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第十六章 二次根式章末测试卷
能力提升培优测
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：二次根式（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1 √x
1．（3分）下列二次根式：❑√5x5，❑√14， ，❑ ，2❑√11a，❑√12a，❑√a2−b2其中，最简二次根式的个
❑√2 2
数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
1
2．（3分）已知m为实数，且m=❑√2x−1+1，下列说法：①x≥ ；②当x＝5时，m的值是4或﹣2；
2
③m≥1；④❑√2x−1＞0．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
√7 1
3．（3分）比较大小：2❑ ，❑√17， ❑√62的大小顺序是（ ）
2 2
√7 1 √7 1
A．2❑ ＜❑√17＜ ❑√62 B．2❑ ＜ ❑√62＜❑√17
2 2 2 2
1 √7 1 √7
C． ❑√62＜2❑ ＜❑√17 D． ❑√62＜❑√17＜2❑
2 2 2 2
4．（3分）若6−❑√13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+❑√13）y的值是（ ）
A．5−3❑√13 B．3 C．3❑√13−5 D．﹣3
5．（3分）已知❑√7=a，❑√70=b，则❑√4.9用a、b表示为（ ）
a+b a−b b ab
A． B． C． D．
10 10 a 10
6．（3分）已知❑√3x−6+❑√6−3x+ y=2024，则❑√2024xy的值为（ ）
A．2024❑√3 B．2024❑√2 C．2024 D．20257．（3分）已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则❑√m2+6m+9−❑√(n−2) 2化简后为（ ）
A．m﹣n+5 B．m+n+5 C．m+n+1 D．m﹣n+1
√ b2
8．（3分）化简❑− 的结果为（ ）
a
|b| b b |b|
A．− ❑√−a B．− ❑√a C．− ❑√−a D． ❑√−a
a a |a| a
√ y √ x
9．（3分）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则x❑ + y❑ 值是（ ）
x y
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
10．（3分）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为❑√21cm，宽为
4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长
之和为（ ）
A．4❑√21cm B．16cm
C．2(❑√21−4)cm D．4(❑√21−4)cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知最简二次根式m+ √13n−m与❑√n+3m是同类二次根式，那么m+n＝ ．
12．（3分）如果❑√(x−2)(x2−4)=(2−x)❑√x+2，那么x的取值范围 ．
1 1
13．（3分）已知a = ，b = ，则a2﹣b2的值是 ．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
14．（3分）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦
a+b+c
﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，那么这个三角形的面积为
2
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．若a＝5，b＝8，c＝7，其面积S的整数部分为m，则m的值为
．
15．（3分）定义：因为(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b，可以有效的去掉根号，我们称(❑√a+❑√b)与(❑√a−❑√b)为一对“对偶式”．若❑√18−x−❑√11−x=1，则❑√18−x+❑√11−x= ．
16．（3分）若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式❑√(x+2024) 2+(2025+x) 2的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
√1
（1）❑√8−❑√12+6❑ ；
3
√1
（2）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24．
2
18．（8分）计算：
❑√3
（1）❑√27÷ ×2❑√2−6❑√2
2
❑√2×❑√6
（2） +(❑√3−1) 2−(❑√2+1)(❑√2−1)
❑√3
1 1
19．（8分）已知a = ，b = ，求a2+b2和a2+3ab+b2的值．
3+2❑√2 3−2❑√2
20．（8分）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：(❑√1−3x) 2−|1−x|．
1
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤ ．
3
所以1﹣x＞0．
所以原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：❑√(x−3) 2−(❑√2−x) 2；
【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简❑√a2+❑√(a+b) 2−|b−a|；
【拓展提升】（3）若❑√(x−5) 2+❑√(x−8) 2=3，求x的取值范围．
21．（8分）阅读下面的求解过程，然后回答问题．有这样一道题目：将❑√m+2❑√n化简，若能找到两个数a
和b，使a2+b2＝m且ab=❑√n，则m+2❑√n可化为a2+b2+2ab，即（a+b）2，从而使得❑√m+2❑√n=❑√(a+b) 2
能化简：
例如：因为7+2❑√6=6+1+2❑√6=(❑√6) 2+12+2❑√6=(❑√6+1) 2，
所以❑√7+2❑√6=❑√ (❑√6+1) 2=❑√6+1．
请你仿照上例，完成下列问题：
（1）已知❑√a+2❑√b=1+❑√2，则a＝ ，b＝ ；（2）计算下列式子：
①❑√5+2❑√6；
②❑√6−2❑√5．
1
22．（10分）小明同学在解决问题“已知a= ，求2a2﹣8a+1的值”时，他是这样解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，∴❑√3=2−a，∴(❑√3) 2=(2−a) 2，∴a2＝4a﹣1．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴2a2﹣8a+1＝2（4a﹣1）﹣8a+1＝8a﹣2﹣8a+1＝﹣1．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）化简： + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
1
（2）已知x= ，求2x3﹣8x2+3x+7的值．
❑√2−1
23．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片．
（1）小方形纸片的边长为 cm；
（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求a+2b−4❑√2的
值；
（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，
且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
24．（12分）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝
a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结
果．
❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
（1）计算： + = ．
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）m是正整数，a= ，b= ，且3a2+1711ab+3b2＝2005，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
（3）已知，求的值．
