文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、 单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若向量 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．函数 的定义域为 ，对任意 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5． 的展开式中 的系数为（ ）
A．55 B． C．65 D．
6．已知点 为椭圆 上一点， 为该椭圆的两个焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．13
7．将函数 图象向左平移 后，得到 的图象，若函数 在 上单调递
减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．8．“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
9．儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用．如图，在某节手工课上，小明
将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于
圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型．已知彩球的表面积为 ，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面
上点的最远距离）为（ ）
A． B． C．6cm D．
10．定义 ．若数列 的前 项和为 ，数列 满足
，令 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第 II 卷（非选择题）
二、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知函数 ，则 ．
12．若椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线交椭圆于P，Q两点，则 的周长为
.13．如图，在加工一个零件时，需要计算A，C两孔中心的距离，已知 mm， mm，
，则 mm．（精确到0.01mm）
14．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，
按图中结构第n个图有化学键 个．(用含n的代数式表示)
15．已知函数 的定义域为 ，其最小值为2．点 是函数图象上的任意一点，过点 分
别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 ．其中 为坐标原点．给出下列四个结论：
① ； ②不存在点 ，使得 ；
③ 的值恒为 ； ④四边形 面积的最小值为 ．
其中，所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）如图，在菱形ABCD中， ，点P是菱形ABCD所在平面外一点， ，
平面ABCD．平面PCD与平面PAB交于直线l．
(1)求证： 平面ABCD；
(2)求点D到平面PAB的距离．
17．（13分）已知 ，M为平面上一动点，且满足 ，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若 ，过点 的动直线 交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的
斜率分别记为 ， ，求证： 为定值，并求出定值.
18．（14分）若 ， ， ，且 的对称中心到对称
轴的距离的最小值为 ．
(1)求 的单调区间；
(2)求 在 上的值域．
19．（15分）已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 在 上有解，求实数 的取值范围．
20．（15分）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.
若甲发球，则本回合甲赢的概率为 ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为 ，每回合比赛的结果相互独立.
经抽签决定，第1回合由甲发球.
(1)求第3回合由乙发球的概率；
(2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.
21．（15分）设 是正整数，如果存在非负整数 使得 ，则称 是
好数，否则称 是 坏数．例如： ，所以2是 好数．(1)分别判断 是否为 好数；
(2)若 是偶数且是 好数，求证： 是 好数，且 是 好数；
(3)求最少的 坏数．
