文档内容
专题 06 分式方程
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：分式方程的概念................................................................................................................................2
考点二：分式方程的实际应用........................................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：解分式方程........................................................................................................................................3
题型一：解分式方程【常规方法】....................................................3
题型二：解分式方程【特殊方法】....................................................7
题型三：错看或错解分式方程问题...................................................14
题型四：新定义解分式方程.........................................................16
题型五：利用分式方程的解求参数...................................................18
题型六：根据分式方程有解或无解求参数.............................................22
题型七：已知分式方程有增根求参数.................................................24
题型八：已知分式方程有整数解求参数...............................................26
考点二：分式方程的应用..............................................................................................................................30
题型一：由实际问题抽象出分式方程.................................................30
题型二：利用分式方程解决实际问题.................................................34专题 06 分式方程
模块一：基础知识
考点一：分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
考点二：分式方程的实际应用
1.用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
2.与分式方程有关应用题的常见类型：常见题型 常见数量关系及公式 等量关系 补充
工作总量=工作时间×工作效率 多个工作效率不同的对象
在工程问题中，一般将工
工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率 所完成的工作量的和等于
作总量看作单位1.
工作效率=工作总量÷工作时间 工作总量
利润=售价-进价（成本）
商品打几折就是按照原价
利润问题 总利润=单件利润×销售量 由题可知
的百分之几出售
利润率=利润÷成本价×100%
较大量=较小量+多余量
和差倍分问题 由题可知 弄清和、差、倍、分关系
总量=倍数×一份量
全路程=甲走的路程+乙走 相向而行，注意出发时间
相遇问题
的路程 、地点
路程=速度×时间
追及问题 前者走的路程=追者走的路
速度=路程÷时间
（同地不同时出发） 时间=路程÷速度 程 同向而行，注意出发时间
行程问题 追及问题 前者走的路程+两地间距离、地点
（同时不同地出发） =追者走的路程
顺水速度=静水速度+水流速度 注意两地距离，静水速度
航行问题 路程=速度×时间
逆水速度=静水速度-水流速度 不变
模块二：题型分类
考点一：解分式方程
题型一：解分式方程【常规方法】
1.解方程： ＝ ．
【答案】x＝2．
【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，
去括号得：x2﹣x＝2，
移项得：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
将x＝2代入原方程，原方程左右相等，
∴x＝2是原方程的解．
将x＝﹣1代入，使分母为0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝2
2.解方程： ＝ ．
【答案】x＝4．
【解答】解： ＝ ，
方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：
2x+1＝3（x﹣1），解这个整式方程得：
x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝4是原方程的解．
3.解方程： ﹣ ＝0．
【答案】x＝7．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：
4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．
去括号得：
4x﹣4﹣3x﹣3＝0，
移项，合并同类项得：
x＝7．
检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的根．
∴x＝7．
1 3x
4.将方程 +3= 去分母，两边同乘(x−1)后的式子为（ ）
x−1 1−x
A．1+3=3x(1−x)B．1+3(x−1)=−3x
C．x−1+3=−3x D．1+3(x−1)=3x
【答案】B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
1 3x
【详解】解： +3= ，
x−1 1−x
两边同乘(x−1)去分母，得1+3(x−1)=−3x，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
2 1 1
5.关于x的分式方程 − = 的解是 ．
x−1 x+1 1−x
【答案】x=−2
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
2 1 1
【详解】解： − =
x−1 x+1 1−x两边乘(x+1)(x−1)得到，2x+2−(x−1)=−(x+1)，
解得x=−2，
检验：把x=−2代入(x+1)(x−1)得：(−2+1)×(−2−1)=3≠0，
∴x=−2是原方程的解．
故答案为：x=−2．
【点睛】此题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
1 x+6
6.方程 + =1的解为 ．
x+2 x2−4
【答案】x=4
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x的值．
1 x+6
【详解】解：∵ + =1，
x+2 x2−4
方程两边同时乘以(x+2)(x−2)得，x−2+x+6=(x+2)(x−2)，
∴2x+4=x2−4，
∴x2−2x−8=0，
∴(x−4)(x+2)=0，
∴x=4或x=−2．
经检验x=−2时，x2−4=0，故舍去．
∴原方程的解为：x=4．
故答案为：x=4．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
x 3
7.解分式方程： −1= ．
x+1 x−1
1
【答案】−
2
【分析】方程两边同时乘以(x+1)(x−1)，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
x 3
【详解】 −1=
x+1 x−1
x 3
(x+1)(x−1) −1×(x+1)(x−1)= (x+1)(x−1)
x+1 x−1
(x−1)x−(x+1)(x−1)=3(x+1)
x2−x−x2+1=3x+3
−4x=2
1
x=− ，
21
经检验，x=− 是原方程的根，
2
1
故原方程的解为：x=− ．
2
【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方
程时，要将所求的解代入原方程进行检验．
4 3
8.解方程： − =0．
x2+x x2−x
【答案】x=7
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘x(x+1)(x−1)，得4(x−1)−3(x+1)=0，
解得x=7，
检验：当x=7时，x(x+1)(x−1)≠0，
所以，原分式方程的解为x=7．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．
3 2
9.代数式 与代数式 的值相等，则x＝ ．
x+2 x−1
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
3 2
【详解】解：∵代数式 与代数式 的值相等，
x+2 x−1
3 2
∴ = ，
x+2 x−1
去分母
3(x−1)=2(x+2)，
去括号号
3x−3=2x+4，
解得x=7，
检验：当x=7时，(x+2)(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2 1 5
10.方程 + = 的解为 ．
x x(x−2) 2x
【答案】x=4【分析】根据方程两边同时乘以2x(x−2)，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以2x(x−2)，
2×2(x−2)+2=5×(x−2)
4x−8+2=5x−10
解得x=4
经检验，x=4是原方程的解
故答案为：x=4
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．
x x−3
11.小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁：
小迪：
解：去分母，得
解：去分母，得x+(x−3)=1
x−(x−3)=x−2
去括号得x+x−3=1
去括号，得x−x+3=x−2
合并同类项得2x−3=1
合并同类项，得3=x−2
解得x=2
解得x=5
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
∴原方程的解是x=5
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你
的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得x+(x−3)=x−2，
去括号，得2x−3=x−2，
解得，x=1，
经检验：x=1是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
题型二：解分式方程【特殊方法】
题组一：消元法
方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与
一次项分别相同时,可考虑用换元法.
1.在分式方程 中，设 ，可得到关于y的整式方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则原方程可变形为 ，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设 ，则原方程可变形为 ，
即 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
x+1 2x−1
2.用换元法解： − =0．
2x−1 x+1
【答案】答案见解析．
x+1 1
【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y= ，原方程化为y− =0，按照解分式方程的方
2x−1 y
法，可求得y的值，进而求得x的值．
x+1 1
【详解】解：设y= ，则原方程化为y− =0．
2x−1 y
方程两边同时乘y，得
y2−1=0，
解得y=±1．
1
经检验：y=±1都是y− =0的解．
y
当y=1时，
x+1
=1，
2x−1
解得x=2．
当y=−1时，
x+1
=−1，
2x−1
解得x=0．
经检验：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=2和x=0．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
x 2x2−2 3 x
3.用换元法解分式方程 + = 时，若设 = y，则原方程可以化为整式方程
x2−1 x 5 x2−1
.
【答案】5 y2−3 y+10=0
x
【分析】将 = y代入到原方程中，再进行整理即可．
x2−1
x
【详解】解：设 = y，
x2−1
x 2x2−2 3 2 3
则方程 + = 可以化为y+ = ，
x2−1 x 5 y 5
整理得：5 y2−3 y+10=0，
故答案为：5 y2−3 y+10=0．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
4.阅读与思考
阅读下面的材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程可化为y− =0，方程两边同时乘y得y2−4=0，
x y
解得y=±2，
4 x−1
经检验：y=±2都是方程y− =0的解，∴当y=2时， =2，解得x=−1，
y x
x−1 1 1
当y=−2时， =−2，解得x= ，经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的
x 3 3
解，
1
∴原分式方程的解为x=−1或x= ．上述这种解分式方程的方法称为“换元
3
法”．
问题：
x−1 x x−1
(1)若在方程中 − =0，设y= ，则原方程可化为________________．
2x x−1 x
x−1 27
(2)模仿上述换元法解方程： − −9=0．
x+2 x−1
1 1
【答案】(1) y− =0
2 y7 5
(2)x=− 或x=−
2 4
x−1 x−1 1 x 1
【分析】（1）设y= ，则 = y, = ，据此求解即可；
x 2x 2 x−1 y
x−1 9(x+2)
（2）先把方程变形为 − =0，再用换元法求解即可．
x+2 x−1
x−1 1 1
【详解】（1）解：设y= ，原方程可化为 y− =0，
x 2 y
1 1
故答案为： y− =0
2 y
x−1 27 x−1 27 x−1 9(x+2)
（2）解：∵ − −9= −( +9)= − ，
x+2 x−1 x+2 x−1 x+2 x−1
x−1 9(x+2)
∴原方程为 − =0。
x+2 x−1
x−1 9
设y= ，原方程可化为y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘以y，得y 2−9=0，
❑
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
x−1 7
当y=3时，有 =3，解得：x=− ，
x+2 2
x−1 5
当y=−3时，有 =−3，解得：x=− ，
x+2 4
7 5
经检验：x=− 或x=− 都是原分式方程的解，
2 4
7 5
∴原分式方程的解为x=− 或x=− ．
2 4
【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法．
题组二：分组通分法
方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
3 4 1 2
1.解方程： − = −
x−2 x−1 x−4 x−3
【详解】解:原方程可变形为，
5−x 5−x
=
（x−2）（x−1） （x−4）（x−3）
5
当5-x≠0时，（x−2）（x−1）=（x−4）（x−3）解得x1=
2当5-x=0时，解得x2=5
5
经检验，x1= ，x2=5都是原方程得解.
2
题组三：分离分式法
方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解
x+5 x+2 x+3 x+4
1.解方程： + = +
x+4 x+1 x+2 x+3
5
【答案】x=− .
2
1 1 1 1
【分析】先将原方程变形1+ +1+ =1+ +1+ ，再进一步化简转化为整式方程求解即
x+4 x+1 x+2 x+3
可.
【详解】解:原方程可变形为，
1 1 1 1
1+ +1+ =1+ +1+ ，
x+4 x+1 x+2 x+3
1 1 1 1
化简得， + = + ，
x+4 x+1 x+2 x+3
2x+5 2x+5
=
即 ，
(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)
∴2x+5=0，
5
解得，x=− ,
2
5
检验，把x=− 代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，
2
5
∴原方程的解为x=− .
2
【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.
题组四：裂项相消法
1 1 1
方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“ = − ”化积为差，裂项相消，简化难
n(n+1) n n+1
度.
1 1 1 1 1 1 1 1
1.因为 =1− , = − ,…, = − ，
1×2 2 2×3 2 3 19×20 19 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 19
所以 + +…+ =1− + − +…+ − =1− = ．解答下列问题：
1×2 2×3 19×20 2 2 3 19 20 20 201 1 1
(1)在和式 + + +…中，第九项是______________；第n项是______________．
1×2 2×3 3×4
1 1 1 1
(2)解方程： + +…+ = ．
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+2001)(x+2002) x+2002
1 1
【答案】(1) ，
9×10 n(n+1)
(2)x=2000
【分析】（1）根据已知式子的规律，即可求解；
1 1 1
（2）根据（1）的规律化简方程为 − = ，解分式方程，即可求解．
x+1 x+2002 x+2002
1 1 1 1 1
【详解】（1）解：依题意，在和式 + + +…中，第九项是 ；第n项是 ；
1×2 2×3 3×4 9×10 n(n+1)
1 1
故答案为 ; ．
9×10 n(n+1)
1 1 1
（2）原方程可化简为： − =
x+1 x+2002 x+2002
方程两边同时乘(x+1)(x+2002)，得：x+2002−(x+1)=x+1，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解．
【点睛】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键．
1 1 1
2.我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 = − ，
6 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ； = − ， = − ，……，请用观察到的规律解方程
12 3 4 20 4 5 6 2 3
2 2 2 5
+ +⋅⋅⋅+ =
，该方程解是多少？
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+9)(x+10) x+10
【答案】x=4
【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可．
2 2 2 5
【详解】解：
+ +⋅⋅⋅+ =
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+9)(x+10) x+10
2 2 2 2 2 2 5
原方程化简为： − + − +…+ − = ，
x x+1 x+1 x+2 x+9 x+10 x+10
2 2 5
即 − = ，
x x+10 x+10
方程两边同乘x(x+10)，得：5x=20，
解得x=4．
经检验x=4是原方程的解，
∴原方程的解为x=4．
3.探索研究：
请观察：
1 1 1 1
① = = − ；
x2+3x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2
1 1 1 1
② = = − ；
x2+5x+6 (x+2)(x+3) x+2 x+3
1 1 1 1
③ = = − ；
x2+7x+12 (x+3)(x+4) x+3 x+4
1 1 1 1
④ = = − ；
x2+9x+20 (x+4)(x+5) x+4 x+5
……
(1)请写出第n个等式；
1 1 1 1 1 1
(2)解方程： + + + +⋯+ = ；
x2+x x2+3x+2 x2+5x+6 x2+7x+12 x2+15x+56 x+8
1 1 1 1 1
(3)当m为正整数时， + + + +⋯+ = ．
2 6 12 20 m2+17m+72
1 1 1 1
【答案】(1) = = −
x2+(2n+1)x+n(n+1) (x+n)(x+n+1) x+n x+n+1
(2)x=8
m+8
(3)
m+9
【分析】（1）根据所给4个等式总结规律写出第n个等式即可；
（2）由（1）所得规律解该分式方程即可，注意验算；
（3）由（1）所得规律变形计算即可．
1 1 1 1
【详解】（1）解：∵① = = − ；
x2+(2×1+1)x+1×(1+1) (x+1)(x+1+1) x+1 x+1+1
1 1 1 1
② = = − ；
x2+(2×2+1)x+2×(2+1) (x+2)(x+2+1) x+2 x+2+1
1 1 1 1
③ = = − ；
x2+(2×3+1)x+3×(3+1) (x+3)(x+3+1) x+3 x+3+1
1 1 1 1
④ = = − ；
x2+(2×4+1)x+4×(4+1) (x+4)(x+4+1) x+4 x+4+1
…，1 1 1 1
∴第n个等式为： = = − ；
x2+(2n+1)x+n(n+1) (x+n)(x+n+1) x+n x+n+1
1 1 1 1 1 1
（2）解： + + + +⋯+ = ，
x2+x x2+3x+2 x2+5x+6 x2+7x+12 x2+15x+56 x+8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − + − +⋯+ − = ，
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 x+3 x+4 x+7 x+8 x+8
1 1 1
− = ，
x x+8 x+8
1 2
= ，
x x+8
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解；
1 1 1 1 1
（3）解： + + + +⋯+
2 6 12 20 m2+17m+72
1 1 1 1 1
= + + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 4×5 (m+8)(m+9)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 4 5 m+8 m+9
1
=1−
m+9
m+8
= ．
m+9
m+8
故答案为： ．
m+9
【点睛】本题考查分式运算中的规律性问题，解分式方程．理解题意，找出所给等式中的规律，并能用
此规律计算是解题关键．
4.探索发现：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ; = − ; = − ……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
根据你发现的规律，回答下列问题：
1 1
（1） ＝ ， ＝ ；
4×5 n×(n+1)
1 1 1 1
（2）利用你发现的规律计算： ⋅+ + +⋯⋯+
1×2 2×3 3×4 n×(n+1)
（3）利用规律解方程：
1 1 1 1 1 2x−1
+ + + + =
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5) x(x+5)1 1 1 1 n
【答案】（1） − , − ；（2） ；（3）见解析．
4 5 n n+1 n+1
1
【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到 和
4×5
1
n×(n+1)
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得
它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
1 1 1 1 1 1
【详解】解：（1） = − ， = − ；
4×5 4 5 n(n+1) n n+1
1 1 1 1
故答案为 − , −
4 5 n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 n
（2）原式＝1− + − + − +⋯+ − =1− = ;
2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1
1 1 1 1 1 1 2x−1
（3）已知等式整理得： − + − +⋯+ − =
x x+1 x+1 x+2 x+4 x+5 x(x+5)
1 1 2x−1
所以，原方程即： − = ，
x x+5 x(x+5)
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
题型三：错看或错解分式方程问题
? 1
1.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： +3= .
x−2 2−x
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方
程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】（1）方程两边同时乘以(x−2)得
5+3(x−2)=−1解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解.
（2）设？为m，
方程两边同时乘以(x−2)得
m+3(x−2)=−1
由于x=2是原分式方程的增根，
所以把x=2代入上面的等式得
m+3(2−2)=−1
m=−1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方
程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程
即可求得相关字母的值．
1 2x
2.小明解分式方程 = −1的过程下．
x+1 3x+3
解：去分母，得 3=2x−(3x+3)．①
去括号，得 3=2x−3x+3．②
移项、合并同类项，得 −x=6．③
化系数为1，得 x=−6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．
1 2x
【详解】解： = −1，
x+1 3x+3
去分母，得 3=2x−(3x+3)，
去括号，得 3=2x−3x−3，
移项，得−2x+3x=−3−3，
合并同类项，得 x=−6，
∴以上步骤中，开始出错的一步是②．
故选：B
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．3.如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ．
3−x
先化简，再求值： +1，其中x=
x−4
3−x
解：原式= ⋅(x−4)+(x−4)
x−4
=3−x+x−4
=−1
【答案】5
3−x
【分析】根据题意得到方程 +1=−1，解方程即可求解．
x−4
3−x 3−x
【详解】解：依题意得： +1=−1，即 +2=0，
x−4 x−4
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
题型四：新定义解分式方程
1 1 2x+1
1.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= + ．若(x+1)⊗x= ，则x的值为
a b x
．
1
【答案】− /−0.5
2
2x+1 2x+1 2x+1
【分析】根据新定义可得(x+1)⊗x=
，由此建立方程
=
解方程即可．
x2+x x2+x x
1 1
【详解】解：∵a⊗b= + ，
a b
1 1 x+1+x 2x+1
∴(x+1)⊗x= + = =
，
x+1 x x(x+1) x2+x
2x+1
又∵(x+1)⊗x= ，
x
2x+1 2x+1
=
∴ ，
x2+x x
∴(x2+x)(2x+1)−x(2x+1)=0，∴(x2+x−x)(2x+1)=0，
∴x2(2x+1)=0，
2x+1
∵(x+1)⊗x= 即x≠0，
x
∴2x+1=0，
1
解得x=− ，
2
1 2x+1 2x+1
经检验x=− 是方程 = 的解，
2 x2+x x
1
故答案为：− ．
2
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关
键．
1 1
2.对于非零实数a，b，规定a⊕b＝ − ，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
a b
5
【答案】
6
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
1 1
− ＝1，
2x−1 2
等式两边同时乘以2(2x−1)得，
2−2x+1=2(2x−1)，
5
解得：x＝ ，
6
5
经检验，x＝ 是原方程的根，
6
5
∴x＝ ，
6
5
故答案为： ．
6
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．1 1 4 3
3.定义运算m※n=1+ ，如：1※2=1+ = ．则方程x※(x+1)= 的解为（ ）
m+n 1+2 3 2
1 1
A．x=1 B．x=−1 C．x=− D．x=
2 2
【答案】D
1 3
【分析】根据新定义得出方程1+ = ，再解分式方程，求出其解即可．
x+x+1 2
【详解】解：由题意，得
1 3
1+ = ，
x+x+1 2
1 1
∴ = ，
2x+1 2
1
解得：x= ，
2
1
经检验，x= 是方程的根，
2
故选：D．
【点睛】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键．
1
4.对于实数a和b，定义一种新运算“”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算，例如：
a−b2
1 1 2
1⊗3= =− ，则方程x⊗2= −1的解是（ ）
1−32 8 x−4
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
【答案】B
2
【分析】根据题目中定义的新运算，将x⊗2= −1转换为分式方程，求解即可．
x−4
2
【详解】解：根据题意∵x⊗2= −1，
x−4
1 2
即 = −1，
x−22 x−4
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
将x=5代入公分母x−4≠0，
∴x=5是原分式方程的解，
故选：B．
【点睛】本题考查了定义新运算以及解分式方程，理解题意，熟练掌握解分式方程的一般步骤是本题的关键．
题型五：利用分式方程的解求参数
1.已知关于x的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】解分式方程求出 ，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解
即可．
【详解】解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是非负数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
3x m
2.若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
x−2 2−x
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得3x=−m+5(x−2)，
m+10
解得x= ，
2
由方程的解为正数，得到m+10>0，且x≠2，m+10≠4，
则m的范围为m>−10且m≠−6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考
虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
3.若方程 的解使关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围是________．【答案】
【分析】先解分式方程得 ，再把 代入不等式计算即可．
【详解】
去分母得： 解得：
经检验， 是分式方程的解
把 代入不等式 得：
解得 故答案为：
【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．
m 3
4.已知关于x的分式方程 +2=− 的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
x−1 1−x
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即
可解题．
【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，
5−m
移项、合并，解得：x= ，
2
∵分式方程的解为非负数，
5−m 5−m
∴ ≥0且 ≠1，
2 2
解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数
∴m=1，2，4，5，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
5.若关于x的分式方程 有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到 ，即可求得整数m的值．【解析】解： ，两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，移项得： ，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则 或 ，
当 时， 是原分式方程的解；当 时， 是原分式方程的解；故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
1 a−2
6.关于x的分式方程 + =1的解为正数，则a的取值范围是 ．
x−2 2−x
【答案】a<5且a≠3
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的
条件分析得出答案．
【详解】去分母得：1−a+2=x−2，
解得：x=5−a，
5−a>0，
解得：a<5，
当x=5−a=2时，a=3不合题意，
故a<5且a≠3．
故答案为a<5且a≠3．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
2x−m 3
7.已知关于x的分式方程 − =1的解是正数，则m的取值范围是 ．
x−1 1−x
【答案】m>4且m≠5
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据解为正数，求出m的范围即
可．
【详解】解：去分母得：2x−m+3=x−1，
解得：x=m−4，
∵该方程的解是正数
∴m−4>0，解得m>4，
又∵当m=5时，该分式方程的左边两项分母为0，
∴m≠5，
故答案为：m>4且m≠5．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解
题的关键．
8.关于x的方程 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【解析】解：分式方程去分母得： ，解得： ，
根据题意得： ，且 ，解得： ，且 ．故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
x+1 x a
9.要使关于x的方程 − = 的解是正数，a的取值范围是 ．.
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
【答案】a<−1且a≠-3.
【详解】分析：解分式方程，用含a的式子表示x，由x＞0，求出a的范围，排除使分母为0的a的值.
x＋1 x a
详解： − ＝ ，
x＋2 x−1 (x＋2)(x−1)
去分母得，(x＋1)(x－1)－x(x＋2)＝a，
去括号得，x2－1－x2－2x＝a，
移项合并同类项得，－2x＝a＋1，
−a−1
系数化为1得，x＝ .
2
−a−1
根据题意得， ＞0，解得a＜－1.
2
当x＝1时，－2×1＝a＋1，解得a＝－3；
当x＝－2时，－2×(－2)＝a＋1，解得a＝3.所以a的取值范围是a＜－1且a≠－3.
故答案为a＜－1且a≠－3.
题型六：根据分式方程有解或无解求参数
1.关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：
﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
2 m
2.若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m−4=0时，当m−4≠0时，
x=0或2x+1=0，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，
整理得(m−4)x=2，
∵原方程无解，
∴当m−4=0时，m=4；
2
当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，此时，x= ，
m−4
1
解得x=0或x=− ，
2
2
当x=0时，x= =0无解；
m−4
1 2 1
当x=− 时，x= =− ，解得m=0；
2 m−4 2
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和
化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
3.若关于x的方程 无解，则m的值为__．【答案】-1或5或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【解析】去分母得： ，可得： ，
当 时，一元一次方程无解，此时 ，当 时，则 ，
解得： 或 .故答案为： 或 或 .
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
k 3
4.已知关于x的分式方程 － ＝1无解，则k＝（ ）
x−2 2−x
A．－3 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】先化成整式方程，把x=2代入整式方程，确定k值即可．
k 3
【详解】∵ － ＝1，
x−2 2−x
∴k+3=x-2，
k 3
∵关于x的分式方程 － ＝1无解，
x−2 2−x
∴x-2=0，
∴k= -3，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的无解，熟练掌握分式方程的无解的意义是解题的关键．
a a−x
5.已知关于x的分式方程 − =1无解，则a的值为 ．
2x+3 x−5
【答案】10或0或5
【分析】分原方程分母为零和方程的解的分母为零两种情况分别求解即可．
a a−x 8a−15
【详解】解：解方程 − =1得，x= ，
2x+3 x−5 10−a
若方程无解，则10−a=0，
∴a=10，当2x+3=0或x−5=0时，方程无解，
3
即x=− 或x=5时，
2
8a−15 3
当 =− 时，a=0，
10−a 2
8a−15
当 =5时，a=5，
10−a
综上，a的值为10或0或5．
【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
题型七：已知分式方程有增根求参数
1.关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解析】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把
增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
m+4 3x
2.若关于x的分式方程 = +2有增根，则m的值为（ ）
x−3 x−3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.
m+4 3x
【详解】解：∵分式方程 = +2有增根，
x−3 x−3
∴x=3，
去分母，得m+4=3x+2(x−3)，
将x=3代入，得m+4=9，
解得m=5．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3.若关于x的分式方程 有增根，则 _________．
【答案】 ．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出 的值，代入到转化以后的
整式方程中计算即可求出 的值．
【解析】解：去分母得： ，整理得： ，
∵关于 的分式方程 有增根，即 ，∴ ，
把 代入到 中得： ，解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问
题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程
中即可求得相关字母的值．
6 ax
4.若关于x的分式方程 −1= 有增根，则a的值为（ ）
x−2 2−x
7
A．−3 B．3 C．2 D．−
2
【答案】A
【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可求得．
6 ax
【详解】解： −1= ，
x−2 2−x
去分母，得：6−(x−2)=−ax．
∵分式方程有增根，
∴增根为x=2，
将x=2代入整式方程，得：6−(x−2)=−ax，
得：6−(2−2)=−2a．
解得a=−3
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键．
6−x 2m
5.若关于x的方程 − =0有增根，则m的值是 ．
x−3 x−33
【答案】
2
【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题．
6−x 2m
【详解】解： − =0，
x−3 x−3
方程两边同乘x−3，得6−x−2m=0．
移项，得−x=2m−6．
x的系数化为1，得x=−2m+6．
6−x 2m
∵关于x的方程 − =0有增根，
x−3 x−3
∴−2m+6−3=0．
3
∴m= ．
2
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
题型八：已知分式方程有整数解求参数
x−2 mx
1.若关于x的分式方程 ＝ 有正整数解，则整数m为 ．
x−1 1−x
【答案】0
【分析】先解分式方程，再根据有正整数解及分母不为0进行求解即可．
【详解】方程两边同乘(x−1)，得x−2=−mx
2
解得x=
m+1
∵分式方程有正整数解
2
∴x>0即 >0
m+1
∴m>−1
∵x−1≠0
∴x≠1
2
即 ≠1
m+1
∴m≠1
∴m=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查解分式方程及分式方程正整数根的情况，注意分母不等于0是解题的关键．y−a 3 y−4
2.若关于x的一元一次不等式结¿的解集为x≤a；且关于y的分式方程 + =1有正整数解，则
y−2 y−2
所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方
程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
3x−1
【详解】解：解不等式 ≤x+3，解得x≤7，
2
∴不等式组整理的¿，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
a+2
解得：y＝ ，
3
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3−y m
3.如果关于x的不等式组¿的解集为x>3，且关于y的分式方程 + =3有非负整数解，则符合条
2−y y−2
件的整数m的值的和是（ ）
A．−4 B．−3 C．−1 D．−7
【答案】C
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到m≤3；再解分式方程，根据分式方
程有非负整数解得到m≥−3且m≠1，进而确定符合题意的m的值即可得到答案．
x−m
【详解】解：解不等式 ≥0得x≥m，
2
解不等式x+3<3(x−1)得x>3，
∵关于x的不等式组¿的解集为x>3，
∴m≤3；
3−y m
+ =3
2−y y−2
去分母得：y−3+m=3(y−2)，
去括号得：y−3+m=3 y−6，移项得：y−3 y=−6+3−m，
合并同类项得：−2y=−3−m，
3+m
系数化为1得：y= ，
2
3−y m
∵关于y的分式方程 + =3有非负整数解，
2−y y−2
3+m 3+m
∴ ≥0且 ≠2，
2 2
∴m≥−3且m≠1，
综上所述，−3≤m≤3且m≠1，
∴符合题意的m的值可以为−3，−2，−1，0，2，3，
−3+(−2)+(−1)+0+2+3=−1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，正确解分式
方程和解不等式组确定m的取值范围，进而确定m的值是解题的关键．
9−ay 21
4.如果关于y的分式方程 +2= 有整数解，且关于x的不等式组¿有且只有两个整数解，那么符
y−3 3−y
合条件的所有整数a的值之和是 ．
【答案】22
【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题．
9−ay 21 24
【详解】解：由 +2= 可得：y= ，
y−3 3−y a−2
∵y−3≠0，即y≠3，
24
∴ ≠3，
a−2
解得a≠10，
a+24
由¿可得：3≤x≤ ，
8
9−ay 21
∵关于y的分式方程 +2= 有整数解，
y−3 3−y
∴a的取值有−22，−10，−6，−4，−2，−1，0，1，3，4，5，6，8，14，26；
∵关于x的不等式组¿有且只有两个整数解，
a+24
∴4≤ <5，解得：8≤a<16，
8
∴满足题意a的值有14和8，
∴符合条件的所有整数a的值之和是22故答案为：22.
【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式
组的解法是解决本题的关键．
y a+2
5.关于x的不等式组¿的解集为x≥3，且关于y的分式方程 + =−1有非负整数解，则所有满足
y−1 1−y
条件的整数a的和为 ．
【答案】1
【分析】根据不等式组的解集和分式方程的解确定a的取值范围，即可求解．
【详解】解：解不等式组¿，
得¿，
∵关于x的不等式组¿的解集为x≥3，
∴ a−2<3，
∴a<5，
y a+2
解分式方程 + =−1，
y−1 1−y
3+a
解得：y= ，
2
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0且y≠1，
3+a 3+a
∴ ≥0且 ≠1，
2 2
解得a≥−3且a≠−1，
∴−3≤a≤5且a≠−1，
∴满足条件的整数a的值为−3，−2，0，1，2，3，4，
当a=−2，0，2，4时，y的值不是整数，不符合题意，舍去，
∴满足条件的整数a的值为−3，1，3，
故和为：1
【点睛】本题考查了根据不等式组的解集和分式方程的解求参数，非负整数的性质，熟练掌握解不等式
组和分式方程的方法是解题的关键．
考点二：分式方程的应用
题型一：由实际问题抽象出分式方程
1.用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输
入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．
这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
2640 2640 2640 2640
A． = +2 B． = −2
2x x 2x x
2640 2640 2640 2640
C． = +2×60 D． = −2×60
2x x 2x x
【答案】D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列
出分式方程即可．
【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，
2640 2640
由题意得 = −2×60，
2x x
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键
2.某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原
计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x
棵．则下列方程正确的是（ ）
400 300 300 400 400 300 300 400
A． = B． = C． = D． =
x−50 x x−50 x x+50 x x+50 x
【答案】B
【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原
计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．
【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，
300 400
根据题意，可列方程： = ，
x−50 x
故选：B．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
3.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩
形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬
的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）1.4−x 8 1.4+x 8 1.4−2x 8 1.4+2x 8
A． = B． = C． = D． =
2.4−x 13 2.4+x 13 2.4−2x 13 2.4+2x 13
【答案】D
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长
的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
1.4+2x 8
= ，
2.4+2x 13
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
4.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所
用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
360 480 360 480 360 480 360 480
A． = B． = C． = D． =
x x+60 x−60 x x x−60 x+60 x
【答案】B
【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可．
360 480
【详解】解：根据题意，得 = ．
x−60 x
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．
5.我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，
结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
30 30 30 30
A． − =20 B． − =1.2
x 1.2x x x−20
30 30 30 30
C． − =20 D． − =1.2
1.2x x x−20 x
【答案】A
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前
20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
30 30
∴ − =20．
x 1.2x故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，
学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购
单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
20000 20000×(1−15%)
A． =
x x−10
20000 20000×(1−15%)
B． =
x−10 x
20000 20000×(1−15%)
C． =
x x+10
20000 20000×(1−15%)
D． =
x+10 x
【答案】D
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降
低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，
20000 20000×(1−15%)
依题意得： = ，
x+10 x
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的
关键．
7.为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比
每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球
的价格为x元，那么可列方程为（ ）
1500 800 1500 800 800 1500
A． − =5 B． − =5 C． − =5 D．
x+20 x x−20 x x x+20
800 1500
− =5
x x−20
【答案】A
【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为(x+20)元，根据“用1500元购进篮球的数量比用
800元购进足球的数量多5个”列方程即可．
【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为(x+20)元，1500 800
由题意可得： − =5，
x+20 x
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．
8.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目
的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（ ）
420 420 420 420
A． = +1 B． +1=
x x−10 x x+10
420 420 420 420
C． = +1 D． +1=
x x+10 x x−10
【答案】C
【分析】设这辆汽车原计划的速度是x km/h，，则实际速度为(x+10)km/h，根据题意“提前1小时到达
目的地”，列分式方程即可求解．
【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为(x+10)km/h，
420 420
根据题意所列方程是 = +1
x x+10
故选C
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意列出方程是解题的关键．
9.已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头
所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水
中的速度为x千米/时，根据题意列方程为（ ）
36 36 36 36 36 36 36 36
A． − =2 B． − =2 C． = +2 D． + =2
x+3 x−3 x−3 x+3 x+3 x−3 x+3 x−3
【答案】B
【分析】根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，列方
程即可．
36 36
【详解】解：依题意有： − =2，
x−3 x+3
故答案选:B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10.“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．
若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，
则依题意可列方程为（ ）
6 1 10 6 10 6 10 1 6 10
A． + = B． +20= C． − = D． − =20
3x 3 4x 3x 4x 3x 4x 3 3x 4x【答案】A
1
【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上 小时等于乙所花的时间建
3
立方程即可．
【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则
6 1 10
+ = ，
3x 3 4x
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
1
11.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的 ．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运
4
1
送货物，两车又共同运送货物 天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送
2
这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
1 1 1 1(1 1)
A． + =1 B． + + =1
4 2x 4 2 4 x
1( 1) 1 1 (1 1)1
C． 1+ + =1 D． + + =1
4 2 x 4 4 2 x
【答案】B
【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．
【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程
1 1(1 1)
+ + =1，
4 2 4 x
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
题型二：利用分式方程解决实际问题
题组一：行程问题
1.阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世
界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地
点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲
同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是 米/分，则下列方程正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设乙同学的速度是 米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】解∶设乙同学的速度是 米/分，可得：
故选： D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽
车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，
则所列方程正确的是（ ）
A． - =20 B． - =20 C． - = D． =
【答案】C
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其
余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解析】由题意可得， - = ，故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出
相应的方程．
3.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 地沿相同路线骑行去距 地
30千米的 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从 地出发，则甲、乙恰好同时到达 地，求甲骑行的速度．
【答案】(1) (2) 千米/时
【分析】（1）设乙的速度为 千米/时，则甲的速度为 千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方
程求解即可；（2）设乙的速度为 千米/时，则甲的速度为 千米/时，根据甲、乙恰好同时到达 地
列方程求解即可．
(1)解：设乙的速度为 千米/时，则甲的速度为 千米/时，
由题意得： ，解得： ，
则 （千米/时），答：甲骑行的速度为 千米/时；
(2)设乙的速度为 千米/时，则甲的速度为 千米/时，
由题意得： ，解得 ，
经检验 是分式方程的解，
则 （千米/时），
答：甲骑行的速度为 千米/时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关
键．
4.学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其
余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时
【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先
走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．
【详解】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车速度是3x千米/小时，
45 45
根据题意得： = +2，
x 3x
解之得x=15，
经检验x=15是分式方程的解，
答：张老师骑车的速度为15千米/小时．
【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程
是解决问题的关键．
5.小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了
5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不
计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【答案】(1)小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时
36
(2)为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为 千米/小时
5
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从
A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班
（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，
4.5 5 4.5 10
由题意得： − = + ，
x 60 1.5x 60
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
则1.5x=9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
1
（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9= （小时），
6
2
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60= （小时），
3
(2 1 5 )
设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：1.5+ − − m≥4.5，
3 6 60
36
解得：m≥ ，
5
36
答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为 千米/小时．
5
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
题组二：工程问题
1.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工
程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，
则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，根据“最终用的时间比甲工程队
少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，依题意得 ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
2.某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用
天，现在甲、乙两队合做 天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为
天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设总工程量为 ，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为 ；因为乙工
程队单独去做，要超过规定日期 天，所以乙的工作效率为 ，根据甲、乙两队合做 天，剩下的由
乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
【详解】解：设规定日期为 天，由题意可得， ，
整理得 ，或 或 ．
则 选项均正确，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列方程．
3.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做
130个零件．设甲每天做 个零件，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．【解析】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ，故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
4.随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使
“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完
成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作
多少个摆件？
【答案】200个摆件．
【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得 ，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，
答：原计划平均每天制作200个摆件．
5.为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2
天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队
同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队
修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．
求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】(1)100米(2)90米
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，根据工效问题公
式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，根据水渠总长1800米，
完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可
得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．
(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 米，
则有 解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 米，即1.2y米
则有 解得
经检验， 是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出
未知数，并列出方程，是解题的关键．
题组三：方案问题
1.某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货
物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，
满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】（1）每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）购买A型
机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得： ，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，
由题意得： ，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
2.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电
视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进 A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款
文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求
有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发
现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）共有6种购买方案；
（3）m＝5．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得： ，
解得：275≤y≤280，又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）
y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
3.为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队
的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？
(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙
队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【答案】(1)甲工程队每天修路75米，乙工程队每天修路50米．
(2)至少安排乙工程队施工30天．
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效
率结合两队各自修建公路600m时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可
得出结论；
120−2m
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工 天，根据总费用不超过38万元，即可得
3
出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，
600 600
依题意，得： − =4，
x 1.5x
解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=75．
答：甲工程队每天修路75米，乙工程队每天修路50米．
3000−50m 120−2m
（2）解：设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工 = 天，
75 3
120−2m
依题意，得： +0.6m≤38，
3
解得：m≥30．答：至少安排乙工程队施工30天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
4.重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新
的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度
4
是甲施工队每天修建的长度的 ，而乙施工队单独修建这项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程
3
需要的天数少4天．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工
队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万
元？
【答案】(1)甲施工队每天修建120米，乙施工队每天修建160米
(2)共需修建费用201万元
4
【分析】（1）设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建 x米，根据乙施工队单独修建这项工程需
3
要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天，列出方程进行求解即可；
（2）设乙施工队干了a天，根据先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好
12天完成修建任务，列出方程，求出a，分别求出甲，乙两队的修建费，即可得解．
4
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建 x米，由题意，得：
3
1920 1920
−4=
x 4 ，
x
3
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
4
∴ x=160，
3
∴甲施工队每天修建120米，乙施工队每天修建160米；
（2）设乙施工队干了a天，由题意，得：120×12+160a=1920，
解得：a=3，
∴乙施工队修建了3天，
∴共需修建费用13×12+15×3=201万元；答：共需修建费用201万元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的
关键．
5.某校足球队需购买 、 两种品牌的足球．已知 品牌足球的单价比 品牌足球的单价高20元，且用
900元购买 品牌足球的数量用720元购买 品牌足球的数量相等．
（1）求 、 两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买 、 两种品牌的足球共90个，且 品牌足球的数量不小于 品牌足球数量的
2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买 品牌足球 个，总费用为 元，则该队共有
几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；
（2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【分析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元
购买 品牌足球的数量用720元购买 品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验
后即可得出结论；（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，根据总价＝单价×数量
结合总价不超过8500元，以及 品牌足球的数量不小于 品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元
一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，
得 解得：x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，则W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵ 品牌足球的数量不小于 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．
∴ 解不等式组得：60≤m≤65所以，m的值为：60,61,62,63,64,65即该队共有6种购买方案，
当m=60时，W最小 m=60时，W=20×60+7200=8400(元)
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
6.某商店购进 、 两种商品，购买1个 商品比购买1个 商品多花10元，并且花费300元购买 商
品和花费100元购买 商品的数量相等．（1）求购买一个 商品和一个 商品各需要多少元；（2）商
店准备购买 、 两种商品共80个，若 商品的数量不少于 商品数量的4倍，并且购买 、 商品
的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买一个 商品需要15元，购买一个 商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案
①：购进 商品65个、 商品15个；方案②：购进 商品64个、 商品16个．
【分析】（1）设购买一个 商品需要 元，则购买一个 商品需要 元，根据数量＝总价÷单价
结合花费300元购买 商品和花费100元购买 商品的数量相等，即可得出关于 的分式方程，解之经
检验后即可得出结论；（2）设购买 商品 个，则购买 商品 个，根据 商品的数量不少于
商品数量的4倍并且购买 、 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于 的一
元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，再结合 为整数即可找出各购买方案．
【解析】解：（1）设购买一个 商品需要 元，则购买一个 商品需要 元，
依题意，得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，∴ ．
答：购买一个 商品需要15元，购买一个 商品需要5元．（2） 设购买 商品 个，则购买 商品 个，
依题意，得： ，解得： ．
∵ 为整数，∴ 或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进 商品65个、 商品15个；方案
②：购进 商品64个、 商品16个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
题组四：和差倍分问题
1.北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快
销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那
么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
【答案】(1)200
(2)140
【分析】对于（1），设第一次购进冰墩墩x个，可表示第二次购进的个数，再根据单价的差=10列出分
式方程，再检验即可；
对于（2），由（1）可知第二购进冰墩墩的数量，再设每个冰墩墩得标价是a元，根据销售利润率不低
于20％列出一元一次不等式，求出解集即可．
【详解】（1）解：设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进2x个，根据题意，得
22000 48000
= −10，
x 2x
解得x=200，
经检验，x=200是原方程得解，且符合题意.
所以该商家第一次购进冰墩墩200个；
（2）解：由（1）可知第二次购进冰墩墩的数量是400个，设每个冰墩墩得标价是a元，得
(200+400)a≥(1+20％)(22000+48000)，
解得a≥140．
所以每个冰墩墩得标价是140元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量（不等）关系列出方程和
不等式是解题的关键．
2.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场
5
上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
4
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗
的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购
买最少花费多少钱．
【答案】(1)20元
(2)2250元
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B
种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗m捆之间的关系式，根据关系式求出最少花
费多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
300 300
− =3
x 5
x
4
5 15
300× −300= x
4 4
15
x=75
4
解得x=20
5 5
检验：将x=20代入 x= ×20=25，值不为零，
4 4
∴x=20是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100−m)捆，费用为y元，
由题意可知：m≤100−m，
解得m≤50，
又∵y=[20m+30×(100−m)]×0.9，
∴y=−9m+2700(m≤50)，∵y随m的增大而减小
∴当m=50时，花费最少，
此时y=−9×50+2700=2250
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关
键．
3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽
子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲
种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最
多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是
1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
1200 800
+50= ，
2x x
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
8m+4(200−m)≤1150，
解得：m≤87.5，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解
法是解题的关键．
4.扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场
需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的
A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？
【答案】每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元
【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数
量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣
400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价．
【详解】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，
96000 168000
依题意得： = ，
x 2x−400
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．
答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
题组五：销售利润问题
1.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测 A粽子能够畅销．根
据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额
购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克
20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克 A粽子获得利润最大？最大利润是
多少？
【答案】（1）10元；
（2）该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得 ，
解得x＝10或x＝﹣12（舍去），
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，
解得m≤300，
w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
2.如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7200
乙 3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量
乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
【解析】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（ +40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（ +40）=7200
4800+60x=7200 60x=2400 解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，所以乙的进价为40元/件．答：乙商品的进价为40元/件．， +40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 60 120 7200
乙 40 80 3200
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲的数量与进货
价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解答本题的关键在于表示出相
关量，找出等量关系，列出方程．
3.某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商
品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型
商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多
少？
【答案】(1) B型商品的进价为120元，A型商品的进价为150元；(2)5500元．
【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采
购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的
性质求出最值即可．
【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
1500 600
由题意： = ×2
x+30 x
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100﹣m，
∴m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∵−10<0
∴m=50时，w有最小值=5500（元）【点睛】此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一
次函数解决问题，注意解分式方程时要检验．
4.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进
价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为
88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按
原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，
问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲种商品按原销售单价
至少销售20件．
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为(x+8)元．根据“某商场购进甲、乙
两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方
程进行求解即可；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式
进行求解即可．
【详解】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为(x+8)元，
2000 2400
根据题意得， = ，
x x+8
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
2000
（2）甲乙两种商品的销售量为 =50，
40
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
(60−40)a+(60×0.7−40)(50−a)+(88−48)×50≥2460，
解得a≥20，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找
出不等关系列出不等式是解题的关键
题组六： 分式与函数结合问题
1.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者
的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
【答案】250
【分析】设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的
3
速度是善行者速度的 ．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
5
【详解】解：设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行
3
者的速度是善行者速度的 ．
5
m−100 3
∴ = ，
m 5
解得m=250，
经检验m=250是方程的根且符合题意，
∴两图象交点P的纵坐标是250．
故答案为：250
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关
键．
2.按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天
比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，
人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行
道宽度设计是否达标？说明理由．+
【答案】(1)原计划每天修20米
(2)①y=−0.3x2+10.8；②5.5米；③达标，理由见解析
【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得E(−4,0),F(4,0),A(−6,0),B(6,0),M(0,10.8)，然后运用待定系数法解答即可；②
车的宽度为4米，令x=4时求得y=6，然后再减去0.5即可解答；③如图：由CE，DF高均为0.3米，
则点G的纵坐标为0.3，令y=0.3可解答点G的横坐标为√35，然后求出FG的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米
2400 (1400 2400−1400)
则根据题意可得： − + =10
x x x+5
解得：x=−25或x=20
经检验，x=20是分式方程的解．
答：原计划每天修20米．
（2）解：①根据题意可得：C(−4,0),D(4,0),A(−6,0),B(6,0),M(0,10.8)
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c
由题意可得：¿，解得：¿
所以抛物线的函数表达式为y=−0.3x2+10.8
②∵车的宽度为4米，车从正中通过，
∴令x=4时，y=−0.3×16+10.8=6，
∴货车安全行驶装货的最大高度为6−0.5=5.5（米）．
③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令y=0.3，则有：0.3=−0.3x2+10.8，解得：x=√35（舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：FG=√35−4≈5.92−4=1.92>1.25
∴人行道宽度设计达标．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特
征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某
商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的
豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A
厂家购买应付y 元，去B厂家购买应付y 元，其函数图象如图所示：
1 2
①分别求出y ，y 与x之间的函数关系；
1 2
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元
(2)①y =32x（x≥0且x为整数）；y =¿；②购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子
1 2
礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算
【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为(a+10)元，列分式方程求解即可；
（2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由y = y 得32x=28x+300，解得
1 2
x=75，结合图象即可得解．
【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为(a+10)元
2000 2500
=
a a+10方程两边乘a(a+10)，得2000(a+10)=2500a
解得a=40
检验：当a=40时，a(a+10)≠0
∴a=40是原方程的解
a+10=50
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元．
（2）解：①y =40×80%x=32x（x≥0且x为整数）
1
当0≤x≤25且x为整数时，y =40x
2
当x>25且x为整数时，y =1000+(40x−1000)×70%=28x+300
2
∴y =¿
2
②当x>25且x为整数，
y = y 时32x=28x+300
1 2
x=75
由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家
购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算．
【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量
关系列分式方程是解题的关键．
4.某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格a元，B型口罩
每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．
(1)求a的值．
(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如
图所示，B型口罩一律按原价销售．
①求y关于x的函数解析式；
②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多
少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？
【答案】(1)10
(2)①y=¿，②购买A型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元【分析】（1）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值；
（2）①根据函数图象中的数据，可以得到y关于x的函数解析式；
②根据题意和①中的结果，可以得到购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元．
【详解】（1）解：由题意可得，
180 180
− =12，
a−4 a
解得，a =10,a =−6，
1 2
经检验，a =10,a =−6是原分式方程的解，
1 2
但a =−6不符合题意，舍去，
2
∴a=10．
（2）解：①由图象可得，
当050时，y=8，
由上可得，y与x的函数关系式为y=¿；
②设购买A型口罩x包，则购买B型口罩(100−x)包，购买的总金额为W元，
当30≤x≤50时，
W =x(−0.1x+13)+6(100−x)
=−0.1(x−35) 2+722.5，
∴当x=50时，W取得最小值，此时W =700，
当500，
∴W随着x的增大而增大，
∴7000，
∴当m≥52时，y随x的增大而减小，
∵m≥55，
∴当m=55时，W取最大，此时W =−10×（55−52） 2+1440=1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【点睛】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
2.随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为
新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地．据测
试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用4C技术提高
了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程400公里的
充电时间节省2分钟，求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
【答案】60公里
【分析】设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为
(1+50%)x公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可．
【详解】解：设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为
(1+50%)x公里，
480 400
根据题意，得 = −2，
(1+50%)x x
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，
当x=40时，(1+50%)x=60，
答：采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键．3.某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，
所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元．
(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？
(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔
圆圆”玩具的标价至少是多少元？
【答案】(1)50个
(2)41元
【分析】（1）设商店第一次购进“兔圆圆”玩具x个，则第二次购进2x个，然后根据每个“兔圆圆”玩
具的价格比第一次购进的价格贵了5元列出方程进行求解即可；
（2）设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，先求出两次一共购进“兔圆圆”玩具的个数，然后根据利润
=售价×销售量−成本列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设商店第一次购进“兔圆圆”玩具x个，则第二次购进2x个，
1500 3500
根据题意，得 +5= ，
x 2x
解得x=50，
经检验，x=50是原方程的根，且符合题意，
答：商店第一次购进“兔圆圆”玩具50个；
（2）解：设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，
50+50×2=150（个），
根据题意，得150m−1500−3500≥1150，
解得m≥41，
∴每个“兔圆圆”玩具的标价至少为41元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关
系和不等关系是解题的关键．
4.京东发布的《2025春节假期消费趋势》显示：消费者春节期间购物品类更加多元，也在节日之外更
“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍．春节期间，某超市分别用2000元和1600元购进A，B
两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类
预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元．
(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；
(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预
制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜
礼盒后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）．【答案】(1)A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；
(2)购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．
【分析】（1）设每盒A类预制菜礼盒的进价是x元，则每盒B类预制菜礼盒的进价是(x−20)元，根据数
量=总价÷单价，结合用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，即可得出关于x的分式
方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A类预制菜礼盒m盒，总利润为w元，根据购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼
盒数量的2倍，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最
大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设每盒A类礼盒的进价是x元，则每盒B类礼盒的进价是(x−20)元，
2000 1600
依题意得： = ，
x x−20
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴x−20=80，
答：A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；
（2）解：设购进A类预制菜礼盒m盒，则购进B类预制菜礼盒(30−m)盒，总利润为w元，
根据题意得m≥2(30−m)，
解得m≥20，
w=(130−100)m+(120−80)(30−m)=−10m+1200，
∵−10<0，
∴w随着m的增大而减少，
当m=20时，w取得最大值，最大值为1000元，
30−20=10（盒），
答：购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是根据题意
列出方程或不等式或函数解析式去求解．
题组八：结合古代数学文化问题
1.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三
文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费
是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？
【答案】46株
【分析】根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，解之即可．
【详解】解：设6210文能买x株椽，
6210
依题意，得：3(x−1)= ，
x
解得：x=46或x=-45（舍），
经检验：x=46是原方程的解，
∴6210文能买46株椽．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2.《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，
原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意
为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者
20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
100
【答案】 里
3
【分析】设善行者走x里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设善行者走x里时就追上了不善行者，
x−10 100−10−20
根据题意， =
x 100
100
解得x=
.
3
100
答：善行者走 里时追上了不善行者.
3
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
3.欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：
两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如
果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：
2
“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得6 个克罗索．”
3
(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？
(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？
【答案】(1)第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
(2)两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样．
【分析】（1）根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求解．（2）分别计算出单价比较．
【详解】（1）解：设第一个农妇带来x个鸡蛋，第二个妇女带了（100﹣x）个．由题意得：
2
6
15 3
⋅x= (100−x)
100−x x
解得：x＝40，
检验：当x＝40时，x（100﹣x）≠0，符合题意．
100﹣x＝60．
答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
（2）解：第一个农妇的鸡蛋价格为：15÷60＝0.25（元），
2 1
第二个农妇的鸡蛋价格为：6 ÷40 = （元）．
3 6
∴两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，理解题意列出方程是求解本题的关键．
4.张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建
出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至A处时，与鹿所在的B处还差36步（古代：1里=300
步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着AD追去，追了50步至D处与鹿所在的位置C处还差10步
（点A、C、D在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，
已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
【答案】如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【分析】先求出BC的长, 设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追x步才能追上此鹿,根据单位
时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，列方程求解即可.
【详解】解：由题意可知，AB=36步，AD=50步，CD=10步，且AB⊥BC．
由勾股定理，得BC=√AC2−AB2=√602−362=48．
设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追x步才能追上此鹿．
x−36 48
根据题意，列方程，得 = ．
x 50
解得x=900．经检验，x=900是原方程的解，且符合题意．
答：如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要
检验．
