文档内容
第十八章 平行四边形（压轴题专练）
目录
【考点一 矩形中的折叠问题】..........................................................................................................................1
【考点二 菱形中的折叠问题】..........................................................................................................................5
【考点三 正方形中的折叠问题】.....................................................................................................................11
【考点四 矩形、菱形、正方形中旋转问题】................................................................................................15
【考点五 矩形、菱形、正方形中求定值问题】............................................................................................22
【考点六 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】........................................................................................27
【考点七 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】........................................................................................31
【考点八 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】........................................................................................36
【考点一 矩形中的折叠问题】
例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，将矩形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处，
交 于 ，若 ， ， ______．
【变式训练】
1．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，长方形 中，E为 的中点，
将 沿直线 折叠时点B落在点F处，连接 ，若 ，则 ___________度．
2．（2023春·八年级课时练习）长方形纸片 中， ， ，点E是 边上一动点，连接 ，
把∠B沿 折叠，使点B落在点F处，连接 ，当 为直角三角形时， 的长为______．3．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，长方形纸片 中， ， ，点 、
分别在边 和边 上，连接 ，将纸片沿 折叠．
(1)如图（1），若点 落在边 的延长线上的点 处，求证： ；
(2)如图（2），若点 落在边 的中点 处，求 的长．
【考点二 菱形中的折叠问题】
例题：（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以
DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为
EF且交BC于点F．
（1）∠DEF＝________；
（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．【变式训练】
1．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在
对角线 上的点 处 不与 、 重合 ，折痕为 ，若 ， ，则 的长为______．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形 中，F为 边上一点，将 沿 折叠，点C恰
好落在 延长线上的点E处，连接 交 于点G，若 ， ，则 的长为______．
3．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将 BCE沿BE
折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG． △
(1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．
(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
【考点三 正方形中的折叠问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点落在对角线 上的点 处，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形 沿 对折，使点 落在对角线 上的 处，连
接 ，则 _________ ．
2．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，点E在 边上，将
沿 对折至 ，延长 交 于点G，G恰好是 边的中点，则 的长是________．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形 中，点E为 上一点，连接 ，把
沿 折叠得到 ，延长 交 于G，连接 ．
(1)求证： ．(2)如图2，E为 的中点，连接 ．
①求证： ；②若正方形边长为6，求线段 的长．
【考点四 矩形、菱形、正方形中旋转问题】
例题：（2023秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形 是矩形，以点B为旋转中心，顺时
针旋转矩形 得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ，点 恰好在 的延长
线上．
(1)求证： ：
(2)若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形 绕点A顺时针旋转
后，得到矩形 ，如果 ，那么 _______．
2．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为 的正方形 绕点 顺时针旋转30°到
的位置，则阴影部分的面积是___________．3．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形 中，
，把菱形 绕点A顺时针旋转 得到菱形 ，则图中阴影部分的面积为
_________．
4．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片 和 放置在一起.若固定正方形 ，将正方形
绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在 边上，点G在 边上时，线段 与 的数量关系是 ，位置
关系是 ．
(2)如图2，是将正方形 绕着点A逆时针旋转 度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且 ，求线段 的长度（直接写
出答案）．【考点五 矩形、菱形、正方形中求定值问题】
例题：（2022秋·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， 是 上
异于 和 的任意一点，且 于 ， 于 ，则 为_____．
【变式训练】
1．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）如图，在矩形 中，点E是对角线 上一点，有
且 ，点P是 上一动点，则点P到边 ， 的距离之和 的值（ ）
A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值
2．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形 的周长为20，面积为24，
是对角线 上一点，分别作 点到直线 、 的垂线段 、 ，则 等于______
3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为对角线 上一
动点，连接 ，过点E作 交 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．(1)求证：矩形 是正方形；
(2)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【考点六 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】
例题：（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图， 为正方形 边 上一
点， ， ， 为对角线 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【变式训练】
1．（2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边
BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．不能确定2．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）△ABC中，AC＝1，AB＝ ，BC＝2，点P
为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在点P运动的过程中，EF的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，在正方形 中，边长 ，点Q是边 的中
点，点P是线段 上的动点，则 的最小值为 _____．
【考点七 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】
例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级统考阶段练习）矩形 中， ， ，点A是y轴正半轴上
任意一点，点B在x轴正半轴上．连接 ．则 的最大值是 ___________．
【变式训练】
1．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）如图，平面内三点A、B、C， ， ，以 为对角线
作正方形 ，连接 ，则 的最大值是（ ）A．6 B．11 C． D．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝6， ，AC与BD交于点
O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝ BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为
____．
3．（2022秋·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，
△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）计算： =________；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是____________．
【考点八 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】
例题：（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）如图， 、 、 、 分别是四边形 四条边的中点，
顺次连接 、 、 、 得四边形 ，连接 、 ，下列命题不正确的是（ ）A．当四边形 是矩形时，四边形 是菱形
B．当四边形 是菱形时，四边形 是矩形
C．当四边形 满足 时，四边形 是菱形
D．当四边形 满足 ， 时，四边形 是矩形
【变式训练】
1．（2022春·北京西城·八年级校考期中）四边形 的对角线 ， 交于点 ，点 ， ， ，
分别为边 ， ， ， 的中点．有下列四个推断：
①对于任意四边形 ，四边形 都是平行四边形；
②若四边形 是平行四边形，则 与 交于点 ；
③若四边形 是矩形，则四边形 也是矩形；
④若四边形 是正方形，则四边形 也一定是正方形．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别
是对角线 ， 的中点，依次连接 ， ， ， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 时， 与 有怎样的位置关系？请说明理由；3．（2022秋·九年级课时练习）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点
四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形
EFGH是 ．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H
分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状
（不必证明）．
