文档内容
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形（3个知识点+13大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 矩形的性质理解
题型二 利用矩形的性质求角度
题型三 根据矩形的性质求线段长
题型四 根据矩形的性质求面积
题型五 利用矩形的性质证明
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
题型七 矩形与折叠问题
题型八 矩形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是矩形
题型十 证明四边形是矩形
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
【知识梳理】
知识点1：矩形的概念与性质
1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。题型一 矩形的性质理解
1．河南省博物院镇馆之宝之一的云纹铜禁是由禁体和12条龙形附兽、12条龙形座兽组成．禁体从上面看
为一个矩形（如图2所示）．这个矩形 的对角线 与 交于点O，则下列说法一定正确的是
（ ）
A． B．矩形 既是轴对称图形也是中心对称图形
C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质一一判定即可．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ；
A、当四边形 是正方形时， ，选项不符合题意；
B、矩形 既是轴对称图形也是中心对称图形，选项符合题意；
C、当 时，结合 ，可得 方可成立，选项不符合题意；
D、当 时， 方可成立，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，掌握性质定理并能区分与正方形的性质是关键．
2．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ，然后向右拉动框架，
给出如下的判断：①四边形 为平行四边形；②对角线 的长度不变；③四边形 的面积不变；
④四边形 的周长不变，其中所有正确的结论是 ．
【答案】 /
【分析】①根据④平④行①四边形的判定和性质即可判断．
【详解】解： 两组对边的长度分别相等，四边形 是平行四边形，故①正确，
向右扭动框架，
的长度变大，故②错误，
平行四边形 的底不变，高变小了，
平行四边形 的面积变小，故③错误，
平行四边形 的四条边不变，
四边形 的周长不变，故④正确．
故所有正确的结论是①④．
故答案为：①④
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关
键是熟练应用平行四边形的性质．
3．如图，在矩形 中，点 ， 分别是 ， 的中点．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．由矩形的性质求得 ， ，
，由点 ， 分别是 ， 的中点，推出 ，利用 即可证明
．
【详解】证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∴ ．
题型二 利用矩形的性质求角度
1．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，已知
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质．根据 ，可以求得 的度数，
再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到 的度数．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ，
故选：D．
2．如图， 是矩形 中 边的中点，将 沿 折叠到 在矩形 内部，延长
交 于 点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的关键是利用折叠图形中的对应角相等进
行求解．由 沿 折叠到 ，得出 ，由 ， 求出 ，
利用 求解．
【详解】解： 沿 折叠到 ，，
， ，
，
．
故答案为： ．
3．如图， 、 是矩形 边 上的两点， ．
(1)若 ，则 ______°；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形 是矩形得 ， ，根据 得
，根据平行线的性质即可得；
（2）根据四边形 是矩形得 ， ，根据 可证明 ，得
，即可得．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识
点．
题型三 根据矩形的性质求线段长
1．如图，在矩形 中， ，对角线 与 相交于点O， 垂直平分 于点E，则 的长
为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，由矩形的性质和线段垂直平分线
的性质证出 ，得出 ，由勾股定理求出 即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．2．如图，长方形 中， ， ，长方形内有一个点 ，连接 ， ， ，已知
， ，延长 交 于点 ，则 ．
【答案】
【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长 交 于F，根据已知条
件得到 ，根据矩形的性质得到 ， ，根据余角的性质
得到 ，进一步推出 ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：延长 交 于点F，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ．
故答案为： ．
3．如图，已知四边形 是平行四边形，对角线 交于点 是等边三角形．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的性质，勾股定理．
（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质，得到 ，即可得证；
（2）根据勾股定理，进行求解即可．
掌握矩形的判定方法和性质，是解题的关键．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
．
是等边三角形，
，
，
四边形 是矩形．
（2）解： 四边形 是矩形，
．
是等边三角形，
，则 ，
．题型四 根据矩形的性质求面积
1．已知：如图，在矩形 中，E、F、G、H分别为边 、 、 、 的中点．若 ，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查矩形的性质．由题意可得四个小直角三角形的面积相等，阴影部分的面积即为矩形
面积减去四个小直角三角形的面积．
【详解】解： ， ，
，
由于E、F、G、H分别为边 、 、 、 的中点，
，
，
．
故选：C．
2．如图，矩形 的对角线 相交于点O，且 ， ，则 的面积为 ．
【答案】2
【分析】根据矩形的性质和三角形中线等分三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，对角线 相交于点O，∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和三角形中线的性质是解答的关键．
3．如图，在 中， ， ，点E、F分别为垂足．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)已知 ， ， ，求矩形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，再由 ， ，得到 ，由此即
可证明四边形 是矩形；
（2）设 ，则 ，利用勾股定理建立方程 ，解方程求出 ，再根
据矩形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键．
题型五 利用矩形的性质证明
1．如图，点 为矩形 的边 长上的一点，作 于点 ，且满足 ．下面结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】根据矩形的性质，可得 ， ， ，根据全等三角形的判
定方法可得 ， ，由此即可求解．
【详解】解析：∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，①正确；
∵ ，
∴ ，
在 中，，
∴ ，
∴ ；②正确；
∴ ，③不正确，④正确；
综上所述，正确的结论有 个，
故选A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定方法，掌握以上知识是解题的关键．
2．如图，在矩形 中，点 在边 上，点 是 的中点， ， ，则 的长为
．
【答案】
【分析】由矩形的性质得 ， ， ，而 ，所以
，则 ，所以 ，则 ，于是得
到问题的答案．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地
求出 的长是解题的关键．
3．如图，在矩形 中，对角线 相交于点O， 于点E， 于点F．求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据矩形的性质得到 ，再根据 ， 得出 ，从
而证明出 即可．
【详解】∵四边形 是矩形，对角线 相交于点O，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是找到全等三角形．
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
1．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为 ，∠CAO的
平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利
用等面积法即可求出结果．
【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示，
∵AD平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B的坐标为 ，
∴OA=4，OC=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OD= ，
∴D点坐标为（0， ），故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键．
2．如图，四边形 是矩形， 三点的坐标分别是 ， ， ，对角线交点为 ，则
点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得 ，由中点坐标公式直接求解即可得到答案．
【详解】解：四边形 是矩形， 三点的坐标分别是 ， ， ，
，
矩形 对角线交点为 ，
由平面直角坐标系中中点坐标公式可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．
3．如图，在矩形 中，点 、 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在第一象限， ， ．点
在 上，连接 ，把 沿着 折叠，点 刚好与线段 上一点 重合．
(1)请直接写出点C的坐标．(2)求线段CF的长度．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由矩形的性质可得 ， ， ， ，即可求解；
（2）设把 沿着 折叠，设点 刚好与线段 上一点 重合，由折叠的性质的可得 ，
， ，由勾股定理可求 的长．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
点 的坐标 ；
（2） ， ，
，
把 沿着 折叠，设点 刚好与线段 上一点 重合，
， ， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
题型七 矩形与折叠问题
1．如图，将一张长方形纸片沿对角线 折叠后，点C落在点E处， 交 于点F，再将 上方纸片
沿 折叠，点E落在点G处．若 刚好平分 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．根据折叠的
性质可得 ， ，由角平分线的定义可得 ，
，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【详解】解：由折叠可知， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
2．如图，把长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 分别落在 轴、 轴上，连接 ，将纸
片 沿 折叠，使点 落在点 的位置， 与 轴交于点 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定及性质、矩形的性质，由矩形的性质及折
叠的性质得 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理即可求解，熟练掌握基础知识，利用方程的思想及数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：如图：
四边形 是矩形，
，
，
根据题意得： ， ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
，
故答案为： ．
3．如图，在长方形 中，E是边 上一点，连接 ， 沿直线 翻折后，点A恰好落在长方
形 的对称轴 上的点 处，连接 ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)延长 交 于点F，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查了矩形与翻折的性质，对称轴的性质，等边三角形的判定与性质以及含 直角三角形，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据翻折以及对称轴证明 即可．
（2）根据 是等边三角形与翻折求出 ，然后得到 ，根据
角度关系判断出 ，然后得到 即可求出 的长．
【详解】（1）解：∵直线 是长方形 的对称轴，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
由翻折得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
由翻折得 ， ，
在长方形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型八 矩形的判定定理理解
1．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．四个角都是直角的四边形是矩形【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定，牢记有关矩形的判定定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，
难度不大．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误；
D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选：D．
2．工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的
两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理：
．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得．
【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形，
∵对角线相等的平行四边形为矩形，
∴要测量它们的两条对角线是否相等，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．
3．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合．
(1)若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若
以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值．
【答案】(1)见解析
(2)1s或7s【分析】（1）判断四边形DEBF是否为平行四边形，需证明其对角线是否相互平分；已知四边形ABCD
是平行四边形，故OB=OD；又因为AE=CF，所以可得OE=OF，即可得出结论；
（2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则必有BD=EF，可求出时间t的值．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE= CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，
则BD=EF=12，
∴OE=OD=6，
由题意得AO=OC=8，
∴AE=2或AE =14，
∵点E，F的运动速度均为2cm/s，
∴t的值为1s或7s．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形的性质是解答此
题的关键．
题型九 添一个条件使四边形是矩形
1．如图，在 中，对角线 与 交于点 ，添加下列条件不能判定 为矩形的只有
（ ）
A． B． ， ，
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可
一一判断．
【详解】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．B、正确． ， ， ，
，
，
平行四边形 为矩形．
C、正确， ，
，
，
平行四边形 是矩形，
D、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形．
故选：D
2．如图，在四边形 中， ， ，连接 ，相交于点 ．请增加一个条件，使
得四边形 是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）
【答案】 或 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了矩形的判定，由 ， 得出四边形 是平行四边形，再由矩形
的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键．
【详解】解： 在四边形 中， ， ，
四边形 是平行四边形，
当 或 时，四边形 是矩形，
故答案为： 或 （答案不唯一）．
3．如图,在 中,点E,F分别在 , 上,连接 , , , ,且 ．请从以下三个选项
中:① ;② ;③ ,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形 是矩形．（不再
添加其他线条和字母）．(1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可）
(2)添加条件后,请证明四边形 是矩形．
【答案】(1)①（或②）
(2)证明见解析
【分析】本题考查矩形的判定及平行四边形判定及性质．
（1）根据题意 ,先分析平行四边形的性质有哪些,思考平行四边形和矩形的区别,可知“对角线相等
的平行四边形为矩形”继而解出本题;
（2）根据（1）所得结论证明出 是矩形即可．
【详解】（1）解:根据平行四边形性质与判定,矩形的判定,选择①（或②）,选择其中一个序号填写即可．
（2）解:证明:若选①判定如下:
∵四边形 是平行四边形,
∴ , , ,
∵ ,
∴在 和 中,
,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ 为平行四边形,
∵ ,
∴ 为矩形;
若选② 判定如下:
解:∵四边形 是平行四边形,
∴ ,
∵ ,
∴ 为平行四边形,∵ ,
∴ 为矩形．
题型十 证明四边形是矩形
1．如图，平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O， ，若要使平行四边形 为矩形，
则 的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得， ，可得当 时，平行四边形 为矩形．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定及平行四边形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关
键．
2．如图，在四边形 中， ，点E，F，G，H分别是 的中点，
连接 ，则四边形 的形状是 ．【答案】矩形
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理得到 ，根据三角形中位线定理得到
根据矩形的判定定理得出结论.
【详解】解：∵ ,
∴点 再线段 的垂直平分线上，
∴ ,
∵点 分别是 的中点,
，
∴ ,
∴四边形 为矩形,
故答案为：矩形.
【点睛】本题考查的是中点四边形、线段垂直平分线的判定，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是
解题的关键.
3．已知点E是 边 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ， ，且
．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ，请直接写出 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、熟练掌握矩形的判定与性
质是解题关键．（1）先利用 定理证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ，根据平行四边形的判
定可得四边形 是平行四边形，然后根据 ，最后根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得 ，再利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：由题意可知 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
．
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
1．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先证明 是等腰直角三角形，求出 ， 即可．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
═ ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现 是等腰直角三角
形这个突破口．
2．如图，在矩形 中，对角线 相交于点 于点 ．若 ，则 的度数
为 ．
【答案】
3．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若 ，求∠CDE的度数．【答案】
【分析】先根据矩形的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得
，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且
相等）是解题关键．
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
1．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，过点O作 交 于E，若 ， ，
则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【分析】连接 ，根据矩形的对边相等可得 ， ，根据矩形的对角线互相平分可
得 ，然后判断出 垂直平分 ，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得
，设 ，表示出 ，然后在 中，利用勾股定理列出方程求解即可．本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利
用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
在矩形 中，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
设 ,则 ,
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 的长为5．
故选：C．
2．如图，长方形纸条 ， ，点E在 边上，且 ，点F为 边上一点，连接 ，
将四边形 沿 翻折，得到四边形 ．若纸条的长度足够长，则 到 边的最大距离为
．
【答案】18
【分析】本题考查了矩形的判定及性质、勾股定理、翻折的性质，连接 ，作 于点 ，
于点 ，根据矩形的判定及性质得 ，根据勾股定理得 ，根据
，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质，找出 是解题的关键．【详解】解：连接 ，作 于点 ， 于点 ，如图：
四边形 是矩形， ， ，
，
四边形 是矩形，
，
由翻折得： ， ， ，
在 中，根据勾股定理得，
，
，
，
，
的最大值是 ，
故答案为：18．
3．如图，在长方形 中，E是 的中点，将 沿直线 折叠后得到 ，延长 交 于
点F，连接 ，若 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）根据点E是 的中点以及翻折的性质可以求出 ，再根据矩形的性质，得出
，然后利用“ ”证明 即可；
（2）由 ，得出 ，设 ，表示出 、 ，然后在 中，利用勾股定
理列式进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∵ 沿 折叠后得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，解题关
键是熟记相关性质，找出三角形全等的条件 ．
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
1．如图， 对角线 ， 交于点O， 是等边三角形， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】四边形 是平行四边形，再加上对角线相等可证明是矩形，矩形面积的计算，底边长乘以高
代入数值即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， 是等边三角形，
∴ ，
即： ，
∴平行四边形 是矩形．
∵ ，
在 中，由题意可知， ，则 ，
∴平行四边形 的面积 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，重点掌握矩形的判
定定理以及掌握求矩形的面积．
2．如图 是一个矩形，在 上各取一点G、H，使得 ，再取 的
中点E、F．连接 ，已知 ， ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得 、为等边三角形，结合E、F为 的中点可推出四边形 为矩形，据此即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵
∴ 、 为等边三角形，
∴ ，
∵E、F为 的中点，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ， ，
∴
∴四边形 为矩形，
又 ，
∴
∴ ， ，
∴四边形 的面积为： 。
故答案为：
3．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，
(1)求证： ；
(2)若点E、F分别为线段 的中点，连接 ， ， ，求 的长及四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6，48
【分析】（1）证明四边形 是矩形，即可；
（2）根据三角形中位线定理可得 ，从而得到 ，再由勾股定理可得 的
长，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵点E、F分别为线段 的中点， ，
∴ ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定
和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
1．（2023上·四川达州·九年级校考期中）如图，在矩形 中，点E在 上， 交 于点
F，且 ．若 ，矩形 的周长是16，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质及
全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．设 ，根据矩形的性质得到 ，再根据直角
三角形的性质，证明 ，从而证得 ，得到 ，由此可列方程并求
解，即得答案．【详解】解：设 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，矩形 的周长是16，
，
解得 ，
即 ．
故选：A．
2．（2023下·重庆开州·八年级校联考期末）如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片 沿 折叠，
使点C与点A重合，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形的翻折变换、勾股定理等知识点，找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应
相等的是解题的关键．
根据折叠可得 ，设 ，则 ，在 中利用勾股定理可得 ，解
之可得 的长，进而得到 的长；再根据折叠可得 ，根据 可得
，进而得到 ，根据等角对等边可得 ，再过E点作
于H，再在 中利用勾股定理可计算出 的长．【详解】解：∵ 是四边形 与 的对称轴，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过E点作 于H，
∴ ， ,
∴ ．
故选：C．
3．（2024上·山东泰安·九年级统考期末）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点
，垂足为点 是 的中点，连接 ，若 ，则矩形 的周长是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，由矩形的性质可得 ，
，从而得出 是等边三角形，则 ，求出 ，再由勾股定理得出
，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： 在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，
， ， ，且 ，
，
,
是等边三角形，
，
，
于点 ，
为 的中点，
是 的中点， ，
，
，
，
，
，
，
矩形 的周长是 ，故选：C．
4．（2024上·河南郑州·八年级统考期末）如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的长方形，点
O为坐标原点， ， ，在 边上取一点E，连接 ，将 沿着 所在直线翻折，使点
C落在 边上的点F处，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质．
由矩形 和翻折，在 中，根据勾股定理可求得 ，因此
，设 ，则 ， ，在 中，根据勾股定理即可
构造方程，求解得到 ，从而得到点E的坐标．
【详解】∵四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
∵将 翻折得到 ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，∴点E的坐标为 ．
故选：C
5．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于
点 ， ， 平分 交 于 ，以 为边向矩形内作等边三角形 ，连接 ．
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形．过 作
于 ，推出 是等边三角形，令 ，则 ，得到 ，由勾股定理求出
，由 和 是等腰直角三角形，据此求解即可．
【详解】解：过 作 于 ，
四边形 是矩形，
， ， ， ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
令 ，则 ，
，，
平分 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：C．
6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，
垂足为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两
端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到 为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，对角线 与
交于点 ，点 为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则
．
【答案】 /
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，连接 ，根据矩形的性质和勾股定理求出 ，从而求出
，进而表示出 ，可得 即可求解．
【详解】解：连接∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在矩形 中，点E在边 上， 沿 折叠得
到 ，且点B，F，E三点共线，连接 ，若 ， ，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．设 交 于H， ， ，根据勾股定理得到 ， ，解得 ，
，然后根据三角形的面积求出 解题即可．
【详解】解：设 交 于H，如图：
设 ， ，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ①，
在 中， ，
∴ ②，
①②联立解得， 或 （舍去），
∴ ， ，
∴ ；
，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
故答案为： ， ．
9．（2024上·河南郑州·九年级校考期末）如图，在矩形纸片 中， ， ， 为 边上
一点，将 沿 折叠，得到 ．点 关于 对称，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，分两种情况解答即可求解，
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：当点 在 上方时，如图 ，
连接 ，
∵点 关于 对称，
∴ 垂直平分 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
若 ，则 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ；
当点 在 下方时，如图 ，
由图可得， ；
∴ 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
10．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，长方形 中， ，点E为射
线 上一动点（不与点D重合），将 沿 翻折得到 ，连接 ，若 为直角三角
形，则 的长为 ．
【答案】8或
【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论．分为两种情
况，一种是点 在线段 上，另一种是点 在 的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ， ，
①如图1，当点 在线段 上时，，
， ， 三点共线，
，
，
，
；
②如图2，当点 在 的延长线上时，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得 ，
，
综上， 的值为8或 ．
故答案为：8或 ．
11．（2024下·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，在平行四边形 中，
，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩
形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
（1）根据四边形 是平行四边形，可得 ，再证 ，即可证明四边形 是平行四
边形，又 ，可证明四边形 是矩形；
（2）根据四边形 是矩形得出 ， ， ，证明 是等边三角形，再根
据勾股定理即可求出 的长．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，点E在 的延长线上，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形；
（2） 四边形 是矩形，四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
是等边三角形，
， ，， ，
，
的长是 ．
12．（2024上·福建莆田·九年级校考期末）已知如图，将矩形 绕点C按顺时针方向旋转得到矩形
，点B与点E对应，点E恰好落在 边上， 交于点H，
求证：
(1)
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“ ”得到
是解题关键．
（1）由平行线的性质可得 ，再证明 ，然后根据“ ”可得 ；
（2）由全等三角形的性质得 ，等量代换可证 ．
【详解】（1）∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
13．（2023上·江西九江·九年级统考期末）课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在 中， ， 是 边上的中线．
求证： ．
证明：如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在 中， 是 边上的高， 是 边上的中线， 是 的中点，连接 并延长
交 于点 ，连接 ．求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等
腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线
等于斜边的一半是解（2）的关键．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再证明四边形 是矩形即可；（2）由直角三角形斜边中线的性质得 ，进而可证 ，然后证明 是线段 的垂直平
分线即可．
【详解】解：（1） 是 边上的中线，
．
，
四边形 是平行四边形．
，
四边形 是矩形．
．
，
．
（2）如图，连接 ．
是 边上的高， 是 边上的中线，
， 是 的中点．
．
，
．
．
是 的中点，
．
是线段 的垂直平分线．
．
14．（2023上·河南南阳·九年级统考期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称
性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．图1 图2
【操作】如图1，在矩形 中，点 在边 上，将矩形纸片 沿 所在的直线折叠，使点
落在点 处， 与 交于点 ．
【猜想】请直接写出线段 的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片 折叠，使 恰好落在直线 上，点 落在点 处，点 落在
点 处，折痕为 ．
（1）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】[猜想] ；[应用]（1） ,理由见解析；（2）5
【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，
熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键．
【猜想】根据折叠的性质得到 ，根据矩形的性质推出 ，则
，根据等腰三角形的判定即可得解；
【应用】（1）根据折叠的性质得到 ，根据矩形的性质推出 ，则
，根据等腰三角形的判定即可得出 ，结合 即可得解；
（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出 ， ， ，设
，则 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：【猜想】 矩形纸片 沿 所在的直线折叠，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
．
故答案为： ；【应用】（1） ；理由如下：
由四边形 折叠得到四边形 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
即 ；
（2） 矩形 沿 所在直线折叠，
， ， ，
设 ，
，
在 中， ，
，
，
解得 ，
，
．
15．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）四边形 为矩形，G是 上的任意一点，
于点E．
(1)如图1，若 ， ，且交 于点F，求证： ；(2)如图2，在（1）的条件下，若 ，求 ；
(3)如图3，连 ，若 ， ， ，则 ．（直接写出结果）
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）利用 求得 ，再利用线段关系求出 ．
（2）延长 与 交于点F，设 先求出 ，再利用 及直角三角形斜边上的中点，
求出 ；
（3）过点C作 交 延长线于点F，证 ， ，在 中，求出 ，
即可求得 ．
【详解】（1）（1）证明：∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为正方形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：如图2，延长 与 交于点F，∵ ，设 ．则
在 中，
∴G为 的中点，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又 ，
在 中，C为斜边 的中点，
，
∴
（3）解：过点C作 交 延长线于点F，则
在矩形 中， ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又 ，
，
，
在 中， ，
【点睛】本题主要考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性
质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形相似求出线段的长
度．
