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2018年军队文职人员招聘考试理工学类-数学1试卷（解析）
公众号：逢考必上
1 考查函数的性质。
将 直接代入函数 得
故正确答案为C。
2 考查极限性质和取整函数的用法。
一个数它的倒数越小，它本身就应该越大。 函数是取整函数，也称为高斯函数。其中不超过实
数 的最大整数称为 的整数部分，记作 或 。结合极限的定义我们可以知道， 的意思
是： 的极限趋近于 的左边，如图所示：
等价于 ，即如图所示：
同理， 等价于 。将 ， 分别代入 ，
里面，替换计算得到 ， 。
故正确答案为B。
3 考查无穷小量的性质。
由无穷小量的定义可立即推出如下性质：
1、两个（同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；
2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量；
3、任何无穷小量必都是有界量。
由定义可推断出，A、B、C均为无穷小量。但如果要判断两个（同类型）无穷小量之商是否为无穷小
量，需要根据具体的函数或阶数进一步计算判断，仅凭无穷小量比无穷小量无法判断其比值是否仍为
无穷小。比如 时 ， 代入 ，则此时他们的比值 并不是无穷小。
故正确答案为D。
4 1、考察收敛数列的性质；
2、迫敛性为：设收敛数列 ， 都以 为极限，数列 满足：存在正数 ，当 时有
，则数列 收敛，且 。令 ，则可以通过放缩得到
。因为两边取极限 ，由迫敛性即可得到
。
故正确答案为A。
5 考查高阶导数。
一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数。容易看出： ，
直接对 求导计算，则对 ， 分别求导得： 、
。
故正确答案为B。
6 考查等价无穷小量。
，则称 与 是当 时的等价无穷小量，记作 。常见的等价无穷
小量有： 、 、 、 。所以当
时，有 且 。将其带入极限式子里计算可得
。
故正确答案为D。
7 考查连续函数的最值求解。
由连续函数在 上的性质，若函数在 上连续，则f在 上一定有最大、最小值。我们需要比较f
在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能求解最值问题。且由微积分基本定理公式
可知：
对 求导可得到 ，因为在区间 上， 、 ，所以
（分母大于零，分子大于等于零，分数即大于等于零），故 是单调递增函数，最小值在左端点取
得，即 。
故正确答案为A。
8 考查复合函数微分法。
令 ，由基础初等函数导数公式可得： 。结合求导的链式法则，直接对二元
函数求导可以得到
。
故正确答案为A。
9 考查格林公式。
若函数 ， 在闭区域 上连续，且具有一阶偏导数，则有
。
这里 为区域 的边界曲线，分段光滑，并取正方向。由题意，是从 到 的一段曲线，题中已给出 ，所以
。
故正确答案为D。
10 考查绝对收敛和条件收敛的定义和区别。
1、绝对收敛：原级数的各项绝对值的和收敛，那么此时原级数收敛。
2、条件收敛：原级数的各项绝对值的和不收敛，而原级数收敛。
3、级数的收敛定义推论：只要级数中有部分发散的级数，这个级数都发散。
题目判断条件收敛和绝对收敛，这里 绝对收敛， 条件收敛，故第一个级数
中部分级数是条件收敛的，所以 条件收敛；第二个条件收敛，级数
中有级数是条件收敛的，所以 条件收敛；第三个绝对收敛，因为在两个原级数都
收敛的情况下同时平方，避免变号的情况，将条件收敛的性质变为绝对收敛。（考虑变号的收敛序列
和 ）故有两个条件收敛。
故正确答案为C。
11 考查 的充要和充分条件和矩阵的相关计算。
在矩阵的相关计算中， 的充要条件是：
1、 都是 阶可逆矩阵，则矩阵 成立的充要条件是 。
2、 都是 阶矩阵，则矩阵 成立的充要条件是
乘法 都为对称矩阵，这里没给出 为对称矩阵的条件。所以 ，那么
可以排除A，B，D。且由 是单位阵，那么 。
3、 中任意一个为 阶单位矩阵时。
而在矩阵的相关计算中， 的充分条件是
都是 阶可逆矩阵，并且满足关系式 ，其中 为 阶单位矩阵， 为任意实数，则
。
矩阵的运算规律有：
； ； ； 。
A项， ，与答案不相符；
B项， 与 不符合 ；
C项， ；
D项，可经过计算算出不对，也可用满足 的几条性质去验证。
故正确答案为C。
12 本题考查行列式计算。
因为 ，且知道 ，所以要将行列式化为 的形式，再求其值。其中
是三维列向量，则变换计算过程为下：
（第一列提取公因式4）
（让第二列变为只含有 ： ）（第二列提取公因式 ）
故正确答案为B。
13 本题考查行列式的计算和逆矩阵的性质。
因为A为n阶矩阵， ；逆矩阵的定义为：令 为数域 上一个 阶矩阵，若是存在
上 阶矩阵 ，使得 ，那么 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而 叫作 的逆矩
阵。所以，要求解本题，需要求出 与某个矩阵的乘积为单位矩阵 。
又 ，移项
所以， 的逆为 。
故正确答案为C。
14 本题考查解空间的维数。
解空间的维数就是基础解析所含解向量的个数。数域 上一个 个未知量的齐次线性方程组的一切解作
成 的一个子空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。如果所给的方程的系数矩阵的秩是 ，那么解
空间的维数等于 。
一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。
题目为齐次方程线性组，它的系数矩阵为 ，
化简后为 ，得秩为： ，由于未知数的个数为 ，所以解向量个数为
。
故正确答案为B。
15 本题考查矩阵特征值与行列式之间的关系。
因为特征值的乘积等于 ，而 是 的行列式，又记作 。
本题中 （用第三行减去第一行）
，
由题干条件的 为唯一特征值可得：
，所以 ，故 。
故正确答案为C。
16 本题考查二次型的概念。N元二次型的表达式为：
，而二次型的秩就是矩阵的秩。将二次型
化为系数矩阵：
将第二行乘 加至第三行得 ，其秩为2。
故正确答案为C。
17 本题考查考察分布函数的定义。
设 是一个随机变量，对任意实数 ，称 为 的分布函数，记为 。分布函数
具有如下三条基本性质：
1. 单调性：单调非减函数，即对任意的 ，有 ；
2. 有界性：对任意的 ，有 ，且 ， ；
3. 右连续性： 是 的右连续函数，即对任意的 ，有 。
故正确答案为D。
18 本题考查标准正态分布的性质。
称 ， 时的正态分布 为标准正态分布，则 ； 。根据这两
条性质，可以判断出C、D是正确的。
又若 ，则对任意实数 , ，有 。将B选项中的
和 代入即可得
，运用 的性质，可得
。B答案正确。
同理，
故正确答案为A。
19 考察样本均值和样本方差。
与 独立， ，由于 的均值 为2， 服从
，则 ，故 ，
则 。
故正确答案为D。
20 本题考查样本方差和样本均值。
由于总体是正态分布，则样本的方差是总体方差的无偏估计，样本均值是总体均值的无偏估计。具体
验证：
，
且 ，则 ，。
故正确答案为C
21 考察导数的定义。
由洛必达法则知， ，又因为 ，故函数在 处不连续，若函数不
连续则导数一定不存在。
故正确答案为D。
22 考察复合函数求导。
复合函数应该逐层求导，这个复合求导有三层。
令 ，本题应先对 求导，再对 求导，再对 求导得：
再将 代入上式，得
故正确答案为D。
23 本题考查微积分基本定理和复合函数求导。
由公式 可得 。结合题中参数方程可知， ，
则
故正确答案为D。
24 本题考查微分中值定理、积分中值定理。
1. 拉格朗日中值定理：若 在 连续，则至少存在一点 ，使得 。
2. 积分第一中值定理：若 在 连续，在 上可导，则至少存在一点 ，使得
。
3. 柯西中值定理：设函数 、 满足：
（1）在 连续；
（2）在 上可导；
（3） 和 不同时为零；
（4）
则存在一点 ，使得
。
由拉格朗日中值定理推出A项中等式右边应该是 ，且 要在 存在且可导而不是 。B、
C、D三项，可分别利用积分第一中值定理、柯西中值定理、柯西中值定理求出。
对C选项分析，可设 ，显然它在 上与 一起满足柯西中值定理条件，于是存在
，使得 ，即得到选项C。对D选项分析，可设 ， ，显然它在 上与 一起满足柯西中值定理条件，于
是存在 ，使得 ，即得到选项D。
本题为选非题，故正确答案为A。
25 本题考查极值的充分条件。
极值的第二充分条件：设 在 的某领域 上一阶可导，在 处二阶可导，且 ，
：
1. 若 ，则 在 取得极大值。
2. 若 ，则 在 取得极小值。
本题中 ， ，根据第二充分条件可知， 在 取得极大值。
故正确答案为A。
26 本题考查导数的四则运算和基本性质。
较为熟悉导数的四则运算，由题目给的条件 ，可得导数的乘积法则
，即 单调递减。
根据单调性有 ，C错误，D正确。而A、B选项是基于除法的运算给出的
结果，错误。
故正确答案为D。
27 本题考查函数的最值问题。
比较 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到 在 的最大、最小值。
对函数求导得到： ，令 ，解得 ， 。
令区间 ，在 左边 ；在 内 ；在 右 ，则 为在
的减函数， 的增函数。
故可以判断出在 上有最小值点，无最大值点。
故正确答案为C。
28 本题考查定积分面积计算。
该函数有三个根0，1，2。三个根将函数定义域分成四段 ， ， ，
。
定积分在四个区间上能够求出围成的面积的是定积分在 、 两块的面积。在 内 ，在 内
，在 内 ，在 内 ，那么 与 轴围成的面积就只有 ， 的部分，并且 部分的积分
需要提出一个负号，因为面积无正负。
故正确答案为D。
29 本题考查分部积分。故正确答案为D。
30 本题考查变限积分求导。
由题意 ， 由于 是单调递增函数，所以 ，那么可
得在 上 ，在 上 。
则一阶导数 先增后减，且在 处取得最大值 。
由此可判断 ，可得 在 上是单调递减的。
故正确答案为B。
31 本题考查向量的数量积（点乘）和向量积（叉乘）。
由题目所给条件 （数量积） ，
解得 ， ，
则 、 的向量积为： 。
故正确答案为B。
32 本题考查直线在平面上的投影方程。
观察题中直线的方程组中 ， ， 前的系数。
令 ， ，则直线的方向向量为
。
根据所给的平面 的方程，可得平面 的法向量为 ，则过直线且与 垂直的平面 的法向量
为
。
在直线 上取一点 ，可得 为： ，
题给投影线为 和 的交线，即是C选项。
故正确答案为C。
33 本题考查可导和连续之间的关系。
可导是连续的充分不必要条件。可偏导一定连续，连续不一定可偏导，例如 ，沿 轴趋于原
点时， 不可导，沿 轴趋于原点时也不可导，这是因为沿 轴趋于原点时， 的图像有尖点，不光滑，
所以不可导，同理沿 轴也是如此。故为充分条件。故正确答案为A。
34 本题考查隐函数求导。
对所给方程两边求导，由于 ， 是关于 的函数，那么 对 求导有： 。
那么我们有
，两边化简可得 。
故正确答案为B。
35 本题考查曲线的切线和平面的位置关系。
曲线的切线方向 ，平面的法向量 ，
因切线与平面平行,所以切线与法线垂直,所以 ，
即 ，所以 ， 。
将 的值代入曲线方程，得点 和点 ，则在这两点的切线与平面平行，故有两
条。
故正确答案为B。
36 考查场论中梯度的性质。
函数在一点增加最快的方向是梯度方向。 ，将点
带入 可得 为增加最快的方向。
故正确答案为B。
37 考查二重积分中积分换序计算。
二重积分表达式中的 无法进行直接积分，所以应该改变积分次序。根据题目所给的二重积分作
图：
利用积分换序，将 原式化为：
故正确答案为D。
38 考查三重积分。
因为 为球，所以利用对称性，若所积函数为关于 （或 ， ）为奇函数，三重积分为0。
为关于 的偶函数， 为关于 的偶函数， 为关于 的偶函数， 为关于 的奇函数。故正确答案为D。
39 考查级数的收敛半径，莱布尼兹判别法。
莱布尼兹判别法：若交错级数满足
1、数列 单调递减；
2、 ，则级数收敛。
由级数的收敛半径公式 可得 所以收敛半径为1
当 时，原级数为 ，是发散的，1不可取。
当 时，原级数为
因为 ，且 ，由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛域为
故正确答案为B。
40 考查求高阶常微分方程的通解表达式。
因为是某二阶线性齐次微分方程的解，所以通解中应有两个常数系数。
因为有三个特解 。
所以 ，
则由 ，得特解为
则答案为
故正确答案为C。
41 考查对角矩阵定义和相似的性质。
因为A与D相似，所以存在可逆矩阵P，
所以
故正确答案为C。
42 考查分块矩阵。
由 可得，A、B都为非零n阶方阵。设A的秩为 ，B的秩为 ，则 的非零行为
，从而 。
故正确答案为D。
43 考查直线之间的位置关系。因为三条直线交于一点，即方程组
即 有唯一解。
则 ，即为2。
即秩（系数） 秩（增广）
则a，b，c线性相关，a，b线性无关
故正确答案为D。
44 考查基础解系的求解。
因为矩阵的秩为 ，又 ， ， 为三个线性无关的解。
所以基础解系为由 ， ， 组成的线性无关向量。
选项中，只有A为三个线性无关，其余均线性相关。
故正确答案为A。
45 考查线性方程组解的个数。
因为有无穷多个解，所以增广矩阵的秩小于变量个数，即小于3，增广矩阵为 ，
化简： （将 （第二行）乘以-1加到 ）=
由于秩序小于3，所以 ，即 。
故正确答案为B。
46 考查矩阵的特征值与特征多项式。
矩阵特征值与其逆矩阵的特征值的关系是： 的特征值为 的特征值倒数。
因为三阶矩阵 的特征值为 ，所以 的特征值为 的特征值倒数，即2，3，4。又 为单位矩
阵， 。
所以 的特征值为 ， ， ，所以 。
故正确答案为A。
47 考查二次型和矩阵特征根的性质。
N元二次型的表达式为：， ，而二次型的秩
就是矩阵的秩。
则 的矩阵为 因为其特征根和为1，积为-12，
所以 ，
（对该行列式的第一行进行展开）
，将 代入得
故正确答案为B。
48 考查相似矩阵。
根据相似的性质，两相似矩阵的特征值相同。
由公式 得， ，
推出 ， ，令表达式（1）和（2）
相等，得出表达式： ，比较左右两边等式，即可求出
， 。
故正确答案为C。
49 考查正交矩阵的性质。
A、B是正交矩阵，则 ，
所以AB也是正交矩阵。
同理，所以 也是正交矩阵，类似可证明 。
但是两正交矩阵相加就不是正交矩阵，且没有意义。
本题为选非题，故正确答案为D。
50 考查正交矩阵的性质
因为 ，
又题中给出
。因为 ，且 ，
所以该矩阵为正交矩阵。
故正确答案为C。
51 考察条件概率。
记事件 为“目标被击中”，事件 为“甲击中目标”，事件 为“乙击中目标”。因为 ，所以
。
考虑到 ，故有 。
故正确答案为C。
52 考查随机变量的独立性。
已知X，Y独立同分布，
所以
同理，有所以X，Y，Z两两独立。
又因为
所以X，Y，Z不是相互独立。
本题为选非题，故正确答案为D。
53 考查随机变量的独立性及概率密度函数。
由于 、 均独立， 的概率分布为 又 以0.6的概率 服从
，以0.4的概率 服从 。
用变量替换法， 的密度为 ，故U的密度为 。
故正确答案为C。
54 考查联合分布。
由题干知， 时有两种情况：
故正确答案为C。
55 考查边际分布与随机变量的独立性。
当 时，有 ，所以x的边际密度函数为：
又因为当 时，有
所以Y边际密度函数为：
积分区域与 ， 有关故不独立，且显然二者的密度函数相同，是同分布的。
故正确答案为C。
56 考查拒绝域。该检验假设的拒绝域为 ， 变大时， 变小，故此时还是落入拒绝域，故必拒绝
。
故正确答案为A。
57 考查F分布。
F分布的统计量构造为
设 ，则存在 ，
则Z与W独立且
故正确答案为C。
58 考查无偏估计。
的无偏估计应为： ，故
故正确答案为D。
59 考查三大抽样分布。
t分布用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
假设 服从标准正态分布 ，Y服从 分布，那么 的分布称为t分布，记为 。
则由t分布的定义即可得。
故正确答案为B。
60 考查分布积分法。
。
因为 是 的反函数， 是 的原函数，所以 ，代入得：
即可解出。
故正确答案为C。
61 考查二重积分。
因为 ，因此 ，
则 ，则原式 。（对1积
分就是计算封闭面积）故正确答案为A。
62 考查定积分的应用——平面曲线的弧长计算。
弧长计算公式为
代入题目中数据得：
故正确答案为D。
63 考查重积分的应用——曲面的面积计算。
曲面面积公式为 由于 ，因此
则面积
故正确答案为B。
64 考查傅里叶函数。
由周期性得，
，
上式为：
故正确答案为C。
65 考查矩阵的运算规律。
矩阵的运算规律有：
； ； ； 。
，将题中所给 代入可得， ，但不能推得 。
故正确答案为A。66 考查对角矩阵和矩阵相似的性质。
因为A满足 ，则 ， ，可知 的特征值为1（有 个）； 的特征值
只能为1，-1，一共 个，可存在矩阵 ，使得
故A可相似于对角矩阵。
故正确答案为B。
67 考查连续型随机变量。
以概率 服从 ，以概率 服从 ，故 服从 且是连续分布的
故正确答案为B。
68 考查正态分布的最大似然估计量。
由正态分布的最大似然函数
可以计算
故
故正确答案为A。
69 考查无偏估计。
设 服从 ，p的矩估计为 ， 。
故pm是无偏估计；
而样本最大似然函数为 ， ，得
，故pl也是无偏估计。
故正确答案为C。
