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2025年山西省大同市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）下列各数中比 小的数是
A．0 B． C． D．
2．（3分）随着2025年全民健身热潮兴起，运动 备受欢迎．下列运动 的图标中，是中心对称
图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是
A． B． C． D．
5．（3分）2025年铁路春运由1月14日开始至2月22日结束，全国铁路运送旅客约有5.103亿人次．数
字5.103亿用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
第1页（共20页）6．（3分）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概
率是
A． B． C． D．
7．（3分）如图，射线 与 相切于点 ，经过圆心 的射线 与 相交于点 ， ，连接 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的
电阻 （单位： 与温度 （单位： 之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了
记录，如表：
0 10 20 30 40
5 5.08 5.16 5.24 5.32
则 与 之间的关系式为
A． B． C． D．
9．（3分）如图是小强散步过程中所走的路程 （单位： 与步行时间 （单位： 的函数图象．其
中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为
第2页（共20页）A． B． C． D．
10．（3分）如图，对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平．再一次折叠纸片，
使点 落在 上的点 处，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ， ．若 ，
则 的长为
A． B．1 C． D．2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式： ．
12．（3分）某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每
件
元．
13．（3分）如图，已知 的直径 ， ，则 的长为 ．
第3页（共20页）14．（3 分）如图，△ 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点 在反比例函数
的图象上，则经过点 的函数图象表达式为 ．
15．（3分）如图，正方形 的边长为6，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，
连接 ， ， 的垂直平分线分别交 ， ， ， 于点 ， ， ， ，则 的长为
．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）解不等式： ．
17．（8分）如图，四边形 是平行四边形， 是对角线．
（1）尺规作图：作 的垂直平分线，垂足为点 ，分别交 于点 ， 于点 ．连接 ，
（要求：不写作法，保留作图痕迹并标明字母）；
（2）判断四边形 的形状，并说明理由．
第4页（共20页）18．（7分）为积极响应国家科技创新驱动发展战略，检验高校计算机专业在人工智能方向的学科建设成
效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才．某省对甲，乙两所重点高校各抽取50名计算机专业学生，
进行人工智能算法应用能力测试，满分为50分．根据测试成绩，规定测试成绩不低于35分为达标．
数据整理：
①甲校学生成绩的频数分布表如下：
组别 频数（人数）
成绩 （分
第一组 3
第二组 4
第三组
第四组 13
第五组 20
②甲校抽取学生的成绩在 这一组的具体数据是35、35、36、37、38、39、39、39、40、40、
41、42、43．
③乙校学生成绩频数分布直方图如下：
数据分析：对甲、乙两校学生的成绩进行如下分析：
方差 达标率
平均数（分 中位数（分 众数（分
甲校 39.6 39 70.2
乙校 39.6 38 39 67.3
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）小明认为甲、乙两校成绩的平均数相等，因此两校成绩一样好，小夏认为小明的观点比较片面，请
结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
第5页（共20页）19．（7分）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家
农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个 产品比购进一个 产
品多5元，且用1600元购进 产品的数量与用1800元购进 产品的数量相等．求购进一个 产品，一
个 产品各需要多少元？
20．（9分）2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼天”流
量，2024年共接待了近450万名游客．为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞．已知遮
阳伞中截面是如图所示的伞骨结构： ，伞顶杆 始终平分 ， ，当
时，伞完全打开， 与 在同一高度，此时 ．请问伞顶 到地面 的高度是
多少（结果保留整数，参考数据： ， ， ．
21．（9分）阅读与思考
下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
第6页（共20页）关于“勾股四边形”的研究报告
善思小组
研究对象：勾股四边形．
研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究．
定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则该四边形为勾股四边
形．
【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形 是勾股四边形．
证明：如图1所示，连接 ，由四边形 是正方形可知 ，在 △ 中根据勾
股定理可得 ，所以正方形 是勾股四边形．
【一般研究】如图2，四边形 中， ， 为对角线， 且 ，
求证：四边形 为勾股四边形．
证明：以 为边作等边三角形 ，连接 ．
任务：
（1）根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两
个即可）；
．矩形
．等腰梯形
．直角梯形
．平行四边形
（2）请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程；
（3）如图3，在四边形 中， ， 为对角线， ， ，请直接写出
线段 ， ， 的关系．
22．（12分）综合与实践
问题情境：
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点 处以一定的方向弹出，小球的飞
第7页（共20页）行路线近似地看作是抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点 处．
建模分析：
如图2，以过点 的水平直线为 轴，过点 的铅垂直线为 轴，建立平面直角坐标系．分析图象得出，
小球飞行的水平距离 （米 与小球飞行的竖直高度 （米 的几组对应值如表，且点 的坐标为 ．
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
（米
0 0.875 1.5 1.875 2 1.875 1.5
（米
问题解决：
（1）求小球的飞行高度 （米 与水平距离 （米 的函数表达式；
（2）如图2，求小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度 ；
（3）如图3，设小球在飞行过程中的动点为 不与 ， 重合），连接 ， ，直接写出△
面积的最大值．
23．（13分）综合与探究
问题情境：
如图1，两块全等的三角形纸片 ， 叠放在一起， ， ．
初步探究：
（1）如图2，将△ 沿 方向平移，当点 与点 重合时，连接 ．试判断四边形 的形状，
第8页（共20页）并说明理由；
深入探究：
（2）将图2位置的△ 绕点 顺时针旋转得到△ ． ， 的对应点分别是 ， ．
①如图3，当 时，垂足为 ， 与 交于点 ，求线段 的长；
②当 时，请直接写出点 到直线 的距离．
第9页（共20页）2025年山西省大同市中考数学二模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C C A C B D C
11. 12.150 13. 14. 15.
选择题、填空题解法提示
10．解：连接 ，
四边形 是矩形， ，
由折叠得 ， ， ， ，
， ，
△ 是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选： ．
15．解：连接 ，如图所示：
第10页（共20页）在正方形 中， ，
，
△ △ ，
， ，
在 △ 中， ，
则 ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
，
在 △ 中， ， ，
则由勾股定理可得 ，
， ，
△ △ ，
，即 ，
解得 ， ，
，
，
，
，
第11页（共20页），
△ △ ，
，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
解答题参考答案
16．解：（1）原式
；
（2）去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
的系数化为1得， ．
17．解：（1）如图，直线 即为所求．
（2）四边形 为菱形．
理由： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
第12页（共20页）△ △ ，
，
，
四边形 为平行四边形．
直线 为线段 的垂直平分线，
，
四边形 为菱形．
18．解：（1） ，
，
，
故答案为：10；39.5； ．
（2）小明的观点比较片面．
理由不唯一，例如：①甲校成绩的优秀率为 ，高于乙校成绩的优秀率 ，
从优秀率的角度看，甲校成绩比乙校好；
②甲校成绩的中位数为39.5，高于乙校成绩的中位数，
从中位数的角度看，甲校成绩比乙校好；
因此不能仅从平均数的角度说明两校成绩一样好，可见，小明的观点比较片面．
19．解：设购进一个 产品需要 元，则购进一个 产品需要 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，答：购进一个 产品需要45元，购进一个 产品需要40元．
20．解：如图所示，过点 作 于点 ，延长 与 交于点 ，连接 ，
第13页（共20页）根据题意得，四边形 是矩形，
，
平分 ， ，
，
又 ， ，
△ △ ，
，
又 ，
，
，
，
在 △ 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：伞顶 到地面 的高度是 ．
第14页（共20页）21．解：（1）由勾股定理知矩形和直角梯形是勾股四边形．
故答案为： 和 ；
（2） △ 是等边三角形，
， ，
．
△ 是等边三角形，
，
，
，即 ．
△ △ ．
．
△ 为等边三角形，
，
又 ，
，
在 △ 中， ，
， ．
，
四边形 为勾股四边形．
（3） ．
过点 作 ， ，则 ， ，
第15页（共20页），
，
，
由（2）知△ △ ，
，
．
22．解：（1）由题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线 ，
其顶点为 ．
可设抛物线为 ．
又 抛物线过 ，
．
．
小球的飞行高度 （米 与水平距离 （米 的函数表达式为 ．
（2）由题意，设直线 为 ，
又 ，
第16页（共20页）．
．
直线 为 ．
又 在函数 图象上，
．
当 时， 取最大值为 ．
答：小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度 为 米．
（3）由题意，如图，作 轴交 于 ，
设 ， ，
．
．
第17页（共20页）．
又 ，
当 时， 取最大值为 ．
23．解：（1）菱形．
理由如下： 图2中的△ 是由△ 平移得到的，
， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，即 ，
是菱形．
（2）① △ 是由△ 平移得到的，
，
，
，
，
在△ 中， ， ，
， ，
在 △ 中， ，
△ 是由△ 绕点 旋转得到的，
， ，
， ，
又 ，
△ △ ，
，即 ，
；
第18页（共20页）②由（1）可知，四边形 是菱形， ，
第一种情况，如图所示， 与 重合，则 ，延长 ， 交于点 ，过点 作
延长线于点 ，过点 作 延长线于点 ，延长 交 于点 ，
则四边形 是矩形，
， ， ， ，
在 △ 中， ，
， ，
， ，
，
， ，
，且 ，
四边形 ， 是平行四边形， ，
， ，
在 △ 中， ， ，
点 到直线 的距离为 ；
第二种情况，如图所示， 与 重合，连接 ，过点 作 ，过点 作 ，
第19页（共20页）根据计算， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
点 到直线 的距离为 ；
综上所述，点 到直线 的距离为 或 ．
第20页（共20页）
