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2023-2024 学年九年级上册 第四单元圆
B 卷•能力提升卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•芝罘区一模）如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直
径长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】C
【解答】解：设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，
由题意知O、C、D共线，
∵AB＝8，
∴AC＝ AB＝4，
∵高CD＝3，
∴OC＝r﹣3，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝ ，
∴弓形所在圆的直径长2r＝ ．
故选：C．
2．（2023春•招远市期中）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝15cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为
一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．7.5cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（15﹣2r）cm，
根据题意得 ，
解得 ，
所以 ．
故选：D．
3．（2023•东莞市校级二模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形
的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
∴这个正多边形的边数＝ ＝9．
故选：C．
4．（2023•二七区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF
的中心与原点O重台，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次
旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（ ，﹣1） B．（﹣1，﹣ ）C．（﹣ ，1） D．（1， ）
【答案】C
【解答】解：正六边形 ABCDEF 边长为2，中心与原点0重合，AB∥x轴，
∴AP＝1，AO＝2．∠OPA＝90°，
：OP﹣＝ ＝ ．
第1次旋转结束时，点A的坐标为（ ．﹣1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣ ）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（﹣ ，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1. ），
∵4次一个循环，
∴2023÷4＝505.....3．
第2023次旋转结束时，点A的坐标为（﹣ ，1）．
故选：C．
5．（2023•市北区三模）如图，四边形ABCD内接于 O，DA＝DC，∠CBE＝50°，
⊙∠AOD的大小为（ ）
A．130° B．100° C．120° D．110°
【答案】A
【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，
故选：A．
6．（2023•金东区三模）如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平
面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，则线段OM的最小值是
（ ）
A． +1 B． ﹣1 C．2 D．
【答案】B
【解答】解：如图，∵直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在 B上，且半径为2，
取OD＝OA＝6，连接CD，
⊙
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝ CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6 ，
∴CD＝6 ﹣2．
∴OM＝ CD＝3 ﹣1．
即OM的最小值为：3 ﹣1．
故选：B．
7．（2023•阜新）如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C …叫作“正方形的渐
1 1 2 3 4 5
开线”，其中 ， ， ， ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环，当
1
OA＝1时，点C 的坐标是（ ）
2023A．（﹣1，﹣2022）B．（﹣2023，1）C．（﹣1，﹣2023） D．（2022，0）
【答案】A
【解答】解：由图得C （0，1），C （1，0），C （﹣1，﹣2），C （﹣4，0），C
1 2 3 4 5
（0，5），C （5，0），C （﹣1，﹣5），…
6 7
点C的位置每4个一循环，
2023＝505×4+3，
∴C 在第三象限，与C ，C ，C ，…
2023 3 7 11
符合规律（﹣1，﹣n+1），
∴C 坐标为（﹣1，﹣2022）．
2023
故选：A．
8．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝
2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝
4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．34【答案】C
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，
∵PG2+PF2＝2PN2+2FN2，
∴当PN最小时，PF2+PG2的值最小，此时点P在MN上，
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝ DE＝2，
∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，
∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．
故选：C．
9．（2023•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕
点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝ ＝ ，
故选：D．
10．（2023•岱岳区校级模拟）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，P是以点C
（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ
的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解答】解：连接PB，
∵抛物线 关于y轴对称，
∴OA＝OB，
∵PQ＝AQ，
∴OQ是△APB的中位线，
∴OQ＝ PB，
∴当PB长最大时，OQ长最大，
当PB过圆心C时，PB长最大，
当 ＝0时，
∴x＝±4，∴B的坐标是（4，0），
∴OB＝4，
∵C的坐标是（0，3），
∴OC＝3，
∴BC＝ ＝5，
∵ C的半径是2，
∴PC＝2，
⊙
∴PB＝PC+BC＝7，
∴OQ＝ ，
∴OQ的最大值是 ．
故选：D．
二．填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。
11.（2023•凤凰县三模）已知一个扇形的半径为5，圆心角是120°，则该扇形的弧长是
．
π
【答案】 ．
π
【解答】解：由题意得，扇形的弧长＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
12．（2023•安顺模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》
π
章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝ （弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其
所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半
径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可
以求解，现已知弦AB＝6米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积
为 平方米．【答案】 ．
【解答】解：∵弦AB＝6米，半径OC⊥弦AB，
∴AD＝ AB＝3米，
∴OD＝ ＝4米，
∴OA﹣OD＝5﹣4＝1（米），
∴弧田面积＝ （弦×矢+矢2）＝ ×（6×1+12）＝ （平方米）．
故答案为： ．
13．（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几
何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为
15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据
勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，
商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 6 步（注：“步”为长度单
位）．
【答案】6．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边为 ＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝ ＝3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
14．（2023春•铜梁区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中点E，连接BE、CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心
画弧交BC于F，则阴影部分面积是 ﹣ 1 ．
【答案】 ﹣1．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AB＝1，AD＝2，E是AD中点，
∴ED＝AE＝1，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠GBE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝1，BE＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝2S ﹣S ＝2× ﹣ ×1×2＝ ﹣1．
扇形BEG △BEC
故答案为： ﹣1．
15．（2023春•北林区期末）如图已知 P的半径为3，圆心P在抛物线 上运行，
当 P与y轴相切时，圆心P的坐标为 （ 3 ， 2 ）或（﹣ 3 ， 2 ） ．
⊙
⊙
【答案】（3，2）或（﹣3，2）．
【解答】解：∵ P与y轴相切， P的半径为3，
∴P到y轴的距离等于半径3，
⊙ ⊙
∴点P的横坐标为3或﹣3，当x＝3时，代入可得 ，此时P点坐标为（3，2）；
当x＝﹣3时，代入可得 ，此时P点坐标为（﹣3，2）；
综上可知P点坐标为（3，2）或（﹣3，2），
故答案为：（3，2）或（﹣3，2）．
16．（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的 O，A为弧BC中点，P为
弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为
⊙
﹣ 3 ．
【答案】 ﹣3．
【解答】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，
则∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∵以BC为直径的 O，A为弧BC中点，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
⊙
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC＝ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴∠APD＝∠ACB＝45°，
∵AD⊥AP，
∴∠DAP＝90°，
∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，∴点D在点O′为圆心，AO′为半径的 上运动，
在等腰直角△ABO′中，O′B＝ ＝ ＝3，
在Rt△BO′C中，CO′＝ ＝ ＝ ，
∴O′D＝O′B＝3，
∵CD≥CO′﹣O′D
∴当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D＝ ﹣3．
故答案为： ﹣3．
三、解答题（本题共5题，共52分）。
17．（10分）（2023•高州市一模）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》
中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问
径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为 O的直径，弦AB⊥CD于点
E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．18．（10分）（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度
AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】0.4米．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长
DC经过O点，
则BC＝ AB＝1.6（米），
设 O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
⊙
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝ （米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝ ＝ ＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．19．（10分）（2022春•定远县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆
心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求 的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【答案】（1）40°；
（2） ．
【解答】解：（1）连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠DCE＝40°，
∴ 的度数为40°；
（2）延长AC交 C与点F，
∵∠BCA＝90°，CF＝BC＝9，AC＝12，
⊙
∴AB＝ ，AE＝12﹣9＝3．AF＝AC+CF＝12+9＝21，∵AB与AF均是 C的割线，
⊙
∴AD•AB＝AE•AF，即15AD＝3×21，解得AD＝ ，
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣ ＝ ．
29．（10分）（2023•古丈县一模）在半径为 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的
扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
【答案】（1）3；
（2） ．
【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵∠BAC＝60°， ，AB＝AC，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等边三角形，∴ ，AB＝BC＝AC，
∴这个扇形的半径为3．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得 ，
解得 ．
故圆锥底面圆的半径为 ．
21．（12分）（2023•夹江县模拟）如图，已知AB是 O的直径，BC⊥AB于点B，D是
O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．
⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若EA＝1，ED＝3，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】（1）见解答；
（2）4．
【解答】解：（1）如图，连接OD，由OD＝OA得：∠OAD＝∠ODA，
∵OC∥AD，
∴∠DOC＝∠ODA，
∠BOC＝∠OAD，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC＝∠OBC，
∵BC⊥AB，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
又∵D在 O上，
∴CD是 O的切线；
⊙
（2）设 O的半径为x，
⊙
则：OD＝x，OA＝x+1，
⊙
∵CD是 O的切线，
∴∠ODE＝90°，
⊙
在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2＝OE2，
∴32+x2＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴ O的半径为4．
⊙
