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高考押题卷（四）
理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出集合 、 ，利用并集的定义可求得结果.
【详解】由 得 ，解得 ，则 ，
由 可得 ，解得 ，则 ，
因此， .
故选：A.
2．已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】由复数除法法则求得复数z即可求得 的值.
【详解】由 ，可得
又 ，则 ，则
故选：B
3．已知向量 ， 满足 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．7【答案】A
【分析】依据向量模的运算公式及向量的数量积的运算法则去计算即可解决.
【详解】由
得 ，解之得
则
故选：A
4．航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式
.其中， 是燃料相对于火箭的喷射速度， 是燃料的质量， 是火箭（除去燃料）的质
量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知 ，则当火箭的最大速度 可达到 时，火
箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知条件 ， 代入 中，转化为指数形式，计算 的
值即可求解.
【详解】由题意可知： ， ，
代入 可得 ，
所以 ，可得 ，
可得 ，即 ，所以 ，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量 是火箭（除去燃料）的质量 的 倍，
故选：A.
5．在等比数列 中，已知 ， ，则 的值为（ ）
A．3 B．9 C．3或 D．9或
【答案】C
【分析】由等比数列的性质可得 ，再结合 可求出 或 ，然后利用等
比数列的通项公式可求出首项和公比，从而可求得结果
【详解】因为数列 为等比数列，所以 ①
又因为 ②
联立①②可求得 或 ，
当 ， 时，由 ，得 ，所以 .
当 ， 时，由 ，得 ，所以 .
综上所述， 的值为3或 .
故选：C
6．某射击队员练习打靶，已知他连续两次射中靶心的概率是0.4，单独一次射中靶心的概率是0.8.在某场
比赛中，该队员第一次已经中靶，则第二次也中靶的概率是（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】B【分析】根据条件概率公式计算即可
【详解】记该队员第二次射中靶心为事件 ，第一次射中靶心为事件 ，题目所求为在事件 发生的条件
下，事件 发生的概率，即 .
故选：B．
7．若 ， 是两个不同平面， ， 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A． ， ， ，
B． ， ，
C． ， ， ，
D． ， ，
【答案】A
【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.
【详解】对于A，如图， ， ，结合 ， ，可知 ，故A正确；
对于B，如图， ， 可能异面，故B错误；
对于C，如图， ， 可能相交，故C错误；对于D，如图， 可能相交，故D错误.
故选：A．
8．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由 ，可知 为奇函数，图象关于原点对称，排除 ，
；令 ，可知 ，可知图象与 轴只有一个交点，据此分析可得答案.【详解】解：由 ，可知 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B；
令 ，可知 ，可知图象与 轴只有一个交点，排除D，
故选：C.
【点睛】本题考查函数的图象分析，注意分析选项中函数图象的异同，利用排除法分析.属于中档题.
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S为 ，则判断框中应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据程序框图计算得到 ，计算得到答案.
【详解】根据程序框图知：
，解得 .
故选： .
【点睛】本题考查了程序框图的条件，理解程序框图的意义是解题的关键.
10．已知函数 ，若 ，则实数 取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】画出函数图像得到函数单调性，计算得到答案.
【详解】画出函数图像知：函数单调递增， ，故 ，解得 .
故选： .
【点睛】本题考查了分段函数的单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
11．若 ， 函数 在R上是增函数，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分别计算得到 和 ，根据范围大小得到答案.
【详解】 ，则 ，解得 ；
函数 在R上是增函数，则 恒成立，
故 ，即 .
则 是 的充分不必要条件.
故选： .
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的综合应用能力.12．已知 的定义域为 ，且对任意 、 ，有 ，且当 时，
，则以下结论正确的个数是（ ）
① ；② 的图象关于点 中心对称；
③ 在 上单调；④当 时， .
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 、 可求出 的值，可判断命题①的正误；当 时，令 ， ，由
结合不等式的基本性质可判断命题④的正误；利用函数单调性的定义可判断命题③的正误；
取 ， ，结合基本不等式可判断命题②的正误.
【详解】对于①，对任意的 ，取 可得 ，所以， ，①对；
对于④，当 时，令 ， ，
此时 ，所以， ，④对；
对于③，由题意可知，对任意的 ， ，
任取 、 且 ，令 ， ，可得 ，
所以， ，则 ， ，
故函数 在 上为增函数，③对；
对于②，令 ， ，则 ，
由基本不等式可得 ，因此，函数 的图象不关于点 对称，②错.
所以，正确命题的序号为①③④.
故选：C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．在 的二项展开式中，第______项为常数项.
【答案】7
【分析】直接利用二项式的通项公式，令 的指数为0，求出 即可．
【详解】解： 的二项展开式的通项为 ，令 ，
解得 ，即 时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．
故答案为：7．
14．数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 的通项公式为______.
【答案】
【分析】由数列通项 与前 项和 的相互关系解之即可.
【详解】由 ，得 ，两式相减得
又由 ， ，可得 ，即
故数列 从第二项起为公比为4的等比数列，
则 的通项公式为
故答案为：
15．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ______.【答案】1011
【分析】利用数列的周期性求解.
【详解】解：由 ，
得 ，
，
，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
又 ， ，
所以 ．
故答案为：1011
16．三棱锥 的底面 是等腰三角形， ，侧面 是等边三角形且与底面 垂直，
，则该三棱锥的外接球表面积为__________．
【答案】
【详解】由题意，由余弦定理 由正弦定理 的外接圆半径
等边三角形 的高为3，设球的半径为 球心到底面的距离为 ，则
所以 ，所以该三棱锥的外接球的表面积为 ．
故答案为20π．
【点评】本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，其中确定球的半径是是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在非直角 中，角 ， ， 对应的边分别 ， ， ，满足
.
(1)判断 的形状；
(2)若 边上的中线 长为2，求 周长的最大值.
【答案】(1)等腰三角形
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合条件可得 或 ，又 为非直角 ，从而判断三角形
为等腰三角形；
（2）在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得 ，设 ， ，将周长的最大值转
化为三角函数的最大值问题，可求得结果．
（1）
，
，
可得 ．
即
根据正弦定理，得 ．代入 式，化简得 ．
即 ， 为 外接圆的半径）
化简得 ，
或 ，即 或 ，又非直角 ，
因此 是等腰三角形．
（2）
在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
设 ， ， ，
所以△ABC的周长2a+ c= ，
所以当 时，2a+ c有最大值为 ,
即△ABC周长的最大值为 .
18．在三棱锥 中， ， ， ，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求钝二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，则由已知数据可求出 ，则可得 ，再由 ∽ ，可求出 ，然后在 中利用余弦
定理可求出 ，从而可得 ，然后利用线面垂直定理和面面垂直定理可证得结论，
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，则 即为二面角
的平面角，然后根据已知条件在 中求解即可
(1)
证明：取 的中点 ，连接 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
在 中， ，
因为 ,
所以 ∽ ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
(2)
过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，则 即为二面角 的
平面角，
在 中， 于 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ,
所以 ,
在 中， ，则 ,
在 中， ,
所以 ,所以钝二面角 的余弦值为
19． 年 月 日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加
快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有
力的政策和措施，二氧化碳排放力争于 年前达到峰值，努力争取 年前实现碳中和．某企业为了
响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了 株银杏树树
苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表．
树苗高度（ ）
树苗售价（元/株）
（1）现从 株树苗中，按售价分层抽样抽取 株，再从中任选三株，求售价之和高于 元的概率；（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布 ，并用该企业采购的 株树苗作样本，来估
计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且 ．
①若该育苗基地共有 株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，得到数列 ，求 的估
计值．
②若从该育苗基地银杏树树苗中任选 株，记树苗高度超过 的株数为 ，求随机变量 的分布列和期
望．
参考数据：若 ， ， ，
．
【答案】（1） ；（2）① ；②分布列见解析，期望为 .
【分析】（1）确定 株中， 株 元， 株 元， 株 元，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可
求得所求时间的概率；
（2）①计算出 、 的值，计算得出 ，由此可得出 ，即为所求；
②分析可知 ，利用二项分布可得出随机变量 的分布列，利用二项分布的期望公式可求得
的值.
【详解】（1）高度在 内的占比为 ，
高度在 内的占比为 ，
高度在 内的占比为 ，
从这 株树苗中，按售价分层抽取 株，其中 株 元， 株 元， 株 元，
再从中任选三株，售价之和高于 元，可以为 、 、 、 、 ，
故所求概率为 ；（2）①由频率分布直方图可得 ，
，
，
所以， ；
②若从该育苗基地银杏树树苗中任选 株，高度超过 的概率为 ，
由题意可知 ，则 , ，
， ， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
随机变量 的数学期望为 .
【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量 的期望、方差，求 的期望与方差，利用期望和方差的性质（
， ）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布
列的期望和方差公式进行计算.20．已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若 在 上有2个极值点，求整数 所有可能的取值.
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2) 或
【分析】（1）求出导函数 ，判断出 ，可以得到 在 上单调递减，在
上单调递增；
（2）由 求出导函数 ．对a分类讨论：
①当 时，判断出 ，得到 在 上单调递减，不符合题意．②当 时，分成
三种情况：ⅰ.当 时，利用导数得到 在 上单调递减，无极值点；ⅱ.当 时，
利用导数得到 在 上单调递减，在 上单调递增，则 为 的极小值点；ⅲ.当
时，利用导数得到 在 上单调递增，无极值点，不符合题意．从而得到 或
．
(1)
函数 的定义域为 ， ．
当 时，由于 在 上单调递增，所以 至多有一解；又 ，则当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)
由题意可得： 所以 ．
①当 时，又 ，则有 ， ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，不符合题意．
②当 时，
ⅰ.当 时，设 ，所以 ，则有 ，
所以当 时， ，当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ， ，所以当 时， ，
即
所以当 时， ．
设 ， ，所以 ，由于 ，
所以当 时， ，当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以当 时， ，则有 ；
所以 在 上单调递减，无极值点．ⅱ.当 时， 在 上单调递增．又 ，
，所以存在唯一的 ，使得 ；
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；则 为 的极小值点．
ⅲ.当 时，设 ，则 ．
由于 在 上单调递减，又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ；
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ，所以 ．
又当 时， ，
即当 时， 所以 在 上单调递增，无极值点，不符合题意．
又当 时， ，
所以存在唯一的 ，使得 ；
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；则 为 的极大值点．
综合①②，可知， 在 上有2个极值点，且 ，则有 或 ．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4) 利用导数求参数的取值范围.
21．已知椭圆E： ，过右焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B两点不在x轴上），椭
圆E在A，B两点处的切线交于P，点P在定直线 上.
（1）记点 ，求过点 与椭圆E相切的直线方程；
（2）以 为直径的圆过点F，求 面积的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设过点 的直线为 ，联立椭圆方程，利用 即可求出斜率；
（2）设直线l： ，联立椭圆方程，表示出 ，表示
出点 到直线l： 的距离为 ，表示出 ，用上
为直径， ， ，进一步转化为求函数 的最小值，
求最小值时用换元法.
【详解】解：（1）设过点 的直线为 ，
直线 代入椭圆E： 得 ，
， ， ，所以过点 与椭圆E相切的直线方程为 .
（2）焦点 ，设 ， ，直线l： .
直线l与椭圆E联立 消去x得 ，
， ， ，
.
点 到直线l： 的距离为 ，
以 为直径的圆过点F，得 ， ， ，
，
令 ， ，
求导 ， ， ，
在 上递增，
当 时， 取得最小值 .
【点睛】本题考查过一点的椭圆的切线的求法以及在直线和椭圆的位置关系中求三角形的面积的最小值，
求三角形的面积的最小值转化为求函数的最小值，属于较难题.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做
题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题
计分。22．在平面直角坐标系中，曲线 ： （α为参数）经过伸缩变换 得到曲线 ，在以坐
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程；
（2）设点P是曲线 上的动点，求点P到直线l距离d的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）把 转化为直角坐标方程，把 代入到直角坐标方程中即可
（2）设点P的坐标为 ，把直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，用点到直线的距离公
式表示出点P到直线l距离，进一步求三角函数式的最大值.
【详解】解：（1）由题意得曲线 ： （ 为参数）的普通方程为 .
由伸缩变换 得
代入 ，得 .
∴ 的普通方程为
（2）因为 ，所以 可化为：
.
∴直线l的普通方程为 .因为点P是曲线 上的动点，所以设点P的坐标为 ，
则点P到直线l的距离
当 时， ，
所以点P到直线l距离d的最大值为 .
【点睛】考查把参数方程转化为直角坐标方程以及用三角函数知识求点到直线距离的最大值，中档题.
23．设函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 对 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）采用零点分段法直接求解即可；
（2）将问题转化为 对 ， 恒成立，然后根据 或 ，求出 的取值
范围.
【详解】解：（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，因为 ，所以 或 或 ，
解得 或 或 ，
的解集为 .
（2）若 对 ， 恒成立，有 ，
， 或 ， 或 ，
或 .又 ， .
故 的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及利用均值定理证明不等式，考查数学转化思想方法，推理论证能
力，属于中档题.
