 ；所以代数式|x﹣2|
（填是或不是）线段AB的相依代数式．
（2）关于x的代数式：① x﹣ ；②x2﹣1，③x2+|x|﹣10，④|x+2|﹣|x﹣1|﹣1．是
线段AB的相依代数式有 ，并证明（只需要证明是线段AB的相依代数式的式子，
不是的不需证明）．
（3）已知关于x的代数式 +2是线段AB的相依代数式，请求出有理数a的最
大值与最小值．
【分析】（1）根据绝对值的性质可求最值，再根据相依代数式的定义即可判断；
（2）根据相依代数式的定义即可求解；
（3）分两种情况讨论： +2≤4， +2≥﹣4，依此即可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣4时，|x﹣2|取得最大值为6，当x＝2时，|x﹣2|取得最小值
为0，
∵|x﹣2|的最大值＞4，
∴|x﹣2|不是线段AB的相依代数式，
故答案为：6，0，不是；
（2）①当x＝4时， x﹣ ＝2﹣ ＝﹣ ，
当x＝﹣4时， x﹣ ＝﹣2﹣ ＝﹣ ，
∴代数式 x﹣ 不是线段AB的相依代数式；
②当x＝4时，x2﹣1＝16﹣1＝15，
当x＝0时，x2﹣1＝﹣1，
∴代数式x2﹣1不是线段AB的相依代数式；③当x＝4时，x2+|x|﹣10＝16+4﹣10＝10，
当x＝0时，x2+|x|﹣10＝0+0﹣10＝﹣10，
∴代数式x2+|x|﹣10不是线段AB的相依代数式；
④当x＝4时，|x+2|﹣|x﹣1|﹣1＝6﹣3﹣1＝2，
当x＝﹣4时，|x+2|﹣|x﹣1|﹣1＝2﹣5﹣1＝﹣4，
∴代数式|x+2|﹣|x﹣1|﹣1是线段AB的相依代数式；
故答案为：④；
（3）当x＝﹣1时， +2≥﹣4，
解得：a≥﹣12，
当x＝﹣1时， +2≤4，
解得：a≤4，
∴a的最大值与最小值分别为4，﹣12．
【点评】本题考查了代数式和新定义：线段AB的相依代数式，读懂题意，模仿给定例
题解决问题是解题的关键．
23．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解
8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容
融”的进价共计3100元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
（2）该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均
购买），求专卖店共有几种采购方案．
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是 200元，100元，则在
（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价
为y元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩
墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，由题意：该专
卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），
列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）分别求出三个采购方案的利润，即可得出结论．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只
进价为y元，
由题意得： ，
解得： ，答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元；
（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，由题意得：
150m+80n＝3500，
整理得：15m+8n＝350，
∵m、n为正整数，
∴ 或 或 ，
∴专卖店共有3种采购方案；
（3）当m＝2，n＝40时，利润为：2×（200﹣150）+40×（100﹣80）＝900（元）；
当m＝10，n＝25时，利润为：10×（200﹣150）+25×（100﹣80）＝1000（元）；
当m＝18，n＝10时，利润为：18×（200﹣150）+10×（100﹣80）＝1100（元）；
∵900＜1000＜1100，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具 18只，购进“雪容融”毛绒玩具10
只，最大利润为1100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一
次方程．
