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第十九章 二次根式
一、二次根式
❑√a
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次
根号．如 都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即❑√a有意义⇔a≥0
；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即❑√a无意义a<0.
4.二次根式的性质①二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （
）．
②二次根式 的性质： （ ）
二次根式 的性质：
③
二、最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因
式
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
（2）
法分配律，如
三、二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则：❑√a*❑√b=❑√ab（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数
不变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①❑√a*❑√b∗❑√c=❑√abc（a≥0；b≥0；c≥0）
②a❑√b*c❑√d=ac❑√bd（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用：❑√ab=❑√a*❑√b（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的
算数平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：❑√abcd=❑√a*❑√b*❑√c*❑√d（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0）
2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广： .
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算
括号里面的（或先去掉括号）
易错点1 利用二次根式的性质化简
易错点总结
忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根
式性质的运用条件把握不准。
注意事项
化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨
论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。
例1-1：（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5， ， ，化简
的结果是 ．
【答案】
【分析】先根据三角形三边关系确定 的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合
的范围化简绝对值，最后计算式子结果．
根据三角形三边关系确定 的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式．【详解】解：由三角形三边关系，得 ．
， ．
∴原式 ．
故答案为： ．
例1-2：（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究：
（1）计算： _____， _____， ， _____；
（2）猜想：对于任意实数 ， 一定等于 吗？利用（1）中的计算，你发现 的值等于多少呢？
（3）应用：已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，计算：
【答案】（1）3，5， ， ；（2）对于任意实数a， 不一定等于a， ；（3）
【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关
键．
（1）分别计算各式的值即可；
（2）根据（1）中各式运算结果，归纳出探究结果即可；
（3）根据字母a、b在数轴上的位置得出 ，然后根据（2）的结论化简即可．
【详解】解：（1） ， ， ， ．
故答案为：3，5， ， ；
（2）由（1）各式计算结果可以发现：对于任意实数a， 不一定等于a， ；
（3）由数轴得， ，
∴ ，∴
．
易错点2 隐含条件下的二次根式化简
易错总结
1. 忽视定义域：未从隐含条件（如a<0）判断字母符号，导致开方后未加绝对值或符号处理错误。
2. 公式机械套用：直接套用❑√a2 = a，忽略a的实际符号，应确保结果为非负。
3. 条件利用不全：仅利用部分条件，未综合判断整个式子的正负。
4. 注意事项：化简前先根据条件确定各字母符号；严格遵循 ❑√a2 = |a|)，再根据条件去绝对值；结果务必
化为最简。
例2-1：（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定
的范围，再将根号外的因式移到根号内化简．
先由 得 ，从而确定 的符号；再将 变形为负的形式，移到根号内进行化简．
【详解】解：由二次根式有意义的条件，得 ，
，即 ，
．
原式 ．故答案为： ．
例2-2：（25-26八年级上·上海·月考）化简：当 时， ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件 且平方根内表达式非负，推出 且 ，
再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解．
【详解】解：∵ ，且 为实数，
∴ ，
∵ 和 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 且 ．
∴ ．
故答案为： ．
易错点3 复合二次根式的化简
易错点总结
一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底， 或者在开方
运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。
注意事项
化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结
果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。
例3-1：（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有
的非负数都可以看作是一个数的平方，例如， ，那么，我们可以利用
完全平方公式来解决下面的问题：例1 求 的算术平方根．
解： ，所以 的算术平方根是 ．
例2 求 的算术平方根．
解： ，所以 的算术平方根是 ．
请根据上面的方法化简：
(1) ___________；
(2) ___________；（直接写出化简结果）
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了复合二次根式，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解题意，模仿题干解题过程，则 ，即可作答．
（2）先理解题意，模仿题干解题过程，则 ，即可作答．
（3）同理得 ， ，再分别代入 进行化简，即可作答．
【详解】（1）解：依题意， ，
即 ；
（2）解：依题意， ，
∴ ；（3）解：依题意， ，
∴ ；
依题意， ，
则
．
例3-2：（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）【观察发现】
∵ ．
∴ ；
∵ ，
∴ ．
【初步探索】
（1）化简： ； ；
（2）形如 可以化简为 ，即 ，且 ， ， ， 均为正整数，用含 ，
的式子分别表示 ， ，得 ， ；
【解决问题】（3）若 ，且 ， 均为正整数，求 的值；
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3）
【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的 ， 与 ， 的关系式，列式算出结果即可；
（3）将所给式子两边平方求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ， ．
（2）由题意可知：
，
∵ ， ， ， 均为正整数，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
易错点4 与二次根式运算有关的新定义型题
易错点总结
一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，
却按常规四则运算顺序进行计算 。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定义运算，导致结果错误。
注意事项
拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都
对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。
例4-1：（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：
(1)如果 ，则 ；如果 ，则 ；
(2)①如果 ，求b的值；
②若 ，求m与n的关系．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关
键．
（1）根据倒数的定义求解即可；
（2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可；
②根据倒数的定义列式求解即可．
【详解】（1）∵a、b互为倒数， ，
∴ ．
∵a、b互为倒数， ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）①∵a、b互为倒数， ，；
②∵a、b互为倒数， ，
∴ ，即 ．
例4-2：（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因
为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知： ，则 ______；
(2)化简： ______；
(3)计算： ．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行
分母有理化．
（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（2）分母有理化即可得答案；（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ．
故答案为：2；
（2）解：原式 ，
故答案为： ；
（3）原式
，
．
易错点5 与二次根式运算有关的分母有理化
易错总结
1. 有理化因子选错：对含多项式的分母，未使用共轭式进行有理化，导致无法消去根号。
2. 过程不完整：仅分子分母同乘有理化因子，忽略后续化简与合并同类项，结果非最简。
3. 符号错误：使用共轭式时，中间项的符号易出错。
4. 注意事项：先分析分母结构（单项式用同乘，二项式用共轭式）；运算过程清晰书写，避免跳步；最后
检查结果是否为最简二次根式。
例5-1：（25-26八年级上·上海·假期作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如 ， ．数学上将这种把分母中的根号去掉
的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化：
(1) ；
(2) ；
(3) （ ）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可；
（2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可；
（3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
（3）解： ，
，
故 ．例5-2：（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例
如： ， ．
(1)化简： __________．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子： __________．
(3)利用分母有理化计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘 ，利用平方差公式分母有理化；
（2）观察示例规律，给 的分子分母同乘 ，化简得到式子；
（3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与 相乘计算
结果
【详解】（1）解：分子分母同乘 ：
原式
．（2）解：分子分母同乘 ：
原式
．
（3）解：原式
．
易错点6 与二次根式运算有关的规律题
易错点总结
其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，
只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二， 没有深入分析数字或式子结构的特征，
忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。
注意事项
尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开
方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。
例6-1：（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问
题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版
八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象： ，这个根号里的2经过适当的
演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例
如： ， 等．【猜想】（1） ______；
【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否
正确．
【创新应用】（3）按此规律，若 （a，b为正整数），求 的值．
【答案】（1） ；（2） （ ，且n为正整数），见解析；（3）14或34或
71
【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键，
（1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可；
（2）根据“穿墙”的定义，用 表示即可；
（3）根据“穿墙”的定义得到 ，整理得到 ，分情况求出 ， 的值，代入即可得到答
案．
【详解】解：（1） ，证明如下，
，
故答案为： ；
（2） ，证明如下，
；
（3）∵∴根据（2）规律可得：
∴
∴
∵a，b为正整数
∴ 或 或
∴ 或 或 ．
例7-2：（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道 ，因此将
分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题：
(1)化简： _____________， _____________；
(2)若 求 的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值：
．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和
等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧．
（1）对于 ，观察分母是“ ”，其有理化因式为“ ”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果， 同理；
（2）先对 、 分别分母有理化，得到 ， ．再计算 和 ，最后代入代数式
即可；
（3）将原式每一项按此规律展开，得到： ，观察到
中间项(如 与 、 与 等)相互抵消，最终只剩下首项的 和末项的 ，从而得到结果．
【详解】（1）解：对于 ，分子分母同乘 ，得
；
对于 ，分子分母同乘 ，得
．
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
（3）解：．
一、单选题
1．若 ，则 可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式有意
义判断出 ，根据 进一步确定出 ， ，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ， ，
，
，
， ，
，
故选：D．
2．现对实数 ， 定义一种运算： ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得．
【详解】解： ，
，
故选：A．3．一组数据按一定规律排列： ，2， ， ， ， ， ，…这组数据的第n项是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两
方面分析数据的排列特征．
观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根
号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式．
【详解】将数据统一化为二次根式形式：
第1项： ；
第2项： ；
第3项： ；
第4项： ；
由此可见，符号规律为 ，根号内的数字为2n，
∴这组数据的第n项是 ．
故选：C．
二、填空题
4．按规律排列的一组数：3， ， ，12， ，则这组数的第9个数是 ．
【答案】33
【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答．
【详解】解：第1个数： ；第2个数： ；
第3个数： ；
第4个数： ；
……
第9个数是 ．
故答案为：33．
5．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数 ，都有 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据新定义
运算计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
6．已知实数a的取值范围是 ，化简代数式． 的值为
【答案】6
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性
质，结合 ，进行化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故答案为：6．三、解答题
7．观察下列各式：
；
；
．
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： ________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数， ）表示的等式：__________；
(3)利用上述规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关
键．
（1）（2）根据已知等式的规律可得结论；
（3） ，在根据已知等式的规律可得答案．
【详解】（1） ，
故答案为： ；（2） ；
故答案为： ；
（3） ．
8．定义：若二次根式 可以表式成 的形式（其中 ， ， ， 都是整数），则称
为完整根式， 是 的完整平方根．例如：因为 ，所以 是
一个完整根式， 是 的完整平方根．
(1)判断： 是否是完整根式 的完整平方根，并说明理由；
(2)若完整根式 的完整平方根是 ，请用含 ， 的代数式分别表示 ， ；
(3)若 是完整根式，证明： 一定是完全平方数．
【答案】(1) 是 的完整平方根，奸恶计息
(2) ，
(3)见解析
【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；
（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
【详解】（1）解：（1） 是 的完整平方根，
理由如下：即 ．
∴ 是 的完整平方根．
（2）∵ 的完整平方根是 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ， 都是整数，
∴ ， ．
（3）∵ 是完整根式，
∴不妨设 ，其中 ， 都是整数．
由（2）得， ， ．
∴ ．
∵ ， 都是整数，
∴ 为完全平方数．
∴ 一定是完全平方数．
9．阅读下列解题过程，解答问题．
；
；
；
…
(1) ， ；(2)观察上面的解题过程，求 （ 为自然数）；
(3)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解；
（2）根据题干所给例子得出结论即可；
（3）根据（2）中得出的规律计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ；
（2）解：由题意可得： （ 为自然数）；
（3）解： ．
10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．
【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）根据题意，展开得到 ，然后根据 ，m，n为正整数进行求解；
（3）先设 ，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
故答案为： ； ．
（2）
由
得 ，
又 ，m，n为正整数
或（3）设 ，m，n为正整数
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
