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高考仿真重难点训练03 指对幂函数 函数的应用
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知幂函数 是偶函数，且 在 上是减函数，则 （ ）
A． B． C．0 D．3
4．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个
世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数
约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为
，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检
验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则k的
值为（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
6．已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
8．已知函数 ，设函数 ，则函数 有6个零点的充
要条件是（ ）
A． B． C． D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中，不能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
10．给出下列五个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数 的最大值为
B．已知函数 （ 且 ）在 上是减函数则a的取值范围是
C．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于y轴对称
D．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
E．已知定义在R上的奇函数 在 内有1010个零点，则函数 的零点个数为2021
11．函数 的定义域为R， 为偶函数，且 ，当 时， ，则下
列说法正确的是（ ）．A． 在 上单调递增
B．
C．若关于x的方程 在区间 上的所有实数根之和为 ，则
D．函数 有2个零点
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 ， 则 .（用含 的式子表示）
13．已知 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，则 的取值范围为
.
14．已知函数 ， .给出下列四个结论：
① ；
②存在 ，使得 ；
③对于任意的 ，都有 ；
④ .
其中所有正确结论的序号是 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．计算下列各式的值：
(1) ；
(2)16．设函数 .
(1)求 及 的值.
(2)解关于 的不等式 .
17．已知函数 ，其中 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.18．2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青
春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研
究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计
了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产
万件产品，还需另外投入原料费及其他费用 万元，且 ，
已知每件产品的售价为20元且生产的该产品可以全部卖出.
(1)写出利润 （万元）关于产量 （万件）的函数解析式.
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？19．设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ，使 在 上的值域为
（其中 ），则称 为区间 上的“ 倍缩函数”．
(1)若存在 ，使函数 为 上的“ 倍缩函数”，求实数 的取值范围；
(2)给定常数 ，以及关于 的函数 ，是否存在实数 ，使 为区间 上的
“1倍缩函数”．若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
