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专题 03 分式
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：分式的概念........................................................................................................................................2
考点二：分式的基本性质................................................................................................................................2
考点三：分式的运算........................................................................................................................................2
考点四：分式化简求值....................................................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：分式的相关概念................................................................................................................................3
题型一：分式的判断................................................................3
题型二：分式有无意义的条件求范围..................................................3
题型三：分式值范围的条件求范围....................................................4
题型四：约分与最简分式............................................................5
题型五：最简公分母................................................................5
考点二：分式的基本性质................................................................................................................................5
题型一：利用分式的基本性质进行变形................................................5
题型二：判断分式值的变化..........................................................6
题型三：分式符号法则将分式恒等变形................................................6
考点三：分式的运算........................................................................................................................................7
题型一：分式的加减法..............................................................7
题型二：分式的乘除法..............................................................7
题型三：分式的混合运算............................................................8
题型四：分式的化简求值............................................................9
题型五：零指数幂.................................................................10
题型六：分式运算的八种技巧.......................................................10
题型七：分式运算的实际应用.......................................................14
题型八：分式中的规律探究.........................................................15
题型九：分式运算新定义问题.......................................................16专题 03 分式
模块一：基础知识
考点一：分式的概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分
子，B叫做分母.
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
3.分式有意义的条件：B≠0；
4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
考点二：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，
用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
考点三：分式的运算
1.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫
做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
2.分式的乘除
a c a⋅c
⋅ =
①乘法法则：b d b⋅d 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
②除法法则：b d b c b⋅c 。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方： 。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂： 。
3.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。①同分母分式的加减： ；
②异分母分式的加法： 。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
考点四：分式化简求值
（1）有括号时先算括号内的；
（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除法运算
（4）约分；
（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，
最终化为最简分式；
（6）带入相应的数或式子求代数式的值
模块二：题型分类
考点一：分式的相关概念
题型一：分式的判断
2 1 2 2 1 x+1
1.代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．
5 π x2+4 3 x x+2
5个
a−b x+3 5+ y 1 n2+n 1 1
2.下列各式中： ， ， ， ， ， x+ 中，是分式的共有（ ）
2 x π m(x+ y) n 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
1 x 4 1 1 x 4
C．在代数式 ，2x， ，985， +2b， + y中， ， ， +2b是分式
a π a 3 a π a
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
题型二：分式有无意义的条件求范围
1
1.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
√x−2
A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2
2.若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
x−1 2x+1 2x−1 x+1
A． B． C． D．
2x+1 x+1 x−1 2x+1√x+5
3.若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
1
4.使式子 +√4−3x在实数范围内有意义的整数x有( )
√x+3
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
1
5.使分式 有意义的x的取值范围是 ．
x−5x
6.在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
5x+3
x
7.若代数式 无意义，则实数x的值是 ．
3−x
x2−1
8.要使分式 无意义，则x的取值范围是 ．
x+1
√x+1
9.函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A．x≠3 B．x≥3 C．x≥−1且x≠3 D．x≥−1
题型三：分式值范围的条件求范围
x−1
1.若分式 的值为0，则x的值是（ ）
3x+1
A．1 B．0 C．−1 D．−3
x2−x
2.分式 的值为0，则x的值是（ ）
x−1
A．0 B．−1 C．1 D．0或1
x−1
3.若分式 的值为0，则x的值是（ ）
3x+1
A．1 B．0 C．−1 D．−3
x2−x
4.分式 的值为0，则x的值是（ ）
x−1
A．0 B．−1 C．1 D．0或1
|m|−4
5.若分式 =0，则（ ）
m2−16
A．m=4 B．m=−4
|m|−4
C．m=±4 D．不存在m，使得 =0
m2−16
6.不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
1
A．x+1 B．x2−1 C． D．(x+1) 2
x+1
2−3x
7.若分式 的值是负数，则x的取值范围是（ ）
x2+1
3 2 3 2
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
2 3 2 3
x−3
8.分式 的值为负数的条件是（ ）
x3−2x2+xA．x<3 B．x>0且x≠1
C．x<1且x≠0 D．00且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0
3.若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．2+x B．2y C．2y3 D． 2y2
x−y x2 3x2 (x−y) 2
4.化简：a2−2a+1＝ ．
1−a2
−2a+b
5.不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ＝ ．
−a−3bn
6.若 =A(m≠n)，则A可以是（ ）
m
n−3 n+3 −n n2
A． B． C． D．
m−3 m+3 −m m2
−a
7.根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
a−b
a a a a
A． B． C． D．
a−b a+b −a−b b−a
考点三：分式的运算
题型一：分式的加减法
4
1.化简 +x−2的结果是（ ）
x+2
A．1 B． x2 C． x D． x2
x2−4 x+2 x+2
a+1 1
2.化简 − 结果正确的是（ ）
a a
1 1
A．1 B．a C． D．−
a a
1 2 1
3.计算 − 的结果等于（ ）A． B．x−1C． D．
x−1 x2−1 x+1
a
4.已知b>a>0，则分式 与 的大小关系是（ ）
b
a a+1
A． B． C． > D．不能确定
b b+1
2 2x
5.化简： − 的结果为 ．
1−x 1−x
6.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程
补充完整．
M 1
例 先化简，再求值： − ，其中
a+1 a2+a
a=100．
a2 1
解：原式= −
a(a+1) a(a+1)
……1 1 4
7.已知a>0，b>0，证明： + ≥ ．
a b a+b
A B 2x−6
8.已知 − = ，求A、B的值．
x−1 2−x (x−1)(x−2)
题型二：分式的乘除法
1.化简 的结果是（ ）
A．x y6 B．x y5 C．x2y5 D．x2y6
2.下列计算正确的是（ ）
1 2a 2 ( b ) 3 b3
A．a3+a3=a6 B．a÷b⋅ =a C． − = 2 D． =
b a−1 a−1 a2 a53.化简：( x+2 x−1 ) x−4 ．
− ÷ =
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
4.关于式子 x2−9 x ，下列说法正确（ ）
÷
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当0a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
2.福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为
1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为(a−1)米的正方形，两块
实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
3.小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张
则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次
加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y
元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
4.甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
1
（2）若甲从A地出发，先以 V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A
2
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为
100−ax
(100−ax)千米，乙距离终点为(100−bx)千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探
100−bx索a，b应满足的条件．题型八：分式中的规律探究
1.观察以下等式：
1 0 1 0
第1个等式： + + × =1，
1 2 1 2
1 1 1 1
第2个等式： + + × =1，
2 3 2 3
1 2 1 2
第3个等式： + + × =1，
3 4 3 4
1 3 1 3
第4个等式： + + × =1，
4 5 4 5
1 4 1 4
第5个等式： + + × =1，
5 6 5 6
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
2 3 10 15 26
2.观察下列各式：a = ,a = ,a = ,a = ,a = ,⋯， 根据其中的规律可得a = （用含
1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 n
n的式子表示）．
1
x 2 2 3 3 (1) 2 1
3.对于正数x，规定f (x)= ，例如：f (2)= = ，f (3)= = ，f = = ，
1+x 1+2 3 1+3 4 2 1 3
1+
2
1
(1) 3 1
f = = …利用以上的规律计算：
3 1 4
1+
3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) ．
f +f +f +⋯+f +f (1)+f (2)+⋯+f (2021)+f (2022)+f (2023)=
2023 2022 2021 2
4.观察下列各式：①12+22+32 ， ②22+32+52 ，
=2 =2
12+22+2 22+32+6
③32+42+72 ， ④42+52+92 ，
=2 =2
32+42+12 42+52+20
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.题型九：分式运算新定义问题
A
1.规定一种新的运算“❑ JX ”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．
x→+∞ B
A A
❑ JX =0；当A的次数等于B的次数时，❑ JX 的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数
x→+∞ B x→+∞ B
大于B的次数时， A不存在，例如： 2 ， x2+2 1，若
❑ JX ❑ JX =0 ❑ JX =
x→+∞ B x→+∞ x−1 x→+∞ 2x2+3x−1 2
A = ( 2− 3 ) ÷ 4x2−10x，则 ❑ JX A的值为 ．
B x−1 x2−1 x→+∞ B
|a b| a b | x −1|
2.对于代数式a，b，c，d规定一种运算： = − ，按照此规定， 化简的结果为
c d d c x+1 x+1
（ ）
x+1 x+1
A．x2 B． C． D．1
x x−1
3.定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
4.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分
x+1 x−1+2 x−1 2 2 2x−3 2x+2−5 2x+2 −5 −5
式”．如： = = + =1+ ， = = + =2+ ，
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
x+1 2x−3
则 和 都是“和谐分式”．
x−1 x+1
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；①x+1 ②2+x ③x+2 ④y2+1
x 2 x+1 y2
a2−2a+3 a2−2a+3
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =
a−1 a−1
_____________+________________；
(3)应用：先化简3x+6 x−1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x+1 x x2+2x
