第九章不等式与不等式组（选拔卷）-单元测试（人教版）（解析版）_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_2单元测试

第九章 不等式与不等式组（人教版） 选拔卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．（2021·辽宁北镇·八年级期中）若 是关于 的一元一次不等式，则 的值 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义即可求解． 【详解】解：∵ 是关于x的一元一次不等式，∴2m－5＝1，∴m＝3，故选： D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练运用不等式的定义解决问题是本题的关 键． 2．（2022·浙江缙云·八年级期末）若 ，且 ，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D．a3 【答案】A 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵x y，且 a3xa3y，∴a-3<0，∴a<3，故选A． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号 的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边 都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3．（2021·湖南龙山·七年级期末）①a是正数，用不等式表示为：a≥0；②2不是不等式 x+3＞6的解；③如果a＞b，则﹣4a＞﹣4b；④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞2．以上四个 说法正确的是（ ） A．①②③④ B．①③④ C．② D．①② 【答案】C 【分析】根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的 解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集， 进行分析即可得到答案． 【详解】解：①a是正数，用不等式表示为：a＞0，原说法错误； ②2不是不等式x+3＞6的解，说法正确；③如果a＞b，则﹣4a＜﹣4b，原说法错误；④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞﹣4，原说法错误；故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义， 关键是熟练掌握两个定义． 4．（2022·浙江新昌·八年级期末）如果ab，那么下列结论一定正确的是（ ） a b A． B．  C． D． a3b3 2 2 a3b4 a3b3 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：A、如果ab，则a3b3，错误，不符合题意； a b B、如果 ，则  ，错误，不符合题意； ab 2 2 C、如果ab，则a3b4，不一定正确，不符合题意； D、如果ab，则a3b3，正确，符合题意，故选：D． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键． x1 5．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期末）如果不等式组 的解集是 ，那么a的 xa x1 值可能是（ ） 3 A．-2 B．0 C．-0.7 D． 5 【答案】A 【分析】根究不等式组解集的确定原则，判定a≤-1，比较大小后，确定即可． x1 【详解】∵不等式组 的解集是 ，∴a≤-1，只有-2满足条件，故选A．  xa x1 【点睛】本题考查了不等式组解集，正确理解不等式组解集的确定原则是解题的关键． 6．（2022·江苏·七年级专题练习）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且 x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ） A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1 【答案】A 【分析】根据不等式解的定义列出不等式，求出解集即可确定出a的范围． 【详解】解：∵x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的 解， ∴ 15a3a20 且 454a3a20 ， 即﹣4（﹣2a+2）≤0且﹣（a+2）＞0，解得：a＜﹣2．故选：A． 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，组成 这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集是解题的关键． 7．（2021·河北·邢台三中七年级期中）对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为 x ，1 1 即：当 n 为非负整数时，如果n 2  xn 2 ，则 x n．反之，当 n 为非负整数时，如 1 1 果 x n时，则n  xn ，如 0  0.48 0， 0.64 = 1.493 1， 2 2， 2 2 2x13 ，…若关于 的不等式组 的整数解恰有 个，则a的范围（） 3.5 = 4.12 4 x xa0 3 A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5 【答案】D 【分析】将〈a 看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值 范围． 〉 2x13 【详解】解：解不等式组 ，解得： ， xa0 2 x a 由不等式组的整数解恰有3个得：0 a 1，故0.5a＜1.5，故答案选D． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的应用以及新定义，根据题意正确理解的意 义是解题的关键． 8．（2022·全国·八年级）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是 x 否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则 的取值范围是（ ） A．2x4 B．2x4 C．2x4 D．2x4 【答案】A 【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组： 33x2228   ，解之即可得出x的取值范围． 333x22228    33x2228①  【详解】解：依题意，得： ， 333x22228②    由①得：9x36 x4， 由②得：39x8 ＞30，9x8＞10， \ x＞2， 所以不等式组的解集为：2x4．故选：A． 【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一 元一次不等式组是解题的关键． 9．（2021·湖北·武汉一初慧泉中学七年级阶段练习）对于任意实数m，n，我们把这两个 中较小的数记作min{m，n}，如min{1，2}＝1．若关于x的不等式min{1－2x，－3}＞m无 解，则m的取值范围是（ ）．A．m≤－3． B．m≤2． C． m≥－3． D．m≥2． 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则分情况讨论1－2x与－3的大小及min{1－2x，－3}的值，通 过min{1－2x，－3}＞m求解m的范围． 【详解】解：令y=min1－2x，－3 由题意可得：当12x＞3即x＜2时， min1－2x，－33， 当12x＜3即x＞2时，min1－2x，－31－2x， ∵min1－2x，－3＞m， 即y＞m无解，∴m－3，故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下解一元一次不等式，明白新定义的运算法则是解题的关键． 10．（2021·福建省泉州第一中学七年级阶段练习）设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表 示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝ 3，{3.4}＝4，＜3.4＞＝3，则方程3[x]＋2{x}＋＜x＞＝20（ ） A．没有解 B．恰好有1个解 C．有限个解 D．有无数个解 【答案】D 【分析】首先判断x的大致范围为3＜x＜4，然后再分两种情况讨论x的范围，①3＜x＜ 3.5，②3.5＜x＜4即可得到答案． 【详解】解：当x＝3时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×3+3＝18，当x＝4时，3[x]+2{x}+＜x ＞＝3×4+2×4+4＝24，∴可得x的大致范围为3＜x＜4， ①3＜x＜3.5时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+3＝20，符合方程； ②当3.5＜x＜4时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+4＝21，不符合方程．故选：D． 【点睛】本题考查了学生对[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数， （x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分 类讨论思想的应用． 二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。 11．（2021·河南宛城·七年级期末）对于任意有理数a、b，定义一种运算：a※bb2a． 例如，3※55231．根据上述定义可知：不等式 3x4※13的最大整数解是 ______． 【答案】0 【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解 即可得出． 【详解】∵a※bb2a， 3x4※13∴123x43解得：x1∴最大整数解是0． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出x1是解 题的关键． 12．（2021·重庆沙坪坝·七年级期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有 学生___人． 【答案】11或12 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生 能分到笔但分到的少于3支，得出5x+7≥6（x-1）+1，且6（x-1）+3＞5x+7，分别求出即可． 【详解】解：假设共有学生x人，根据题意得出： 5x76x11  ，解得：10＜x≤12．  6x135x7 因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12，故答案为：11或12． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是 解决问题的关键． a c 13．（2021·北京大兴·七年级期中）我们定义 adbc，例如 b d 1 3 1423462．若 ，是整数，且满足 ，则 2 4 x,y 的最小值是__________． 【答案】-5 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定 x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3，则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数，∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4；x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；故x+y的最小值是-5，故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．  x5 14．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）不等式组 有解，m的取值范围是 xm3 ______． 【答案】m＜2 【分析】根据不等式组得到m+3＜x＜5，  x5 【详解】解：解不等式组 ，可得，m+3＜x＜5， xm3 ∵原不等式组有解∴m+3＜5，解得：m＜2，故答案为：m＜2． 【点睛】本题主要考查了不等式组的计算，准确计算是解题的关键． x3m0 15．（2021·河北·石家庄市第十九中学七年级期末）已知关于x的不等式组 的解 n2x0 集是﹣1＜x＜3，则（m＋n）2021＝_______．【答案】-1 【分析】分别求得两个不等式的解集（含m、n的式子表示），然后根据不等式组的解集 为-1＜x＜3得到关于m、n的二元一次方程组，可求得m、n的值，最后即可求得代数式 （m+n）2021的值． n 【详解】解：解不等式x-3m＜0得：x＜3m，解不等式n-3x＜得：x＞ ， 2 3m3  ∵不等式组的解集为-1＜x＜3，∴n ，解得：m1 ，∴（m+n）2021=-1．故答案  1  2 n2 为：-1． 【点睛】本题是一道综合性的题目．考查了不等式组和二元一次方程组的解法，将不等式 组问题转化为方程组问题是解题的关键． 16．（2021·河南省淮滨县第一中学七年级期末）对于数x，符号 x 表示不超过x的最大 x2 a  整数，暨 ，若关于 的方程 4有正整数解，则 的取值范围是 xxx1 x  5  a ________． 【答案】12a12 x2 a 【分析】根据符号的定义，得到4 5，求解不等式，得到 ， 202 a x252 a 5 有正整数解，得到252a 1，求解即可． x2 a  x2 a 【详解】解：∵ 4，可得到4 5，求得 5 202 a x252 a   5 x有正整数解，可以得到252 a 1，即 a 12，解得12a12故答案为12a12 【点睛】此题考查了绝对值不等式以及对新符号的理解，解题的关键的是根据符号定义以 及方程求得不等式． 17．（2022·江苏·七年级月考）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等侯进食堂就 餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始 配餐后，仍有学生续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且 二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的， 一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开 放2个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟内配餐完 毕，则两个食堂至少需要同时一共开放___个配餐窗口． 【答案】29 【分析】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y 人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10 分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，解之即可用含y的 代数式表示出a，x，设设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据需要在15分钟内配 餐完毕，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分 a10x1012y 钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，依题意得： ，∴ 2a142x1420y x5y  ， a70y 设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口， 依题意得：15my≥a+2a+15×（x+2x），解得：m≥29．故答案为：29． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系， 正确列出三元一次方程组是解题的关键． 18．（2022·成都外国语学校八年级期中）先阅读短文，回答后面所给出的问题：对于三个 数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定mina,b,c 表示这三个数 中最小的数，maxa,b,c 表示这三个数中最大的数．例如：min1,2,31， a(a1) max1,2,33 ；min1,2,a 1(a1) ，若 min4,x4,4xmax2,x1,2x，则 x 的值为_______． 4 【答案】 或 3 2 【分析】根据新定义法则，分x或x+4或x﹣4最小、2或x+1或2x最大几种情况，分别列 出一元一次不等式组和一元一次方程进行解答即可． x44 x0 【详解】（1）当 最小时，则 ，即 ， 无解，此情况不成立． 4 4x4 x0 x 4x4 x0 （2）当 最小时，则 ，即 ， x4 4xx4 x0  解得x0，此时：x12，2x2，max2,x1,2x2，x42，即x2． 44x x0 （3）当 最小时，则 ，即 ， 解得 ，此时无法判断， 4x 4x4x x0  x0 max2,x1,2x 的值，则分情况讨论如下： 2x1 x1 ①当 最大时： ，即 ， ，此时： ， （舍去）． 2 22x x1 0x1 4x2 x2 2x2 x1 4 ②当 最大时： ，即 ， ，此时有： ，x ． 2x 2xx1 x1 x1 4x2x 3x12 x1 ③当 最大时， ，即 ，无解，此情况不成立． x1 x12x x1 4 综上所述：x 或 ． 3 x2 【点睛】本题考查新定义下解一元一次不等式组和一元一次方程的能力，由已知等式找到 x的分界点以及准确分类讨论是解答的关键． 三、解答题：本题共8个小题，19-24每题8分，25-26每题9分，共66分。  2x51  19．（2022·湖南双峰·八年级期末）解不等式组，2 3x1 1 ，并把解集在数轴上表 x   3 2 3 示出来． 【答案】3x≤1，数轴见解析 【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解．  2x51①  【详解】解：2 3x1 1 ，解不等式①得： ，解不等式②得： ， x  ②  3 2 3 x3 x1 ∴不等式组的解集为3x≤1，把解集在数轴上表示出来如下图： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一 元一次不等式组的解法是解题的关键． 20．（2021·山西·太原市外国语学校八年级阶段练习）利用不等式的性质，解答下列问题． （1）①如果a﹣b＜0，那么a b；②如果a﹣b＝0，那么a b；③如果a﹣b＞0，那 么a b； （2）比较2a与a的大小．（3）若a＞b，c＞d．①比较a+c与b+d的大小；②比较a﹣d 与b﹣c的大小． 【答案】（1）①＜；②＝；③＞；（2）a＞0时，2a＞a；a＜0时，2a＜a；（3）①a+c ＞b+d；②a﹣d＞b﹣c 【分析】（1）分别根据不等式的性质解答即可；（2）分a0，a0，a0三种情况讨 论； （3）根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：（1）①如果ab0，那么ab；②如果ab0，那么ab； ③如果ab0，那么ab；故答案为：；；； （2）当a0时，2aa；a0时，aaa0，即2aa；a0时，aaa0，即 2aa；（3）① ab，cd，acbd ；② ab，cd，ad bc．   【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是不等式两边都乘或除以同一个负数，不 等号的方向改变． 21．（2021·湖北青山·八年级期中）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n， n+2．（n为正整数）。（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长； （2）若这个三角形的三条边都不相等，直接写出n的最大值为 ． 【答案】（1）它的三边长分别为9,9,5；（2）7． 【分析】（1）分①n63n和②3nn2两种情况，分别解方程求出n的值，再根据三 角形的三边关系定理即可得出答案；（2）先根据n63n和3nn2可得n3和n1， 再分0n1，1n3和n3三种情况，分别根据三角形的三边关系定理，结合n为正整 数即可得． 【详解】解：（1）由题意，分以下两种情况： ①当n63n，即n3时，这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为9,9,5，  59149，满足三角形的三边关系定理，符合题意； ②当3nn2，即n1时，这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为7,3,3，  3367，不满足三角形的三边关系定理，舍去； 综上，它的三边长分别为9,9,5； （2） 这个三角形的三条边都不相等，n63n和3nn2，解得n3和n1，  ①当0n1时，长为n6的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：3nn2n6， 4 解得n ，不符题设，舍去； 3 ②当1n3时，长为n6的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：3nn2n6， 4 4 解得n ，则此时 的取值范围是 n3， 3 n 3 Qn为正整数，此时n2； ③当n3时，长为3n的边是最长边，由三角形的三边关系定理得：n6n23n， 解得n8，则此时n的取值范围是3n8， Qn为正整数，此时n的所有可能取值是4,5,6,7； 综上，符合条件的n的所有可能取值是2,4,5,6,7，则所求的n的最大值是7，故答案为： 7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理、一元一次不等式的应用 等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 22．（2021·浙江金华·八年级期中）对x，y定义一种新运算F(x,y)(axby)(x3y)（中 a，b均为非零常数）．例如：F(1,1)4a4b；已知F(3,1)0，F(0,1)9．（1）求a，的值；（2）若关于 的不等式组 恰好只有 个整数解， 求 的取值范围． 【答案】（1）a=1，b=-3；（2） 【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与 b的值； （2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好只有 个整数解，确定出k 的范围即可． 【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，解得： ； （2）∵a=1，b=-3，∴ ， ∴ 可变形为 ，化简得： ，解 得： ， ∵不等式组恰好只有 个整数解，∴ ，解得： ． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本 题的关键． 23．（2022·江苏·七年级专题练习）某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售 状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元， 所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了 2200元． (1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水 果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的 损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？ 【答案】(1)水果店两次分别购买了800元和1400元的水果(2)6元 【分析】（1）设该水果店两次分别购买了x元和 y 元的水果．根据“购进同一种水果，第 二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2 倍”、“两次购进水果共花去了2200元”列出方程组并解答；（2）设该水果每千克售价 为a元，则由“售完这些水果获利不低于1244元”列出不等式并解答． 【解析】(1)解：设该水果店两次分别购买了x元和 y 元的水果．根据题意，得，解得 ，经检验， 符合题意． 答：水果店两次分别购买了800元和1400元的水果． (2)解：第一次所购该水果的重量为 （千克）． 第二次所购该水果的重量为 （千克）． 设该水果每千克售价为 元，根据题意，得 ．解得 ． 答：该水果每千克售价至少为6元． 【点睛】本题考查了方程组的应用和不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关 键描述语，找到所求的量的等量关系． 24．（2021·河南卫辉·七年级期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例 题：对于 x2x40，这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析：由有理数的乘 x20 x20 法法则“两数相乘，同号得正”，可得（1） ，（2） ，从而将陌生的高 x40 x40 次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式组的 解集，即：解不等式组（1）得x4，解不等式组（2）得x2，所以 x2x40的 解集为x4或x2，请利用上述解题思想解决下面的问题： m （1）请直接写出x2x40的解集．（2）对于 0，请根据有理数的除法法则化 n x3 为我们学过的不等式（组）．（3）求不等式 0的解集 x1 m0 m0 【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 或 2x4 n0 n0 x1 x3 x20 x20 【分析】（1）根据阅读理解的指引把原不等式化为： ①或 ②，再分别 x40 x40 解两个不等式组即可得到答案；（2）根据“两数相除，同号得正，异号得负”把原不等式 m0 m0 化为：① 或② 即可；（3）根据“两数相除，同号得正，异号得负”把原不 n0 n0 x30 x30 等式化为：① 或② ，再解两个不等式组，从而可得答案． x10 x10 x20 x20 【详解】解：（1） x2x40 ， x40 ①或 x40 ②，  解①得：2x4，解②得：不等式组无解，  x2x40的解集是2x4；m m0 m0 （2） 0可以化为：① 或② ； n n0 n0 x30 x30 （3）解：根据除法法则可得：① 或② ， x10 x10 解不等式组①得：x1，解不等式组②得：x3， x3 所以 0的解集是 或 ． x1 x1 x3 【点睛】本题考查的是阅读理解，根据阅读理解列不等式组，同时考查一元一次不等式组 的解法，正确弄懂题意列不等式组是解题的关键． 25．（2022·重庆八中八年级阶段练习）某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成 C型，D型两种木板出售，已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，且购 买2块A型木板和3块B型木板共花费220元．（1）A型木板与B型木板的进价各是多少 元？ （2）根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A型木板、B型木板共200 块，若一块A型木板可制成2块C型木板、1块D型木板；一块B型木板可制成1块C型 11 木板、2块D型木板，且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的 ．①该木板 13 加工厂有几种进货方案？②若C型木板每块售价30元，D型木板每块售价25元，且生产 出来的C型木板、D型木板全部售出，哪一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？ 【答案】（1）A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块；（2）①该木板加 工厂有4种进货方案；方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；方案2：购进A型 木板76块，B型木板124块；方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；方案4：购 进A型木板78块，B型木板122块．②方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最 大，最大利润为7625元． 【分析】（1）设A型木板的进价为x元/块，B型木板的进价为y元/块，根据“一块A型 木板的进价比一块B型木板的进价多10元，购买2块A型木板和3块B型木板共花费220 元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设购入A型木板m块，则购入B型木板（200-m）块，由购进木板的总资金不超过 8780元且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的 ，即可得出关于m的 一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各进货方案； ②根据利润=销售收入-进货成本，分别求出4个进货方案的销售利润，比较后即可得出结 论． 【详解】解：（1）设A型木板的进价为x元/块，B型木板的进价为y元/块， 依题意，得： ， 解得： ． 答：A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块．（2）①设购入A型木板m块，则购入B型木板（200-m）块， 依题意，得： ， 解得：75≤m≤78． ∵m为整数， ∴m=75，76，77，78． ∴该木板加工厂有4种进货方案， 方案1：购进A型木板75块，B型木板125块； 方案2：购进A型木板76块，B型木板124块； 方案3：购进A型木板77块，B型木板123块； 方案4：购进A型木板78块，B型木板122块． ②方案1获得的利润为（75×2+125）×30+（75+125×2）×25-75×50-125×40=7625（元）， 方案2获得的利润为（76×2+124）×30+（76+124×2）×25-76×50-124×40=7620（元）， 方案3获得的利润为（77×2+123）×30+（77+123×2）×25-77×50-123×40=7615（元）， 方案4获得的利润为（78×2+122）×30+（78+122×2）×25-78×50-122×40=7610（元）． ∵7625＞7620＞7615＞7610， ∴方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出 一元一次不等式组；②利用利润=销售收入-进货成本，分别求出4个进货方案的销售利润． 26．（2021·湖南·长沙市北雅中学八年级开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意 两点Px,y  与点P x ,y  的“近似距离”给出如下定义：若 x x  y y ，则点 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 Px,y  与点P x ,y  的“近似距离”为 ；若 ，则点 1 1 1 2 2 2 与点 的“近似距离”为 ． （1）已知点 、点 ，则点 与点 的“近似距离”为 ________．（2）已知点 ， 为 轴上的动点．①若点 与 的“近似距离为 ”，写出满足条件的 点的坐标________．②直接写出点 与点 的“近似距离”的最小值________． （3）已知 点坐标为 ， ，写出点 与 的“近似 距离”的最小及相应的 点坐标． 【答案】（1） ；（2）① 或 ；② ；（3） ； 【分析】（1）根据题意即可得点 与点 的“近似距离”； （2）①设点 的坐标为 ．由 ， ，解得 或，即可得出答案； ②设点 的坐标为 ，且 ，则 ， ，若 ，则点 、 两点的“近似距离”为 ，若 ，则点 、 两点的“近似距离”为 ；即可得出结 果； （3）先根据题意求得 ， ，接下 来对 与 的大小关系进行分类讨论，以及对 和 的正负性进 行讨论，由此可以化简绝对值，才能进行下一步的计算求解，当所有情况讨论完之后即可 确定本题的“近似距离”的最小值以及此时点C的坐标． 【详解】解：（1）根据“近似距离”定义可知： x x  31  4 4， P Q y y  41  3 3， P Q  43， x P x Q  y P y Q ，  点 P 与点Q的“近似距离”为4，故答案为：4； （2）①  点B为x轴上动点，y B 0， 又∵点A0,2 ，∴ y y  20  2 23， A B 又∵点 A 与点 B 的“近似距离”为3， x A x B  0x B  x B 3，x B 3， B点坐标为(-3,0) 或(3,0) ，故答案为：(3,0)或(3,0)； ②若 x x  y y 2，则点 与点 “近似距离”为 x x 2， A B A B A B A B 若 x x  y y 2，则点 与点 “近似距离”为 y y 2， A B A B A B A B 故点A与点B近似距离的最小值为2，故答案为：2； （3） x x  2m21  2m1， y y  m0  m ， C D C D 当m0时，2m1m， x C x D  y C y D ，  点C与点D近似距离为 x x  2m1 1， C D 则点C与点 D 近似距离最小值为 1 ，此时m0，∴此时C点坐标为 2,0 ； 1 当 m0时， x x  2m1 2m1， y y  m m， 2 C D C D 1 1 若 ，则m ，点 与点 近似距离为 x x 2m1 ， 2m1m 3 C D C D 3 1 1 2 4 则点 与点 近似距离最小值为 ，此时m ，则2m2 2 ， C D 3 3 3 3 4 1 1 1 ∴此时 点坐标为 , ；若 ，则m ，m ， C 3 3 2m1m 3 31 点 与点 近似距离为 y y m ，此种情况不符合题意，  C D C D 3 1 当m 时， x x  2m1 2m1， y y  m m， 2 C D C D 若 x C x D  y C y D ，即2m1m，m1，2m11，∴当m1时， 2m11， 即：此时点C与点D近似距离最小值为1，C点坐标为0,1， 1 若 x x  y y ，即 ， ，即1m ， C D C D 2m1m m1 2 1 1 1 1m ，∴当m 时，m ， 2 2 2  1 即：此时点 与点 近似距离最小值为1 ， 点坐标为1, ， C D 2 C  2 1 1 1 4 1   1， 点与 点近似距离最小值为 ，此时 点坐标为 , ． 3 2 C D 3 C 3 3 【点睛】本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值、绝对值不等式等知识；本 题综合性强，正确理解新定义“近似距离”是解题的关键．