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预测卷 01
（满分：70分 建议用时： 65 分钟）
一、解答题
17（10分）．在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明
另外一个成立. △
① ；② ；③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】答案见解析.
【分析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可.
【详解】选①②作条件，③做结论
由②，得： ，而sin B > 0，
所以 ，即 ，
根据辅助角公式可得， ，0 < A < π，
所以， ，则 ，
由①知， ，代入可得， ，所以 ，
即： .
选①③作条件，②做结论
由③，得： ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，0 < A < π，所以 ，
由③知， ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以， .
选②③作条件，①做结论
由②，得： ，而sin B > 0，
所以 ，即 ，
根据辅助角公式可得， ，所以， ，
由③， ，
所以 ，得： ，所以 ，
所以 , ，则 ， ，
即： .
18（12分）．已知等差数列 的首项 ，记 的前n项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 公差 ，令 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）由题意可得：
，
整理得 ，则
可得 或 ，
故 或 .
（2）∵ ，由（1）可得 ，则 ，
故
所以 .
19（12分）．如图，三棱锥 满足： ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若D为 中点，求二面角 的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ，又∵ ， ，
∴ ，取AB中点E，连接PE、CE，如图所示，
则 ， ，
又∵ ， 、 面 ，∴ 面 ，又∵ 面 ，∴ .
（2）过点P作 交 延长线于点O，过O作 ，由（1）知， 面 ，又因为 面 ，所以 ，
又因为 ， 、 面 ，
所以 面 ，所以以点O为原点，分别以CE、 、 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
，如图所示，
在Rt PEA中， ,
△
在△PEC中， ，
∴ ， ，
∴在 中， ， ，
∴ ， ， ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
设面 的一个法向量为 ， ，
取 ，则 ， ，所以 ，设面 的一个法向量为 ，
取 ，则 ， ，所以 ，∴ ，∴ .
即二面角 的平面角的正弦值为 .
20（12分）．2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移
交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为调查
大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为 ，
统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有
99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关.
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为
X，求X的分布列及数学期望.
附表：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
.
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【详解】（1）由已知，完成列联表，男生 女生 合计
了解
不了解
合计
将数值代入公式可得 的观测值： ，
根据条件，可得 ，解得 ，因为 ，所以 .
（2）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为 ，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为 ，则 ，
， ，
， ，
， .
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
.
21（12分）．已知双曲线C： 过点 ，且渐近线方程为 .(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，过点 的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线 于点P、Q，求 的
值.
【答案】(1) (2)1
【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为 ，则可设双曲线C的方程为 ，
代入点 ，即 ，故双曲线C的方程为 .
（2）由双曲线C的方程为 的方程可得 ，
由题意可得点 ，则有：当直线l与 轴垂直时，则 ，
可得直线 ，令 ，则 ，即点 ，
同理可得：点 ，故 ，即 ；
当直线l不与 轴垂直时，设直线 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可得直线 ，
令 ，则 ，即点 ，
同理可得：点 ，
∵
，即点 关于x轴对称，故 ，即 ；
综上所述： 的值为1.
22（12分）．已知函数 ， ．
(1)证明： 存在唯一零点；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得 ，
记 ，则 ，
因为 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 在 上恒小于0，在 上恒大于0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 ，所以 有唯一零点0．
（2）由 可得 ，
若 是方程 的根，则 是方程 的根，
因为 ， 都单调递增，
所以 ， ，
设 ， ，
所以 的解为 ， 的解为 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 ．
故原不等式成立.
