文档内容
第十八章 平行四边形
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 矩形中的折叠问题................................................................................................................................1
易错题型二 菱形中的折叠问题...............................................................................................................................11
易错题型三 正方形中折叠问题..............................................................................................................................18
易错题型四 矩形中的最值问题..............................................................................................................................25
易错题型五 菱形中的最值问题..............................................................................................................................28
易错题型六 正方形中最值问题..............................................................................................................................33
【压轴题型】...............................................................................................................................................................39
压轴题型一 平行四边形中的新定义型问题..........................................................................................................39
压轴题型二 矩形中的新定义型问题......................................................................................................................46
压轴题型三 菱形中的新定义型问题......................................................................................................................55
压轴题型四 正方形中新定义型问题......................................................................................................................61
压轴题型五 中点四边形问题...................................................................................................................................69
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 矩形中的折叠问题
例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片 中， ， ，将矩形纸片折叠，
使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则 的长为 ．
巩固训练
1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，把一张长方形纸片 折叠起来，使其顶点 与 重合，
折痕为 ．若 ， ，则 长为 ．2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，矩形 ， ， ，点 为边 上一个动点，
将 沿 折叠得到 ，点 的对应点为 ，当射线 恰好经过 的中点 时， 的长为
．
3.（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形 中， ， ，E是边 上一点，将
沿 折叠，使点B落在点F处，连接 ．当 为直角三角形时， 的长是 ．
4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在矩形纸片 中， ， ，将矩形纸片沿 折叠，点
落在点 处，设 与 相交于点 ，
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的长．
5．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，
已知矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落
在点 处）．(1)【动手操作】
当点 落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即 的位置，不写作法，保
留作图痕迹），此时 ________________；
(2)【问题探究】
如图②， 与CD相交于点 ， 与CD相交于点 ，且 ，求证： ；
(3)【拓展延伸】
已知 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，求 的长．
6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在矩形纸片 中， ， ．
(1)如图①，将矩形纸片折叠，点 落在对角线 上的点 处，则 的长为
(2)如图②，点 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交
于点 、且 ，①证明： ．②求 的长
(3)如图③，将矩形纸片 折叠，使顶点B落在 边上的点 处，折痕所在直线同时经过 、
（包括端点 ，请直接写出 的最大值和最小值．
易错题型二 菱形中的折叠问题
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形 中，P为 中点， ，折叠菱形
，使点C落在 所在的直线上，得到经过点D的折痕 ，则 的大小为 ．巩固训练
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E为菱形 中 边上一点，连结 ， ，将菱形沿
折叠，点A的对应点F恰好落在 边上，则 的度数为 ．
2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形纸片 的边长为2，点E在边 上，将纸片沿
折叠，点B落在 处， ，垂足为F．若 ，则 的长是 ．
3.（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片 中， ．
（1） ．
（2）点E在 边上，将菱形纸片 沿 折叠，点C对应点为点 ，且 是 的垂直平分线，
则 的大小为 ．
4．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，将菱形纸片 折叠，使点 恰好落在菱形对角线的交点
处，折痕为 .若菱形的边长为2， ，求 的长.5．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）八年一班的数学活动课上，老师发给每名同学一个菱形纸片
，要求同学们沿一条直线折叠，探究图中的结论．
同学们在边 上取点E，连结 ，将这个纸片沿 翻折，点A的对应点为F，如图1所示．
小明发现：当点F落在边 上时， ．
小红发现：当点E是 的中点时，连结 ．若已知 和 的长，则可求 的长．
问题提出与解决：
同学们根据小明和小红的发现讨论后提出问题，请你回答问题．
问题：在菱形 中， ，点E是边 上一点，将 沿 翻折得到 ．
(1)如图2，当点F在边 上时，求证： ；
(2)如图3，当点E是 的中点时，连结 ，若 ， ，求 的长．
易错题型三 正方形中折叠问题
例题： （2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形 的边 上取一点 ，连接 ，将 沿
翻折，点 恰好与对角线 上的点 重合，连接 ，若 ，则 的面积是 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形 中， ， 是 的中点，将 沿对折至 ，延长 交 于点 ，则 的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形 的边长为3，E为 边上一点（不与端点重
合）．将 沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ．
（1） ；
（2）如图2，若E为 的中点，则 ．
3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点 是正方形 的边 上一动点(点 不与 、 重合)，
连接 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处．
(1)当 最小时， 的值为 ；
(2)如图 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，在点 的运动过程中， 的大小是否变化，若变
化，请说明理由；若不变，请求 的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，试探索 、 、 之间的数量关系．
易错题型四 矩形中的最值问题
例题：（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形 中，E为对角线 上与 不重合的
一个动点，过点E作 与点F， 于点G，连接 ，若 ，则 的最小值 ．
巩固训练
1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别为 、
边上的动点，且 的长为2，点G为 的中点，点P为 上一动点，则 的最小值为
．
2．（2024·西藏日喀则·二模）如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且
，则 的最小值为 ．
易错题型五 菱形中的最值问题
例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形 的周长为8， ，E是 的中点，
P是对角线 上的一个动点，则 的最小值是 ．
巩固训练
1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形 中， ， 分别是边 ， 上的动点，连接， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值是
．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形 中， ， ，点 为 边上任意
一点（不包括端点），连结 ，过点 作 ，交边 于点 ，点 线段 上的一点．
(1)若点 为菱形 对角线的交点， 为 的中位线，求 的值；
(2)当 的值最小时，请确定点 的位置，并求出 的最小值；
(3)当 的值最小，且 的值最小时，在备用图中作出此时点 ， 的位置，写作法并写
出 的最小值．
易错题型六 正方形中最值问题
例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形 中， 分别是 边
上的点，且 与 相交于点 ，求 的最小值．
巩固训练
1．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形 中， ，点 ， 分别为边 ， 上动点，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，则线段 长度的最小值为 ．
2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形 中， ，点 在 边上，且 ，
点 是对角线 上的动点，则 的最小值是 ．
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提
出：如图，正方形 中， ，P为对角线 上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角
．
(1) 的最小值为_______，最大值为________；
(2)求证：点M在射线 上；
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 平行四边形中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
(2)如图，在 中，点 、 分别在边 、 边上，且满足 ，线段 、
交于点 ，
求证： ．
巩固训练
2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图 ，在 中，把AB绕点 按顺时针方向旋转
（ 得到 ，把 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，当 时，我们
称 是 的“旋补三角形”， 边 上的中线AD叫做 的“旋补中线”，点
叫做“旋补中心”．
(1)特例感知：在图 、图 中， 是 的“旋补三角形”，AD是 的“旋补中线”．
①如图 ，当 为等边三角形时，AD与 的数量关系为 ；
②如图 ，当 ， 时，则AD长为 ；
(2)精确作图：如图 ，已知在四边形 内部存在点 ，使得 是 的“旋补三角形”（点
的对应点为点 ，点 的对应点为点 ），请用直尺和圆规作出点 （要求：保留作图痕迹，不写作法和
证明）
(3)猜想论证：在图 中，当 为任意三角形时，猜想AD与 的数量关系，并给予证明．3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在邻余四边形 中， ，则 ________；
(2)如图2，在 中， ， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ，
， 为 上一点，求证：四边形 是邻余四边形；
(3)如图3、图4，在邻余四边形 中， 为 中点， ，
①如图3，当 时，判断四边形 的形状并证明你的结论；
②如图4，当 ， 时，求 的长．
压轴题型二 矩形中的新定义型问题
例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、
无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将 纸片沿中位线 折叠，使点 落在 边上的 处，再将纸片分别沿 ， 折叠，
使点 和点 都与点 重合，得到双层四边形 ，则双层四边形 为______形．
(2) 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形 为矩形，若 ， ，求 的长．
(3)如图3，四边形 纸片满足 ， ， ， ， ．把该纸片折叠，
得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时 的长．巩固训练
1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形 中，点F是矩形边上一动点，将线段 绕点F顺
时针旋转一定的角度，使得 与矩形的边交于点E（含端点），连接 ，把 定义为“转角三角
形”．
(1)由“转角三角形”的定义可知，矩形 的任意一个“转角 ”一定是一个___三角形；
(2)如图②，在矩形 中， ， ，当点F与点C重合时，画出这个“转角 ，并求出
点E的坐标；
(3)如图③，在矩形 中， ， ，当“转角 面积最大时，求点F的坐标．
2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形 中，将矩形折叠，使点B落在边 （含端
点）上，落点记为E．这时折痕与边 或者边 （含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为
顶点的 称为矩形 的“折痕三角形”．
(1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形 的任意一个“折痕 ”一定是______三角形．
(2)如图2，在矩形 中， ．当点F与点C重合，画出这个“折痕 ”，并求出点E
的坐标．
(3)如图3，在矩形 中， ，当“折痕 ”面积最大的时，求出此时点F的坐标．
3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形 中， ．垂足为 ，则有： ；性质应用：（1）如图1，四边形 是垂美四边形，若 ， ， ，则 ；
性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：
．请以图3为例将重要结论证明出来．
应用变式：（3）①如图4，在矩形 中，O为对角线交点，P为 中点，则 ；（写出
证明过程）
②如图5，在 中， ， ，D是 内一点，且 ， ，则 的最小值
是 ．
压轴题型三 菱形中的新定义型问题
例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为 ，那么称这样的三角形
为“准直角三角形”．
(1)已知 是“准直角三角形”， ，若 ，则 ______ ．
(2)如图，在菱形 中， ， ，连接 ，若 正好为一个准直角三角形，求菱形的面积．
巩固训练
1．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，
则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．
【解决新问题】
(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形 的边 上， ．四边形 是否为补等
四边形？ （填“是”或“否”）
(2)如图Ⅱ，在 中， ． 的平分线和边 的中垂线交于点D，中垂线交边 于点G，
连接 ．四边形 是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．
2．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条
边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形 中，连接 ，在 的延长线上取点E
使得 ，以 为边作菱形 ，我们称菱形 是菱形 的“伴随菱形”．
(1)如图2，在菱形 中，连接 ，在 的延长线上作 ，作 的平分线 交 的延
长线于点 ，连接 ．求证：四边形 为菱形 的“伴随菱形”．
(2)①如图3，菱形 为菱形 的“伴随菱形”，过 作 垂直 于点 ，对角线 相交
于点 ．连接 若 ，试判断 与 的数量关系并加以证明．
②在①的条件下请直接写出 的值．
压轴题型四 正方形中新定义型问题
例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序
号）；
(2)如图 ，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连
．
①判定四边形 是否为“神奇四边形” （填“是”或“否”）；
②如图 ，点 分别是 的中点．证明四边形 是“神奇四边形”；
(3)如图 ，点 分别在正方形 的边 上，把正方形沿直线 翻折，使得 的对应边
恰好经过点 ，过点 作 于点 ，若 ，正方形的边长为 ，求线段 的长．
巩固训练
1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则
称这个四边形为奇特四边形．
(1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假）
(2)如图，在正方形 中， 是 边上一点， 是 延长线一点， ，连接 ，取 的中
点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，探究：四边形 是否是奇特四边形，如果是，证明你
的结论，如果不是，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若四边形 的面积为16，求 的长．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹
角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：(1)如图①，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应
点F在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图②，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ，过点B作
于点E，作 交 延长线于点F．
①试判断四边形 的形状，证明你的结论，并求出 的长．
②若点M是 边上的动点，求 周长的最小值．
压轴题型五 中点四边形问题
例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线
垂直四边形”．如图，在四边形 中， ，四边形 就是“对角线垂直四边形”．
(1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)如图，在“对角线垂直四边形” 中，点 分别是边 的中点，求证：
四边形 是矩形．
巩固训练
1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点
得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原
四边形叫做“中方四边形”．问题解决：
如图2，以锐角 的两边 ， 为边长，分别向外侧作正方形 和正方形 ，连接 ，
， ．
（1）连接 ， ，问 ， 的数量关系和位置关系是什么?请说明理由．
（2）四边形 ______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”）
拓展应用：
（3）如图3，已知四边形 是“中方四边形”，M，N分别是 ， 的中点．试探索 与 的
数量关系，并说明理由．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
定理证明：（1）如图1， 中，点D、E分别是边 、 的中点，连接 ．请你猜想中位线
与第三边 的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
类比迁移：（2）如图2，梯形 中， ，点E、F分别是腰 、 的中点．类比三角形中
位线，请你猜想梯形的中位线 与两底边 、 的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
综合应用：（3）如图3，在梯形 中， ，E、F分别是对角线 、 的中点．若
， ，求 的长．
3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么
等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”．(1)如图①，在四边形 中，若 ， ，则四边形 ________“等对邻直角四边
形”；（填“是”或“不是”）
(2)如图②，在“等对邻直角四边形 ”中， ， ，E是 的中点，F是 的中
点．试说明： ；
(3)如图③，在（2）的条件下， 平分 ， ，四边形 为何种特殊四边形，并说明理
由；
(4)在（3）的条件下，当 ，直接写出四边形 的面积．
