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专题 03 分式
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：分式的概念........................................................................................................................................2
考点二：分式的基本性质................................................................................................................................2
考点三：分式的运算........................................................................................................................................2
考点四：分式化简求值....................................................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：分式的相关概念................................................................................................................................3
题型一：分式的判断................................................................3
题型二：分式有无意义的条件求范围..................................................3
题型三：分式值范围的条件求范围....................................................4
题型四：约分与最简分式............................................................5
题型五：最简公分母................................................................5
考点二：分式的基本性质................................................................................................................................5
题型一：利用分式的基本性质进行变形................................................5
题型二：判断分式值的变化..........................................................6
题型三：分式符号法则将分式恒等变形................................................6
考点三：分式的运算........................................................................................................................................7
题型一：分式的加减法..............................................................7
题型二：分式的乘除法..............................................................7
题型三：分式的混合运算............................................................8
题型四：分式的化简求值............................................................9
题型五：零指数幂.................................................................10
题型六：分式运算的八种技巧.......................................................10
题型七：分式运算的实际应用.......................................................14
题型八：分式中的规律探究.........................................................15
题型九：分式运算新定义问题.......................................................16专题 03 分式
模块一：基础知识
考点一：分式的概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分
子，B叫做分母.
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
3.分式有意义的条件：B≠0；
4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
考点二：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，
用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
考点三：分式的运算
1.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫
做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
2.分式的乘除
a c a⋅c
⋅ =
①乘法法则：b d b⋅d 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
②除法法则：b d b c b⋅c 。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方： 。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂： 。
3.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。①同分母分式的加减： ；
②异分母分式的加法： 。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
考点四：分式化简求值
（1）有括号时先算括号内的；
（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除法运算
（4）约分；
（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，
最终化为最简分式；
（6）带入相应的数或式子求代数式的值
模块二：题型分类
考点一：分式的相关概念
题型一：分式的判断
2 1 2 2 1 x+1
1.代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．
5 π x2+4 3 x x+2
5个
a−b x+3 5+ y 1 n2+n 1 1
2.下列各式中： ， ， ， ， ， x+ 中，是分式的共有（ ）
2 x π m(x+ y) n 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
1 x 4 1 1 x 4
C．在代数式 ，2x， ，985， +2b， + y中， ， ， +2b是分式
a π a 3 a π a
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
题型二：分式有无意义的条件求范围
1
1.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
√x−2
A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2
2.若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
x−1 2x+1 2x−1 x+1
A． B． C． D．
2x+1 x+1 x−1 2x+1√x+5
3.若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
1
4.使式子 +√4−3x在实数范围内有意义的整数x有( )
√x+3
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
1
5.使分式 有意义的x的取值范围是 ．
x−5x
6.在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
5x+3
x
7.若代数式 无意义，则实数x的值是 ．
3−x
x2−1
8.要使分式 无意义，则x的取值范围是 ．
x+1
√x+1
9.函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A．x≠3 B．x≥3 C．x≥−1且x≠3 D．x≥−1
题型三：分式值范围的条件求范围
x−1
1.若分式 的值为0，则x的值是（ ）
3x+1
A．1 B．0 C．−1 D．−3
x2−x
2.分式 的值为0，则x的值是（ ）
x−1
A．0 B．−1 C．1 D．0或1
x−1
3.若分式 的值为0，则x的值是（ ）
3x+1
A．1 B．0 C．−1 D．−3
x2−x
4.分式 的值为0，则x的值是（ ）
x−1
A．0 B．−1 C．1 D．0或1
|m|−4
5.若分式 =0，则（ ）
m2−16
A．m=4 B．m=−4
|m|−4
C．m=±4 D．不存在m，使得 =0
m2−16
6.不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
1
A．x+1 B．x2−1 C． D．(x+1) 2
x+1
2−3x
7.若分式 的值是负数，则x的取值范围是（ ）
x2+1
3 2 3 2
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
2 3 2 3
x−3
8.分式 的值为负数的条件是（ ）
x3−2x2+xA．x<3 B．x>0且x≠1
C．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1
x+2
9.若分式 的值大于零，则x的取值范围是 ．
(x−1) 2
10.下列关于分式的判断，正确的是（ ）
x+1 3
A．当x=2时， 的值为零 B．当x为任意实数时， 的值总为正数
x−2 x2+1
3 x−3
C．无论x为何值， 不可能得整数值 D．当x≠3时， 有意义
x+1 x
题型四：约分与最简分式
a2−5a
1.计算： =（ ）A．a−5 B．a+5 C．5 D．a
a−5
2.下列计算错误的是（ ）
1 a2−1
A．|−2|=2 B．a2 ⋅a−3= C． =a+1 D．(a2) 3 =a3
a a−1
2x2+4x
3.如图，若x为正整数，则表示分式 的值落在（ ）
x2+3x+2
A．段①处 B．段②处 C．段③处 D．段④处
x2+2x+1
4.先化简，再求值： ，其中x=√2−1．
x+1
5.下列分式属于最简分式的是（ ）
6xy x−y x2+ y2 x2−9 y2
A． B． C． D．
5x2 y−x x+ y x+3 y
题型五：最简公分母
3 a−b
1.要把分式 与 通分，分式的最简公分母是（ ）
2a2b ab2c
A．2a2b2c B．2a3b3 C．2a3b3c D．6a3b3c
1 1 1 1
2.分式 , 的最简公分母是 ， + =
−a2+1 a2+a −a2+1 a2+a
考点二：分式的基本性质
题型一：利用分式的基本性质进行变形a a+a a a+1 a a−1 a a2
1.下列等式中正确的是（ ）A． = B． = C． = D． =
b b+b b b+1 b b−1 b b2
2.下列分式从左到右变形错误的是（ ）
c 1 3 3b 1 1 a2−4 a−2
A． = B． = C．− = D． =
5c 5 4a 4ab a−b b−a a2+4a+4 a+2题型二：判断分式值的变化
x+2y
1.如果把分式 中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（ ）
x
1
A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的
20
C．扩大到原来的2倍 D．不变
x2+ y2
2.如果将分式 中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
x+ y
A．扩大到原来的2倍 B．不变
1
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的 ．
4
2a
3.如果要使分式 的值保持不变，那么分式应（ ）
a−3b
A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍
4.若m，n的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）．
m+3 3m m+3 3
A． B． C． D．
n 2n n+3 m−n
题型三：分式符号法则将分式恒等变形
1.若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
1
a
a+2 a a−2 a a2 a 2 a
A． = B． = C． = D． =
b+2 b b−2 b b2 b 1 b
b
2
2.若 |a| 1 ，则 的取值范围是（ ）
= a
a−a2 a−1
A．a>0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0
3.若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．2+x B．2y C．2y3 D． 2y2
x−y x2 3x2 (x−y) 2
4.化简：a2−2a+1＝ ．
1−a2
−2a+b
5.不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ＝ ．
−a−3bn
6.若 =A(m≠n)，则A可以是（ ）
m
n−3 n+3 −n n2
A． B． C． D．
m−3 m+3 −m m2
−a
7.根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
a−b
a a a a
A． B． C． D．
a−b a+b −a−b b−a
考点三：分式的运算
题型一：分式的加减法
4
1.化简 +x−2的结果是（ ）
x+2
A．1 B． x2 C． x D． x2
x2−4 x+2 x+2
a+1 1
2.化简 − 结果正确的是（ ）
a a
1 1
A．1 B．a C． D．−
a a
1 2 1
3.计算 − 的结果等于（ ）A． B．x−1C． D．
x−1 x2−1 x+1
a
4.已知b>a>0，则分式 与 的大小关系是（ ）
b
a a+1
A． B． C． > D．不能确定
b b+1
2 2x
5.化简： − 的结果为 ．
1−x 1−x
6.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程
补充完整．
M 1
例 先化简，再求值： − ，其中
a+1 a2+a
a=100．
a2 1
解：原式= −
a(a+1) a(a+1)
……1 1 4
7.已知a>0，b>0，证明： + ≥ ．
a b a+b
A B 2x−6
8.已知 − = ，求A、B的值．
x−1 2−x (x−1)(x−2)
题型二：分式的乘除法
1.化简 的结果是（ ）
A．x y6 B．x y5 C．x2y5 D．x2y6
2.下列计算正确的是（ ）
1 2a 2 ( b ) 3 b3
A．a3+a3=a6 B．a÷b⋅ =a C． − = 2 D． =
b a−1 a−1 a2 a53.化简：( x+2 x−1 ) x−4 ．
− ÷ =
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
4.关于式子 x2−9 x ，下列说法正确（ ）
÷
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当0<x<3时，其值为正数 D．当x<0时，其值为负数
□ x
5.若 ÷ ，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
x+ y y2−x2
1
A．y－x B．y＋x C．2x D．
x
x2−9 x
6.关于式子 ÷ ，下列说法正确（ ）
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当0<x<3时，其值为正数 D．当x<0时，其值为负数
( 1 ) 2 9
7.计算 − m ⋅ 的结果是（ ）
3 m
A．m3 B．−m C． D．m
8.计算：
(1) ；
(2) ．
题型三：分式的混合运算
1 1 2
1.试卷上一个正确的式子（ + ）÷★＝ 被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的
a+b a−b a+b
代数式为( )
a a−b a
A． B． C． D．
a−b a a+b2.计算： ．
(4m+5
)
m+2
3.化简： +m−1 ÷ ．
m+1 m+1( x x ) x2−1
4.化简 + ⋅ ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
x+1 x−1 x
解：原式
[ x(x−1) x(x+1) ] x2−1
= + ⋅
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1) x
……
解：原式
x x2−1 x x2−1
= ⋅ + ⋅
x+1 x x−1 x
……
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2) 请选择一种解法，写出完整的解答过程．
题型四：分式的化简求值
1.已知x2−x−1=0，计算 的值是（ ）
A．1 B．−1 C．2 D．−2
1 2 ab−a
2.已知 + =1，且a≠−b，则 的值为 ．
a b a+b
3.先化简，再求值：a2−6a+9 ( 5 )，其中 是使不等式a−1 成立的正整数．
÷ a+2+ a ≤1
a−2 2−a 2
4.已知x−y ，求( 1 1 ) x 的值．
=2 + ÷
y x−y x+ y (x−y) 2
5.若 ，则代数式( 2ab−b2 ) a−b，的值为 ．
3ab−3b2−2=0 1− ÷
a2 a2b6..先化简，再求值： ，其中x=√2−1．2x+4 y
7.已知x+2y−1=0，求代数式 的值．
x2+4xy+4 y2
8.先化简 ，再从不等式 中选择一个适当的整数，代入求值．
a−4 ( a+2 a−1 )
9.先化简，再求值： ÷ − ，其中a满足 ．
a a2−2a a2−4a+4
题型五：零指数幂
1
1.(−2023) 0的值为（ ）A．0 B．1 C．-1 D．−
2023
2.比较大小：2−2 30．（选填＞，＝，＜）
3.计算：√9−(π−1) 0= ．
4.下列计算正确的是（ ）
a6
A． =a2 B．(a2) 3 =a5
a3
( 1) 0
C． D． − =1
3
5.计算结果等于2的是（ ）
A．|−2| B．−|2| C．2−1 D．(−2) 0
题型六：分式运算的八种技巧
技巧一 约分计算法
方法介绍：在先通分比较麻烦的情况下，我们可以先将分子、分母因式分解，因式分解后进行约分，最
后通分计算.
a−1 1
+
1.化简： ．
a2−1 a+1
2.下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．
x2−9 2x+1
−
x2+6x+9 2x+6(x+3)(x−3) 2x+1
= − 第一步
(x+3) 2 2(x+3)
x−3 2x+1
= − 第二步
x+3 2(x+3)
2(x−3) 2x+1
= − 第三步
2(x+3) 2(x+3)
2x−6−(2x+1)
= 第四步
2(x+3)
2x−6−2x+1
=
第五步
2(x+3)
5
=− 第六步
2x+6
(1)填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请直接写出该分式化简后的正确结果： ．
技巧二 整体通分法
方法介绍：可以通过加括号或化为分母为1的分数，将整数部分看成一个整体，再进行化简通分得出答
案.
4ab 4a2+b2
1.化简： + −2a+b．
2a+b 2a+b
x2
2.化简：x+1+ ．以下是小嘉同学的解答过程：
1−x
x+1+
x2
=(x+1)(x−1)− 你 x2认为他的解法是否正确？（ ）
1−x
若正确，请在括号内打“√”；
=x2−1−x2
若错误，请在括号内打“×”，并写出正确的解答过
=−1 程．
3.计算．
( 1 ) x
(1) 1− ÷ .
1−x x−1
(2) ．(a−b a+b) ( a2+b2 )
(3) − ÷ 1−
a+b a−b a2−2ab+b2
a2
(4) −a−1．
a−1
技巧三 换元通分法
方法介绍：在分式中有相同的复杂项时，可以通过换元的方法，使计算更加简单.注意，整理结束后要将
原式转换回来.
(3m−2n) 3 2n−3m
1.计算：(3m−2n)+ −(3m−2n) 2+ .
3m−2n+1 3m−2n−1
技巧四 顺次相加法
方法介绍：当分式项数过多、分母不同，不容易通分时.我们采用顺次相加的方法提高正确率.先把前两个
分式计算整理，将所得结果和第三个式子通分化简，最后再和第四个式子通分化简.
1 1 2 4
1.计算： − − − ．
x−1 x+1 x2+1 x4+1
1 1 2x 4x3
2.计算： + + + .
x−1 x+1 x2+1 x4+1
技巧五 裂项相消法
方法介绍：根据公式把每一项写成两个分式差的形式.分裂后各项相加减只剩下头和尾，即可求得结果.
1.观察下面的变形规律：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ， = − ， = − ……解答下面的问题：
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1
=
(1)若n为正整数，请你猜想 ___________．
n(n+1)
1 1 1
(2)若n为正整数，请你用所学的知识证明 − = ．
n n+1 n(n+1)
1 1 1 1
2.计算： ＋ ＋ ＋…＋ .技巧六 消元法
a(a+1) (a+1)(a+2) (a+2)(a+3) (a+99)(a+100)
方法介绍：用于分式中未知数过多的情况.通过各未知数之间的数量关系化简并达到消元的目的，将含未
知数的代数式代入所求式，化简约分，得到结果.
5x2+2y2−z2
1.已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求 的值．
2x2−3 y2−10z2
3x2+5 y2+6z2
2.已知xyz≠0，且满足 ，求 的值．
x2+2y2+8z2
技巧七 倒数求值法方法介绍：当分母的次数大于分子的次数时，可把分子分母颠倒.利用已知条件，将其分子分母颠倒得到
化简后的式子.整理并将式子代入所求分式的倒数，化简得出结果.注意: 结果要再次颠倒回来!
x x2
1.已知 ＝－1，求 的值．
x2−3x+1 x4−9x2+1
x 1 x2
=
2.【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知： ，求 的值．
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知x≠0，∴ =3，即x+ =3①
x2+1 3 x x
∴ x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=32−2=7②，故 x2 的值为 1 ．
x2 x2 x x4+1 7
（1）第①步由 x2+1 =3得到x+ 1 =3逆用了法则：______；第②步x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2运用了公式：
x x x2 x
______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
x x2
已知
=−1，求
的值；
x2−3x+1 x4−7x2+1
【拓展延伸】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
（3）已知 + = ， + = ， + = ，求 的值．
a b 6 b c 9 a c 15 ab+bc+ac
3.在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
1
例：已知：
，求代数式x2+
的值．
x2
解：∵ ，
∴ 即 ，
1
∴x+ =4，
x∴ ．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可
以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x=3 y=4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
k k k
解：令2x=3 y=4z=k(k≠0)则x= ，y= ，z= ，
2 3 4
1 1
k
x 2 2 6
∴ = = = ．
y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料解答问题：
x 1 1
(1)已知 = ，求x+ 的值；
x2−x+1 5 x
a b c
(2)已知 = = (abc≠0)，求 的值．
5 4 3
技巧八 整体代入法
方法介绍：根据已知条件，不需要将所有未知数都求出来，只需要得到我们所需要的整体结果.如例题
1
1 1 1
13：将3个已知式子整理得出 + + 的值.再把所求式子化简成含有1 1 1的式子，代入求值即可
a b c + +
a b c
得出结果.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
1.已知 + = ， + = ， + = ，求 的值．
a b 6 b c 9 a c 15 ab+bc+acabc
2.已知三个数a,b,c满足 ， ， ，则 的值是（ ）
ab+bc+ca
1 1 2 1
A． B． C． D．
9 6 15 20
题型七：分式运算的实际应用
a
1.a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是 (b>a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
2.福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为
1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为(a−1)米的正方形，两块
实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
3.小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张
则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次
加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y
元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
4.甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
1
（2）若甲从A地出发，先以 V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A
2
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为
100−ax
(100−ax)千米，乙距离终点为(100−bx)千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探
100−bx索a，b应满足的条件．题型八：分式中的规律探究
1.观察以下等式：
1 0 1 0
第1个等式： + + × =1，
1 2 1 2
1 1 1 1
第2个等式： + + × =1，
2 3 2 3
1 2 1 2
第3个等式： + + × =1，
3 4 3 4
1 3 1 3
第4个等式： + + × =1，
4 5 4 5
1 4 1 4
第5个等式： + + × =1，
5 6 5 6
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
2 3 10 15 26
2.观察下列各式：a = ,a = ,a = ,a = ,a = ,⋯， 根据其中的规律可得a = （用含
1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 n
n的式子表示）．
1
x 2 2 3 3 (1) 2 1
3.对于正数x，规定f (x)= ，例如：f (2)= = ，f (3)= = ，f = = ，
1+x 1+2 3 1+3 4 2 1 3
1+
2
1
(1) 3 1
f = = …利用以上的规律计算：
3 1 4
1+
3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) ．
f +f +f +⋯+f +f (1)+f (2)+⋯+f (2021)+f (2022)+f (2023)=
2023 2022 2021 2
4.观察下列各式：①12+22+32 ， ②22+32+52 ，
=2 =2
12+22+2 22+32+6
③32+42+72 ， ④42+52+92 ，
=2 =2
32+42+12 42+52+20
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.题型九：分式运算新定义问题
A
1.规定一种新的运算“❑ JX ”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．
x→+∞ B
A A
❑ JX =0；当A的次数等于B的次数时，❑ JX 的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数
x→+∞ B x→+∞ B
大于B的次数时， A不存在，例如： 2 ， x2+2 1，若
❑ JX ❑ JX =0 ❑ JX =
x→+∞ B x→+∞ x−1 x→+∞ 2x2+3x−1 2
A = ( 2− 3 ) ÷ 4x2−10x，则 ❑ JX A的值为 ．
B x−1 x2−1 x→+∞ B
|a b| a b | x −1|
2.对于代数式a，b，c，d规定一种运算： = − ，按照此规定， 化简的结果为
c d d c x+1 x+1
（ ）
x+1 x+1
A．x2 B． C． D．1
x x−1
3.定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
4.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分
x+1 x−1+2 x−1 2 2 2x−3 2x+2−5 2x+2 −5 −5
式”．如： = = + =1+ ， = = + =2+ ，
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
x+1 2x−3
则 和 都是“和谐分式”．
x−1 x+1
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；①x+1 ②2+x ③x+2 ④y2+1
x 2 x+1 y2
a2−2a+3 a2−2a+3
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =
a−1 a−1
_____________+________________；
(3)应用：先化简3x+6 x−1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x+1 x x2+2x
