第二十四章圆综合题拓展训练（14考点92题）(学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2025版

第二十四章 圆综合题拓展训练 目录与链接 考点一、常规最值问题………………………………………………………………………………2 考点二、隐圆问题…………………………………………………………………………………10 考点 三 、与圆有关的网格作图 ……………………………………………………………………23 考点四、与园有关的尺规作图……………………………………………………………………32 考点五、三角形的外接圆问题……………………………………………………………………40 考点六、三角形的内切圆问题……………………………………………………………………56 考点七、圆的平移…………………………………………………………………………………73 考点八、圆的折叠问题……………………………………………………………………………84 考点九、圆的旋转问题……………………………………………………………………………97 考点十、正多边形和圆……………………………………………………………………………111 考点十一、圆与函数的综合问题…………………………………………………………………126 考点十二、圆的应用………………………………………………………………………………146 考点十三、与圆有关的计算………………………………………………………………………162 考点十四、圆的综合问题…………………………………………………………………………177考点一、常规最值问题 1．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形 的顶点 ， 在半径为5的 上， ， 当点 在 上运动时，点 也随之运动，则矩形 的对角线 的最小值为（ ）． A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的 左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为 ，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆 心，2为半径的圆上，则 的最小值 ．3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点F、点N分 别为 、 的中点，点E在边 上运动，将 沿 折叠，使得点D落在 处，连接 ，点M 为 中点，则 的最小值是 ． 4．（2021·河南洛阳·三模）如图，半圆O的直径AB＝4cm， ，点C是 上的一个动点（不与点 B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则 △DEF面积的最大值为 cm2 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图， 的半径为 ，点 是半圆 的中点，点 是 的一个 三等分点（靠近点 ），点 是直径 上的动点，则 的最小值 ．6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点C是以点 为圆心，1个单位 长度为半径的圆上一点，点B的坐标为 ，连接 ，D是 的中点，连接 ，求 的最大值． 考点二、隐圆问题 7．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段 上 任意一点，则 长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，以 为圆心，半径为 的圆与 轴交于 两点，与 轴交于 两点，点 为 上一动点， 于 ，当点 在 的运动过程中，线段 的长度 的最小值为（ ） A． B． C． D．9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，正方形 的边长为 ，点 分别在 、 上，且 ， 与 相交于点 ，连接 ，则 的最小值为 ． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在 中， ， ，将 绕点 A逆时针旋转．得到 ．点D是边 的中点，点E为边 上的动点，在 绕点A逆时针旋转 的过程中，点E的对应点是点 ，则线段 长度的最大值与最小值的差是 ． 11．（2023·江苏南通·模拟预测）直线 分别与 轴、 轴相交于点 、 ，边长为2的正方形 的一个顶点 在坐标系的原点，直线 与 相交于点 ，若正方形绕着点 旋转一周，则点 到点(0,2)长度的最小值是 ． 12．（2024·山东济宁·模拟预测）如图， 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为 上一动点， Q为弦 上一点， ．若点D的坐标为(0,-5)，则 的最小值为 ．13．（23-24九年级上·天津·期末）已知 ， 均是边长为4的等边三角形，点D是边 的 中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ； （Ⅱ）如图②，直线 相交于点M，当 绕点D旋转时，线段 长的最小值是 ． 14．（2024·吉林长春·一模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 是 的半径， ．点P在 上，将点P沿 的方向平移到点Q，使 ．当点P在 上运动一周时，试探究 点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段 上截取 ，连结 、 ，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程： 证明：在线段 上截取 ，连接 、 ． 1°当点P在直线 外时， 证明过程缺失 2°当点P在直线 上时，易知 ． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段 的中点，如图②．若点P在 上运动一周，则点 M的运动路径长为 ． 【拓展提升】如图③，在矩形 中， ， ．点P是平面内一点， ，将点P沿 的 方向平移到点Q，使 ．点M是线段 上的任意一点，连结 ．设线段 长度的最大值为a，最 小值为b，则 ． 考点三、与圆有关的网格作图 15．（2024·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，C均落在格点 上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段 的长等于 ； （Ⅱ）以AB为直径作半圆，在 的角平分线上有一点P， 上有一点Q，使 的值最小．请 用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 16．（2024·天津武清·三模）如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，圆经过 ， ， 三点，点 是圆与网格线的交点，点 ， 均在格点上． （1）线段 的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以点 为顶点的 ，使得 ，并简 要说明作图过程（不要求证明） ． 17．（23-24九年级上·天津·期末）如图，由边长为1的小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫 做格点， 是 的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图， 画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段 的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线 的右侧找一点M，使得 且 ，再在线段 上 找一点F，使 ，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 18．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 的网格中， 的三个顶点都在格点上． 为 的外接圆，请在指定的网格中用无刻度的直尺作图： (1)在图 中标出这个外接圆的圆心 ，并写出 ________； (2)在图 中画出 的角平分线 交 于 ； (3)在图 中画出 关于直线 对称的 ；(4)在图 中，若 交 于点 ，画出平行四边形 ． 19．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）按要求作图： (1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条 直径； (2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有 50角的直角三角形； (3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图 痕迹）； (4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置． 考点四、与园有关的尺规作图 20．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，已知P是⊙O外一点．用直尺和圆规作图． (1)过点P作一条直线l，使l与⊙O相切； (2)在⊙O上作一点Q，使∠OQP＝60°．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 21．（2023·广东湛江·一模）如图，已知四边形 是矩形，把 沿对角线 翻折 得到 ， 交 于点 ， 是 的外接圆．(1)利用尺规作出 的外接圆 （要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证： ； (3)若 ，试判断 与直线 的位置关系，并说明理由． 22．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1， “好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为 ． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，则 _______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知 识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（22-23九年级下·河南商丘·阶段练习） 年版《义务教育数学课程标准》在 年 月 日正式投 入使用，在这个课程标准中要求学生能利用尺规过圆外一点作圆的切线．下面是某数学兴趣小组在学过圆 的相关知识后进行的一系列探究． 已知：如图 ， 为 的切线，切点为 ． 求作： 的另一条切线 ，切点为 ． 该数学兴趣小组的同学们展开了探究，经梳理，有以下几种作法：作法一：以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，作直线 ，则直线 即为所求，如图 所示． 作法二：连接 ，作线段 的垂直平分线 ，交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径作圆，交 于点 ，作直线 ，则直线 即为所求，如图 所示． 作法三：作直线 ，过点 作 的垂线交 于点 ，作直线 ，则直线 即为所求． 根据以上信息，完成下列问题： (1)该数学兴趣小组的某同学对根据作法二作出的图形进行了证明，过程如下： 证明：连接 ，由作图，可知 是 的直径． ∴ （依据： ① ），即 ． 又∵ 是 的半径， ∴直线 为 的切线（依据： ② ）． 在上述证明过程中，“①”处应填写__________________；“②”处应填写________________． (2)根据作法三，请用尺规补全图 ．（保留作图痕迹） (3)若 的半径为 ， ，请你根据作法三作出的图形，求线段 的长． 考点五、三角形的外接圆问题 24．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶 点A，B之间的距离为5．现用一个等边三角形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外 接圆半径是（ ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知，在 中， ， ，以 为直径的圆经过的外心，则 的长为 ． 26．（2021·河北保定·一模）如图1，在 中， ，点D和点E分别从点A、 点B同时出发，在线段 上以 做等速运动，分别到达点B、点A后停止运动．设运动时间为t秒． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数； (3)当△ADC的外心在其外部时，请直接写出t的取值范围． 27．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点， . （1）如图1，若 ，求 的长度（用含a的代数式表示）； （2）如图2，将 绕点A顺时针旋转，旋转角为 ，连接 、 ，判断 与 的 数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当 的外心在三角形的外部时，请直接写出 的取值范围． 28．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）在 中， ， ，点 是 外 一动点（点 ，点 位于 两侧），连接CD，AD．(1)如图1，点 是AB的中点，连接 ， ，当 为等边三角形时， 的度数是______． (2)当 时， ①如图2，连接BD，探究线段BD，CD， 之间的数最关系，并说明理由； ②如图3， 是 的外接圆，点 在 上，点 为AB上一点，连接CE，DE，当 ， 时，直接写出 面积的最大值． 29．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖 圆．例如：线段 的最小覆盖圆是以线段 为直径的圆；不共线三点A、B、C的最小覆盖圆就是 的外接圆． 【操作探究】现有三个边长为 的正方形． ①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________ ； ②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________ ； ③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放 方式，并求出最小覆盖圆的直径． 【延伸运用】某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图3所示），现拟建一个广播信号中转站，为了使 这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功率最小（距离越小，所需功率越小）， 请在图中画出中转站所建位置． 30．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线 经过原点 ，它的对称轴是直线 ，动点 从抛物线的顶点 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点 运动的时间为 秒，连接 并延长交抛物线于点 ，连接 ， ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当 为直角三角形时，求 的值； (3)如图2， 为 的外接圆，在点 的运动过程中，点 也随之运动变化，请你探究：在 时，求点 经过的路径长度． 考点六、三角形的内切圆问题 31．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）若四边形 的对角线 ，BD相交于 ， ， ， ， 的周长相等，且 ， ， 的内切圆半径分别为 ， ， ，则 的内 切圆半径是（ ） A． B． C． D．以上答案均不正确 32．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形 中， ，将边 翻折到 ，使点D的对应点E在 边 上；再将边 翻折到 ，点A的对应点为F，连接 ． （1）若 ，则 的长为 ；（2）若点F为 的内心，则 的长为 ． 33．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图， 为 的外接圆， 是 的中点，接 交 于点 ，延长 至点 ，使得 平分 ． (1)求证：直线 是 的切线． (2)若 的半径为 ， ，求 的长． (3)在（ ）的前提下，点 在 上， 的内心 在 边上，求 的长． 34．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图， 为 的直径，C、D为圆上两点， 平分 ， ， ． (1)求证： 为 切线； (2)用直尺和圆规：作 的内心点I．并求 长； (3)求 长． 35．（2022九年级下·浙江·专题练习）如图， 为 的外接圆，D为 与 的交点，E为线段 延长线上一点，且 ．(1)求证：直线 是 的切线． (2)若D为 的中点， ， ， ①求 的半径； ②求 的内心到点O的距离． 36．（21-22九年级上·广东茂名·期末）如图，在 中， ， 与 的角平分线相交 于点 ， 的延长线交 的外接圆于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)证明：点 、 、 在以点 为圆心的同一个圆上； (3)若 ， ，求 内心与外心之间的距离． 37．（23-24九年级下·吉林长春·期中）【模型提出】如图 ，已知线段 的长度为 ，在线段 所在 直线外有一点 ，且 ，想确定满足条件的点 的位置，可以以 为底边构造一个等腰直角三 角形 ，再以点 为圆心， 长为半径画圆，则点 在 的优弧 上.即：若线段 的长度已知， 的大小确定，则点 一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为 “定弦定角”模型.【模型应用】如图 ，在正方形 中， ，点 分别是边 、 上的动点， ， 连接 、 ， 与 交于点 . (1)求证： ； (2)点 从点 到点 的运动过程中，点 经过的路径长为______； (3)若点 是 的内心，连接 ，则线段 的最小值为______. 考点七、圆的平移 38．（22-23九年级下·广东深圳·期中）如图，在位于 轴右侧且半径为6的 ，从 的位置沿直线 向上平移，交直线 于 点，且 是 与 轴的一个公共点，若 ，则四边形 的面积是（ ） A．42 B．64 C．68 D．48 39．（21-22九年级上·安徽六安·期末）如图所示，直线 与x轴、y轴分别交于点M，N， 的半 径为1，将 以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 秒时，直线 恰好与 相切．40．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图1，在 中， ， ， ，点 O在边AB上，且 ，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点 P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为 ． (1)在图1中，劣弧 的长为________； (2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示． ①求x的值； ②已知M，N分别是边BC与 上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和； (3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与 的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范 围． 41．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，A、B为 外的两点， ．给出如下定义：平移线段 得到 的弦 ，（ ， 分别是A，B的对应点），线段 的最小值称为线段 到 的“平移距离”(1)平移线段 得到 的长度为 的弦 和 ，则这两条弦的位置关系是______；在点 ， ， ， 中，连接点A与点______的线段的长度等于线段 到 的“平移距离”； (2)若A、B两点在直线 上，记线段 到 的“平移距离”为 ，求 的最小值； (3)若点A的坐标是 ，记线段 到 的“平移距离”为d ， 3 ①求d 的最小值； 3 ②当d 取得最小值时点 的坐标为______． 3 42．（20-21九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段 ， 的长是方程 的两 根，且 ，点 的坐标为 ， 与 轴相切于点 ． （1）求点 和点 的坐标及 的度数； （2） 以每秒1个单位长度的速度沿 轴负方向平移，同时，直线 绕点 顺时针匀速旋转．当 第一次与 轴相切时，直线 也恰好与 第一次相切．问：直线 绕点 每秒旋转多少度？ （3）如图2，过 ， ， 三点作 ，点 是劣弧 上一点，连接 ， ， ，当点 在劣弧 上运动时（不与 ， 两点重合）， 的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理 由．考点八、圆的折叠问题 43．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， 是 的直径， 是弦，沿 对折劣弧 ，交 于点D，E、F分别是 和 的中点，令 为 所在圆的圆心，若 ， ，则 的长 为（ ） A． B． C． D． 44．（21-22九年级上·浙江台州·期中）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、 折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使 B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④ ．以上结论正确的有 （ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将 沿弦 折叠交 直径 于点D，点E是 的中点，连结 ，若 的最小值为 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 46．（2024·江西·中考真题）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过点C的弦 ，将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段 的长为 ． 47．（2022·上海·一模）如图，已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA上一点，F是 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的圆弧 恰好与半径 OB 相切于点 G，若OE＝5， 则 O 到折痕 EF 的距离为 ．48．（2019·浙江温州·一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝ 90°，BD交⊙O于点E． （1）求证： ． （2）若AE＝12，BC＝10． ①求AB的长； ②如图2，将 沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为 49．（2024·云南·模拟预测）如图，在等边三角形 中， ，点E是射线 上的一个动点，点D 随着点E的运动而在射线 上运动，连接 ，始终有 ， 是 的外接圆． (1)为如图1，若点D在边 上，求证： 是 的切线； (2)如图2，若圆心O在边 上时，求 的长； (3)如图3，当点E运动到边 的延长线上时，将 的优弧 沿直线 翻折，交 的垂线 于点 F，若 ，求弧 的长．考点九、圆的旋转问题 50．（2024·山东临沂·二模）如图，将半径为4，圆心角为 的扇形 绕点A逆时针旋转得扇形 ， 点O，B的对应点分别为点C，D．当点C落在 上时旋转停止，则阴影部分的面积为 ． 51．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图， 为半圆的直径，且 ，半圆绕点B顺时针旋转 ，点A旋转到点 的位置，则图中的阴影部分的面积为 ． 52．（22-23九年级上·河北邢台·期末）在等边三角形 中， 于点D，半圆O的直径 开始 在边 上，且点E与点C重合， ．将半圆O绕点C顺时针旋转 ，当 时，半 圆O与 相切于点P．如图1所示． (1)求 的长度； (2)如图2．当 ， 分别与半圆O交于点M，N时，连接 ， ， ． ①求 的度数； ②求 的长度； (3)当 时，将半圆O沿边 向左平移，设平移距离为x．当 与 的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 53．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含 着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．三角形的旋转如此，扇形的旋转也如此． 【问题情境】如图1， ，将 绕点O顺时针旋转 成扇形OAB，点C是OB延长线上一点， BC1，过点C作射线CM OC，求弧AB的长． 【问题解决】如图2，将上题中的扇形OAB绕点B按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线CM 相切与 点D，求OO的长． 【问题拓展】如图3，将题（1）中的扇形继续旋转，使旋转后点A落在射线CM 上，弧AB与射线CM 交 于另一点E，求OO的长． ABCD AB6 AD6 3 AC DAC30 54．（23-24九年级上·河北张家口·期中）在矩形 中， ， ，连接 ， ． AEAE 8 AD AE 将半圆形量角器放在如图1所示的位置，其直径 在边 上，点E是量角器上的零刻度， 交AC于点F，点O是半圆形量角器所在圆的圆心． 图1 图 2 备用图 (1)求点F在半圆形量角器上的读数； 0180 (2)将半圆形量角器绕点A顺时针旋转 ． AC � AE AB BC ①当点E旋转到 上时， 交 于点M，如图13－2所示．求证： 与半圆形量角器相切，并求图 2中阴影部分的面积；� AE BC ②在旋转过程中，当 与直线 只有一个交点（不包括端点A，E）时，设此交点与点C的距离为d， 请直接写出d的取值范围． 55．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图1，在正方形ABCD中，AB8，点O与点B重合，以点O为 O AB E AB F M,N E  F M 圆心，作半径长为5的半圆 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，点 是 的三等分点（点 090 N O E F 在点 的左侧）．将半圆 绕点 逆时针旋转，记旋转角为 ，旋转后，点 的对应点为点 F． (1)如图2，在旋转过程中，当EF经过点N 时． ①求的度数； ②求图中阴影部分的面积；O ABCD A (2)在旋转过程中，若半圆 与正方形 的边相切，请直接写出点 到切点的距离． 考点十、正多边形和圆 56．（21-22九年级上·山东淄博·期末）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆 上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ） 2 31 31 131 A．3 3 B． 2 C． 2 D． 2 57．（2023·浙江温州·三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上， 图2是其示意图．两个正六边形的边AB与CD，BF与EG均在同一直线上．木板AD44cm（木板厚度 忽略不计），FG4cm，则AB的长为 cm．盆栽由矩形HIJK和圆弧HPK组成，且K，E，D恰 4 好在同一直线上，已知 ，圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之比为 ，则圆弧 AI BJ 3cm P MN HI 9 HPK的半径为 cm． 58．（22-23九年级上·湖北恩施·期末）已知O的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作O的内接正方 ABCD ABCD 形ABCD（如图1）；（2）作正方形 的内接圆，再作较小圆的内接正方形 1 1 1 1（如图2）； ABCD A BC D （3）作正方形 1 1 1 1的内接圆，再作其内接正方形 2 2 2 2（如图3）；…；依次作下去，则正方形 ABC D n n n nABC D 的边长是 ． n n n n 59．（2023·浙江温州·三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24 片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢 或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二 A B A A M M 十四边形顶点 1，正八边形顶点 1与圆心O共线，正二十四边形顶点 1， 10与正八边形顶点 1， 3共 AA 1 10 线，则M M 的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点 M ， M ，…， 1 3 1 2 M M O O M M OA 67.5 8逆时针同速旋转．圆心O绕 1旋转后的对应点为 1，以此类推，当 1落在 1 2上时，若 1 OO 米，则 1 5的值为 米．60．（2021·浙江温州·一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正 六边形，六边形边长为1cm. 目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩 铅为例，可以设计如图的两种收纳方案： （1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 cm. （2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面， 则底面半径的最小值为 cm. 61．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P 作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N. (1)求出MPN 的度数，并证明PM PN 3a； (2)如图②，点O是AD的中点，连接OM 、ON，求证：OM ON ； (3)如图③，点O是AD的中点，OG平分MON ，求证：四边形OMGN是菱形.62．（23-24九年级上·广东汕头·期中）【给出问题】：已知：O是正方形ABCD的外接圆，点P在O 上（除A、B外），试求APB的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确 的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在O中作出内接正方形ABCD（保留痕迹，不写作法）． ②原题中APB ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形ABCD是O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接 PA、PB、PC、PD，请探究PD、PA、PC三者之间或者PD、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形ABCDEF 是O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究 PA、PB、PC三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边DC上一点，APB45°，PD2，PC4， 试求矩形ABCD的面积． 考点十一、圆与函数的综合问题 xOy O P 63．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，点 是反比例函数 6 y (x0)图像上的一个动点，若以点 为圆心， 为半径的圆与直线 相交，交点为 、 ，当弦 x P 3 yx A B AB 2 5 P 的长等于 时，点 的坐标为 ．64．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）根据以下情境信息，探索完成任务． 公路涵洞改造方案的设计与解决 图1是某公路涵洞，图2是其截面示 意图，它由圆心在点O的劣弧AED和 情 矩形ABCD构成．测得公路宽 境 BC 12m，涵洞直壁高AB2m，涵 1 洞顶端E高出道路（BC）6m（即 EG6m）． 现需对公路进行拓宽，改造成双向隔 离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置 情 宽为am 的隔离带，两边为机动车 境 道．如图3，改造后的公路宽 2 BC 20m，涵洞直壁高AB和涵洞顶 端E到BC的距离保持不变． 改造方案 方 如图4，将涵洞上半部分劣弧AED改 案 造成顶点为E的抛物线一部分的形 一 式． 方 如图5，将涵洞上半部分劣弧AED改 案 造成仍为劣弧的形式 二 问题解决 任 以点G为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标 务 按方案一改造 系，求抛物线的函数表达式． 1 任 按方案二改造 求涵洞上半部分劣弧AED所在圆的半径．务 2 要使高5.5m，宽2.3m的货运车能通过此公路涵洞，分别求 任 务 隔离带最大宽度a的确定 出两种改造方案下a的最大值（ 2 1.41， 57 7.55，结 3 果精确到0.1m）． 任务三： 1 65．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxc与x轴交于 2 AB 两点，与y轴交于C点，且OBOC 4． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使BCM 15，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明 理由； (3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求 ABE的面积．1 66．（2024·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxc与x轴交于 两点， 2 A,B 与y轴交于C点，且OBOC 2OA． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点M，使ABC BCM ，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由； DF x A,B,D DF (3)若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作 轴于点F，过点 的圆与 交于点E，连 AE,BE ABE 接 ，求 的面积．yax2bx2 67．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，已知抛物线 的图象与x轴交于点A(-2,0)和 B1,0 AC，BC 点 ，与y轴交于点C．连接 ． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在直线AC下方的抛物线上，过点M作MN∥BC，交AC于点N，求MN的最大值，并写出此时 点M的坐标； VABC QBC PAB (3)点P是 的外心，点Q在抛物线上，且位于y轴左侧，若 ，求点Q的坐标． yx22mxm2m5 68．（2023·广东佛山·一模）二次函数 ．(1)当m1时，函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． ①写出函数的一个性质； ②如图1，点P是第四象限内函数图象上一动点，求出点P坐标，使得BCP的面积最大； Q Q QF x F ABQ QF ③如图2，点 为第一象限内函数图象上一动点，过点 作 .轴，垂足为 ， 的外接圆与 交于点D，求DF的长度； (2)点 Mx 1 ,y 1  、 Nx 2 ,y 2  为函数图象上任意两点，且 x 1 x 2.若对于 x 1 x 2 3 时，都有 y 1  y 2，求 m 的取 值范围． yax22ax3a B y A 69．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图1，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，其对称 轴与x轴交于点E，点D是抛物线对称轴左侧一动点，以AB和AD为边作 ABCD，连结DE．已知抛物 2,3 线经过点 ． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若C、D、E三点在同一直线上，记 ABCD的面积为S，求证：S 4． EBD30 BDE FDE y (3)连结BD，若 ，(如图2)，将 沿DE边翻折，得到 ，试探究：在 轴上是否存在点P，使BPF 60？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 考点十二、圆的应用 70．（2023·河北衡水·二模）如图1，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB20米，长 BC 24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M 进行观测， 并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角 AMB45．甲、乙二人给出了找点M 的思路，以及MC的值，下面判断正确的是( ) 甲：如图2，在矩形ABCD中取一点O，使得OAOBOM ，M 即为所求，此时CM 10米； 乙：如图3，在矩形ABCD中取一点O，使得OAOB，且AOB90，以O为圆心，OA长为半径画弧， 交 CD 于点 M 1， M 2，则 M 1， M 2均满足题意，此时 MC 8 或 12 ． A．甲的思路不对，但是MC的值对 B．乙的思路对，MC的值都对且完整 C．甲、乙求出的MC的值合在一起才完整 D．甲的思路对，但是MC的值不对 71．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板AB∥CD∥EF，且点E 是BD的中点，测得ABEF 12cm，CD18cm，BAC 90，ABG60，则该圆形置物架的半径为 cm． 72．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中OA， OB，OC为伸缩杆，其中OAOBOC，支架最大宽度AB10cm，支架的高为10cm，则VABC外接圆 O的半径为 cm，当一部宽为8cm的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，OG 5 手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同 ，形成的 外接圆的圆心为点 ，若  ， (BGAECF) EFG P GE 8 则OP为 cm． 73．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】 （1）如图1，AB为O的弦，在O上找一点P并画出，使点P到AB的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 2 2 AMB M P AB AB，MP AB （ ）如图 ，在扇形 中，点 为扇形所在圆的圆心，点 为 上一动点，连接 ， 与 MP Q AB4 14 BM 9 PQ 交于点 ，若 ， ，求 的最大值； 【问题解决】 （3）某公园有一圆形水池O（如图3），AB、AD是水池上的两座长度相等的小桥，且BAD60， 现规划人员计划再修建两座小桥BC和CD，桥的入口C在水池边上（即点C在O上），为使游客观赏效 果最佳，要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大，已知AB AD60m，修建小桥的成本为100元/m， 当四边形ABCD的面积最大时，求修建BC和CD两座小桥的总成本． O OAl，PH l 74．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图①， 点P 为 上一点， ， 垂足分别为点A 与点H， 若OA5，OP3，则PH 的最大值为 ； (2) 如图②， 在VABC中，C 90，AC 8，BC 6， D 是边AC上一点， 且CD2， 点E 是边BC上一点， 将CDE沿DE折叠， 则点C落在 F 处， 连接BF， 求△BEF周长的最小值；   BC  6020 3 m （3）如图③，是某花园的设计示意图，已知AB60 2m， ，ABC45， ADCD，ADC90 ABC O BC ， 弧 为 上的一段优弧， 点E为弧 上的一点，过点E与点O铺设一条观 赏小路EF，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路AF ，垂足为F，现计划在FCD内种植牡丹花，已知 牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？ 75．（23-24九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观 赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与 最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． O MN  【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的 与过点C的水平线 相切于点C时，视角 最大，站 在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空： 设点C是MN上任意一个异于C的点， 1是BDC的外角， 1DBC2 1______2（填“、或”），  AB AB 又 1______， ACB2． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度AF 为3.4米， 最低点B距离地面的高度BF为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置 最合适呢？ 76．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）【观察思考】： Q l 某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块 在平直滑道 上可 Q PQ PQ OP O 以左右滑动，在 滑动的过程中，连杆 也随之运动，并且 带动连杆 绕固定点 摆动．在摆动过 程中，两连杆的接点P在以OP为半径的O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，O OH l H OH 8 PQ6 OP4 过点 作 于点 ，并测得 分米， 分米， 分米． Q l (1)点 在 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米； Q H PQ O (2)如图3，小明同学说：“当点 滑动到点 的位置时， 与 是相切的．”你认为他的判断对吗？为 什么？ (3)小丽同学发现：“当点P运动到OH 上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是______分米； 考点十三、与圆有关的计算 77．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、 O C AB A E F AO BO EF 5 均为格点，点 为 的三等分点（靠近点 ），点 、 分别是线段 、 上的动点，且 ， 点G为EF的中点，连接CG、BG．在EF滑动的过程中，当CG值最小时，阴影部分的面积是 ． 78．（2024·河南南阳·二模）如图，在扇形OAB中，AOB120，半径 OA2，点C是OA上一点，连 接BC，沿BC将扇形折叠，使得点 A落在BO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为 (结果保留π) ．79．（2023·广西贵港·模拟预测）如图，将半径为4，圆心角为90的扇形ABC绕弧AC的中点P逆时针旋 45 A B,C D,E,F D AB C EF 转 ，点 ， 的对应点分别为点 ，点 落在 上，点 落在 上，则图中阴影部分的面积 为 ． 80．（2020·山东烟台·一模）如图，在一圆柱铁桶内底面的点A处有一飞虫，在其上边沿的点B处有一面 40 包残渣，已知 是点 正下方的桶内底面上一点，已知劣弧 的长为 cm，铁桶的底面直径为 ， C B AC 3 40cm 桶高为60cm，则该飞虫从点A到达B的最短路径是 cm． AB O CE O AC∥OE AC D 81．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图， 为 直径， 为 的弦， ，延长 至 ， DEAD O 且 ， 的半径为6．DE O (1)求证：直线 与 相切； (2)如图1，若OA2CD，求阴影部分面积； CE 3  (3)如图2，若 AC 2 ，求CD的值． ABCD BC  3CD E F AD BC 82．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形 中， ，点 、 分别是边 、 上的动点， 且AECF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处． (1)如图1，当EH 与线段BC交于点P时，求证：PEPF ； (2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，连结AC交EF于点O连结OP．求证：OPEF； BC 6 3 E A AD G (3)当 时，在点 由点 移动到 中点的过程中，直接写出点 运动的路线长． 83．（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一 定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． AB BA S 1 方案1：将小棒绕 中点O旋转180°到 ，设小棒扫过区域的面积为 (即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到 S BA 2S BA ，设小棒扫过区域的面积为 2． S  (1)① 1 ______， S 2  ______；(结果保留) ②比较 S 1与 S 2的大小．(参考数据： 3.14 ， 31.73 ．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三 次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； S S ②设方案3中小棒扫过区域的面积为 3，求 3． S S (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积 4小于 3，画出示意图并说明理由． 84．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为n，半径为l的扇形BOB，圆锥底面是一 OA OA BB 个半径为r的圆．母线 在展开图上对应的半径 经过 的中点． (1)特例研究：当r3，l9时，n ，展开图上，OA与OB的夹角为 ． 360r (2)问题提出：求证：n ． l(3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为12cm，母线长也为12cm，为了美观，想在底 面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示： 尝试画出圆锥侧面展开图） 考点十四、圆的综合问题 85．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图1，在VABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆， 连接CO并延长交AB于点E，设DBC． (1)若60，求DCE的度数； (2)如图2，作BFAC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知ABDCBF． ①求证：EBEG； ②若CE 5，AC 8，求FGFB的值． 86．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 O AOB90 APB （1）如图1，点A，B，P均在 上，若 ，则锐角 的大小为______度； 【深入探究】 O ABC AC （2）如图2，小明遇到这样一个问题： 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不与点A， C重合），连接PA，PB，PC．求证：PBPAPC ；小明发现，延长PA至点E，使AEPC，连接 BE △PBC≌△EBA △PBE ，通过证明 ．可推得 是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 O VABC ABC90 ABBC O AC （3）如图3， 是 的外接圆， ， ，点P在 上，且点P与点B在 的两 PB 侧，连接 ， ， ，若 ，则 的值为_____． PA PB PC PB2 2PA PC 1 VABC O AB AC,BAC 060 87．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图 ， 内接于 ， ，点 P ACB A C B AP BP CP 是 上的动点（不与点 ， ， 重合），连接 ， ， ． P AC A C APC  (1)当点 在 上时（不与点 ， 重合），求 的度数；（用含 的式子表示） 2 P AC A D (2)如图 ，当点 在 上时，过点 作AD⊥BP于点 ． ①请探究线段BP，CP和DP之间的数量关系，并证明； CP∥AB,S 3,S 9 S  ②若 △ADP △ADB ，则 △PBC ________； AB6,60 P CP2 A D DP (3)若 ，在点 运动过程中， ，过点 作AD⊥BP于点 ，求 的长． 4 88．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在 中， ， ，sinABC  ．点 是 ABCD AB5 BC 10 5 P 射线BC上一动点，作PAB的外接圆O． (1)若圆心O在AB边上，如图2，则此时BP的长为______；O ABCD BP (2)当 与 的某一边所在的直线相切时，求此时 的长； P O ABCD BP (3)随着点 的运动， 与 的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的 长的值或取值范 围． ABCD Rt△DEF D,DEF 90,DEEF 89．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）正方形 和等腰 共顶点 ， 将DEF 绕点D逆时针旋转一周． (1)如图1，当点F 与点C重合时，若AD2，求AE的长； (2)如图2，M 为BF中点，连接AM、ME，探究AM、ME的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）条件下，连接CM ，若AD2DE2，在旋转过程中，CM 的最小值为___________． ABCD AB6 AD6 3 AC DAC30 90．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）在矩形 中， ， ，连接 ， ，将 AEAE8 � AD E AE 半圆形量角器放在如图1所示的位置，其直径 在边 上，点 是量角器上的零刻度， 交 AC于点F ，点O是半圆形量角器所在圆的圆心． (1)求点F 在半圆形量角器上的度数； 0180 (2)将半圆形量角器绕点A顺时针旋转 ． E AC � AE M 2 BC ①当点 旋转到 上时， 交AB于点 ，如图 所示．求证： 与半圆形量角器相切； � AE BC A E C d ②在旋转过程中，当 与直线 只有一个交点（不包括端点 ， ）时，设此交点与点 的距离为 ， 请直接写出d的取值范围．91．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，AB AC 4，ADBC于D，E为 A D E O AC F DF AB边上的点，过 、 、 三点的 交 于 ，连接DE， ． (1)求证：AECF； (2)如图2，点P为弧DE上一动点，连接PD，PE，PF．在点P运动过程中，试探索PD，PE，PF之间 的数量关系，并证明； ABC M BC M MN  AC N Q AMN (3)如图3，在扇形 中， 为弧 上任意一点，过点 作 于点 ，设 为 的内心， M B C Q 当点 从点 运动到点 时，请直接写出内心 所经过的路径长． 92．（2024·山东·模拟预测）综合与实践 【问题解决】 （1）如图1，射线OA、OB的夹角为60，平面内有一点C，连接AC、BC，OAC OBC 90．若 AC 11，BC 2，求线段AB与线段OC的长； 【延伸思考】 （2）如图2，当OB8，OBBC，AOB60时，在射线OA上取一点E，过点E向BC的延长线作垂 1 EF  OB 线，垂足为点F，连接 EF ， 2 ．以 EF 为直径作O 1 ．C点为线段 BF 上的一个动点，连接 AC ，AC OE AC O CE CE 并且 ．当 与 1相切时，连接 ，求 的长； 【思维拓展】 （3）在图2的构图基础上深入探究：如图3，已知点A、B成为平面内的动点，点O、C为定点，且 CF  3EF ．若 OAC OBC 90 ， EF 4 ，其他条件与（2）相同，求 O 1 AAB 的最大值．