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高考仿真重难点训练02 函数的概念与性质
一、选择题
1．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令 且 即可求解.
【解析】由题意得： 得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
故选：B
【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.
2．已知函数 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得答案.
【解析】由已知得 ，
所以 ，
当且仅当 即 等号成立，
则 的最小值为 .
故选：C.3．已知函数 的对应关系如表所示，函数 的图象是如图所示，则 的值为（ ）
1 2 3
4 3 -1
A．-1 B．0 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据函数的定义及图表计算即可.
【解析】由图象可知 ，而由表格可知 ，所以 .
故选：A
4．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由奇函数性质可求得 的值，结合 计算即可.
【解析】由题意得，函数 为奇函数，且定义域为 ，
由奇函数的性质得， ，解得 ，经过检验符合题意，
所以当 时， ，
所以 .
故选：D.
5．已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；
由图可知，当 时， ，
而对于D选项，当 时， ，故排除D.
故选：A.
6．已知 是定义域为R上的增函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．
【解析】解： 是 上的增函数，
可得： ，
解得 ．则 的取值范围是 ．
故选：D
【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，列出不等式组是解题的关键，是中档题．
7．已知函数 的定义域是 ，对任意的 ， ， ，都有
，若函数 的图象关于点 成中心对称，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，构造函数 ，判断函数 的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性
解不等式即可.
【解析】由函数 图象关于点 中心对称，知函数 图象关于点 中心对称，
所以 为奇函数.
令 ，则 ，所以 为偶函数，
对于 ，有 ，所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减.
由 ，得 ， ，
当 时， 变形为 ，即 ，解得 ；
当 时， 变形为 ，即 ，解得 ，
综上，不等式 的解集为 .
故选：B【点睛】关键点点睛：构造函数 ，利用函数 的奇偶性和单调性解不等式是解决本题的关
键.
8．若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【解析】令 ，
则 或 或 或
解得 或 ，
即实数m得取值范围为 .
故选：C．
二、多选题
9．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】AB
【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．
【解析】A中两个函数定义域都是 ，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B中两个函数定义域都是 ，对应法则都是取平方，是同一函数；
C中 定义域是 ， 的定义域是 ，不是同一函数；
D中 的定义域是 ， 的定义域是 ，不是同一函数．
故选：AB．
10．下面关于函数 的性质，说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 在定义域上单调递减 D．点 是 图象的对称中心
【答案】AD
【分析】由 ，可知由 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ，根据 的
性质得到 的性质，即可判断；
【解析】解：
由 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ，
因为 关于 对称，所以 关于 对称，故D正确；
函数 的定义域为 ，值域为 ，故A正确，B错误；
函数 在 和 上单调递减，故C错误；
故选：AD
11．已知函数 满足：对 ，都有 ，且 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】ACD
【分析】对 赋值，代入计算并结合条件分析可判断AB，赋值 后可判断函数为偶函数，再令
得出 ，再由 可判断C，求出函数周期，利用周期判断D.
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ， ，则 ，故A正确；
结合选项A可得 ，所以 或 .
若 ，则 ，所以 ，
此时与 矛盾，舍去；
若 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故B错误；
令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 为偶函数，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，即 ，故C正确；
由 为偶函数，所以 ，
则 ，则 ，即 ，所以 是周期为4的周期函数，
又 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【解析】由函数 的定义域为 ，则有 ，
令 ，解得 .
故答案为： .
13．若函数 是奇函数，则 .
【答案】
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【解析】函数 是奇函数， ，
当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，所以 ， .
故答案为：
14．已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】参变分离可得 对任意 恒成立，换元令 ，整理得
，结合对勾函数性质分析求解.
【解析】因为 ，且 ，
可得 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
若 ，则 ，可得 ，
若 ，则 ，可得
，
由对勾函数 可知 或 ，
则 或 ，可得 ，则 ；
综上所述： ，
即 的最大值为 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
四、解答题
15．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
(1)求当 时， 的解析式；
(2)求 在 上的值域.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用奇函数的性质求解即可；
（2）先求出 时的函数值域，再结合 ，根据奇函数性质求得值域即可.
【解析】（1）∵当 时， ，
∴当 时， ， ，
∴ .
（2）∵当 时， 单调递增，∴ ，
由奇函数性质可得，当 时， ，
又 ，
∴ 在 上的值域为 .
16．2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，红星机
械厂积极响应决定投资生产 产品．经过市场调研，生产 产品的固定成本为300万元，每生产 万件，
需可变成本 万元，当产量不足50万件时， ；当产量不小于50万件时，
．每件 产品的售价为200元，通过市场分析，生产的 产品可以全部销售完．
(1)求利润函数的解析式；
(2)求利润函数的最大值．
【答案】(1)
(2)1000万元【分析】（1）根据利润等于收入减可变成本减固定成本，再结合分段函数 ，即可列式求解；
（2）根据（1）的结果， 分段求函数的最大值，再比较后，即可判断函数的最大值.
【解析】（1）由题意得，销售收入为 万元，
当产量不足 万件时，利润 ，
当产量不小于 万件时，利润 ，
所以利润 ；
（2）当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值是 ；
当 时， ，
当 ，即 时，等号成立，
又 ，故当 时，所获利润最大，最大值为1000万元.
17．设函数 ．
(1)若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）分 和 两类情况，当 时采用验证法即可；当 时根据一元二次不等式和
二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数 的取值范围.
（2）方法一：先利用分离参数法得出 ；再求出函数 在 上的最小值即可求解.
方法二：先将题目问题转化为 在 上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性
求出函数 的最大值即可求解.
【解析】（1）要使 恒成立，
若 ，显然 ；
若 ，则 ，解得 ．
综上可得：实数 的取值范围是 ．
（2）有以下两种方法：
方法一：
由 得： ，即 .
因为 ，
所以 ．
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，则当 时，函数 在 上取得最小值，最小值为 ，
所以只需 即可．
所以 的取值范围是 ．
方法二：
由 ，得 ，即 .
令 ，
当 时， 在 上是增函数，
则 ，解得 ，
所以 ；
当 时， 恒成立；
当 时， 在 上是减函数，
则 ，解得 ，
所以 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
18．已知函数 是定义域上的奇函数，且 ．
(1)判断并证明函数 在 上的单调性；
(2)令函数 ，若对 ，都有 ，求实数 的取值范
围．【答案】(1)函数 在 上单调递减，在 上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 和 ，列出方程组求得 的值，结合单调性的定义和判
定方法，即可求解；
（2）由函数 ，令 ，可得 ，且 ，结合二次函数的
图象与性质，求得 的最大值和最小值，结合 ，即可求解.
【解析】（1）解：由函数 为奇函数，且 ，
可得 ，则 ，解得 ，可得 ，
经检验，有解析式可知，定义域 ，关于原点对称，
可得 ，所以 是奇函数，满足题意
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
证明如下：任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，且 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，同理可证明函数 在 上单调递增．（2）解：由题意，函数 ，令 ，可得 ，
由（1）可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
因为函数 的对称轴方程为 ，
所以函数 在 上单调递增，
当 时， 取得最小值， ；
当 时， 取得最大值， ．
所以 ， ，
又因为对任意的 都有 恒成立，
所以 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以实数 的取值范围是 ．
19．设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为取整函数，取整函数是德国数学家高斯最先
使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
① 的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即 ，其中 为x的整数部分，
为x的小数部分；
③ ；
④若整数a，b满足 ，则 .(1)解方程 ；
(2)已知实数r满足 ，求 的值；
(3)证明：对于任意的大于等于3的正整数n，均有 ．
【答案】(1) 或
(2)743
(3)证明见解析
【分析】（1）令 ，则方程可化为 ，根据高斯函数的定义，即可求解得答
案；
（2）设 ，则可判断 中n以及 的个数，从而可得
，结合高斯函数定义，即可求得答案；
（3）由所要证明不等式的形式，可构造不等式，当 时，有 成立；设
，推出 ，从而得到 ，即可证明结
论.
【解析】（1）令 ，则 ，
∴ ，
又由高斯函数的定义有 ，解得： ，则 或 ，
当 时，则 ；当 时，则 ；
（2）设 ，设 ， ， ，…， 中有k个为 ，
个n， ，
据题意知： ，则有 ，
解得 ， ，
所以 ， ，即 ，
故 ；
（3）证明：由 的形式，可构造不等式，
当 时，有 ；
设 ，
则有 ，
从而 ，
而 ，则 ，
∴ .
【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义，即高斯函数的应用问题，难度较大，解答的难点在于（3）
中不等式的证明，解答时要理解高斯函数的性质，并能构造不等式， 时，有 ，进行证明.
