文档内容
专题 30 投影与视图
目录
模块一：基础知识..........................................................................2
考点一：投影基本概念..................................................................2
考点二：几何体的三视图................................................................3
模块二：题型分类..........................................................................4
考点一：图形的投影....................................................................4
题型一：平行投影..................................................................4
题型二：中心投影.................................................................12
题型三：正投影...................................................................20
考点二：几何体的三视图...............................................................25
题型一：简单几何体三视图.........................................................25
题型二：简单组合体三视图.........................................................30
题型三：非实心几何体三视图.......................................................33
题型四：画简单几何体的三视图.....................................................36
题型五：画简单组合体的三视图.....................................................38
题型六：三视图还原几何体.........................................................44
题型七：三视图求边长.............................................................48
题型八：三视图求侧面积或表面积...................................................53
题型九：小立方块堆砌图形的表面积.................................................57
题型十：三视图求体积.............................................................61
题型十一：几何体视图的面积.......................................................66
题型十二：三视图求小立方体的个数.................................................71专题 30 投影与视图
模块一：基础知识
考点一： 投影基本概念
1.投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.
照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
2.平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）
3.平行投影的特征：
（1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.
（2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长
度.
图1 图2
4.平行投影解题策略
（1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比
例.
（2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行
线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
（3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即： ，利用上面的关
系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.
（4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，
物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.
5.中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
6.中心投影的特征：
（1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体
它的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影
子越短，但不会比物体本身的长度还短.
图3 图4
7.平行投影解题策略
（1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出
第三个点的位置.（2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并
且中心投影后得到的图形与原图形相似.
8.正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.
9.正投影的分类：
（1）线段的正投影分为三种情况.如下1图所示.
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A B ，与线段AB的长相等；、
1 1
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A B ，长小于线段AB的长；
2 2
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
（2）平面图形正投影也分三种情况，如上2图所示.
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个
平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，
是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.
（3）立体图形的正投影
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立
体图形的最大截面全等.
10.投影的判断方法：
（1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就
是平行投影．
（2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到
的投影就是中心投影．
考点二：几何体的三视图
1.三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，
叫做主视图；②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；③在侧面内得到的由左向右
观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.三视图之间的关系：
（1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，
（2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高
平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.
3.画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体
（1）确定主视图的位置，画出主视图；（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
（3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
4.由三视图确定几何体的方法：
（1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和
左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
① 根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
② 从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③ 熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.
5.利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算
面积.
模块二：题型分类
考点一：图形的投影
题型一：平行投影
1.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
2.乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长
度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短【答案】C
【分析】根据平行投影的投影线与地面夹角的大小进行判断即可．
【详解】解：从早到晚这段时间，投影线与地面所夹的锐角先变大再变小，
所以乌蒙铁塔在大阳下的影长度先逐渐变短，后又逐渐变长，
故选：C．
【点睛】本题侧重考查有关平行投影的知识点，掌握其特点是解决此题的关键．
3.如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张
照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
【答案】B
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子
由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位
置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序
给这五张照片排序是②④①③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．
4.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相
等且平行，据此判断即可．
【详解】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；C．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成
的影子就是平行投影．
5.日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时
间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 投影．（填“平行”或
“中心”）
【答案】平行
【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可．
【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影
的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影．
6.如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为
5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度
AB为 m．
【答案】12
【分析】设地面影长对应的树高为xm，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙
上的影长CD即为树的高度．
【详解】解：设地面影长对应的树高为xm，
x 1
由题意得， = ，
5 0.5
解得x=10，
∵墙上的影子CD长为2m，
∴树的高度为10+2=12m．故答案为：12．
【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．
7.房间窗户的边框的形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（
）
A．三角形 B．平行四边形
C．圆 D．梯形
【答案】B
【分析】由于矩形边框的对边平行，则在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影的对边也平行或重
合，所以她的投影不可能为三角形、圆、梯形．
【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影
子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
8.北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受广大人们的喜爱，体现了“瑞雪兆丰年”的寓意及包容交
流拼搏的理念．一名艺术爱好者雕刻制作了“冰墩墩”“雪容融”，并在中午12点观测到高为165cm的
“冰墩墩”的影长为55cm，此时在同一地点的“雪容融”的影长为60cm，那么“雪容融”的高为（
）
A．160cm B．170cm C．180cm D．185cm
【答案】C
【分析】在同一时刻物体的身高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，以及经过物体顶部的
太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，通过相似比即可解决本题．
“冰墩墩”的身高 “雪容融”的身高
【详解】解：∵ = ，
“冰墩墩”的影长 “雪容融”的影长
“冰墩墩”的身高 165
∴“雪容融”的身高= ד雪容融”的影长= ×60=180（cm），
“冰墩墩”的影长 55
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够根据对应边成比例列出方程，建立起适当的数学模型是解决
本题的关键．
9.如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD为
4m，墙上的影子CD长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度
为 m．【答案】9
【分析】设地面影长对应的树高为xm，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙
上的影长CD即为树的高度．
【详解】解：设地面影长对应的树高为xm，
x 1
由题意得， = ，
4 0.5
解得x=8，
∵墙上的影子CD长为1m，
∴树的高度为8+1=9(m)．
故答案为：9．
【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．
10.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一
时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得
MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于
米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【答案】 10 (10+√13)
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂
EF OM 2
足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据 = = ，求出OM的长度，证明
FG MH 3
2 4
△BIO∽△JIB，得出BI= IJ，OI= IJ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可
3 9算出所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作
BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵OH∥AC∥BD，
∴点H是CD的中点，
∵CD=13m，
1
∴CH=HD= CD=6.5m，
2
∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15m，
EF OM 2
又∵由题意可知： = = ，
FG MH 3
OM 2
∴ = ，解得OM=10m，
15 3
∴点O、M之间的距离等于10m，
∵BI⊥OJ，
∴∠BIO=∠BIJ=90°，
∵由题意可知：∠OBJ=∠OBI+∠JBI=90°，
又∵∠BOI+∠OBI=90°，
∴∠BOI=∠JBI，
∴△BIO∽△JIB，
BI OI 2
∴ = = ，
IJ BI 3
2 4
∴BI= IJ，OI= IJ，
3 9
∵OJ∥CD,OH∥DJ，
∴四边形OHDJ是平行四边形，
∴OJ=HD=6.5m，
4
∵OJ=OI+IJ= IJ+IJ=6.5m，
9
∴IJ=4.5m，BI=3m，OI=2m，
∵在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB2=OI2+BI2，
∴OB=√OI2+BI2=√22+32=√13m，
∴OB=OK=√13m，∴MK=MO+OK=(10+√13)m，
∴叶片外端离地面的最大高度等于(10+√13)m，
故答案为：10，10+√13．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线
是解答本题的关键．
11.实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆
柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影
子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡
脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1:0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的
情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答
这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；
（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
90 150
由题意可得： = ，
72 x
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度i=1:0.75，
DE FG 1 4
∴ = = = ，
CE CG 0.75 3
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
(4m) 2+(3m) 2=1002，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
90 AH AH
∴ = = ，
72 HF BG
90 90
∴AH= ×BG= ×160=200，
72 72
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是
理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
题型二：中心投影
1.如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质求解．
【详解】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键．
2.下列现象中，属于中心投影的是（ ）
A．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子
C．灯光下演员的影子 D．中午小明跑步的影子
【答案】C
【分析】根据平行投影和中心投影的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；
B．阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意；
C．灯光下演员的影子为中心投影，所以C选项符合题意；
D．中午小明跑步的影子为平行投影，所以D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影．
3.如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面
垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找
到符合题意的选项
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，
则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D
【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比
例是解题的关键．
4.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行
判断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，
影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
5.下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
6.三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了
其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心投影的定义，结合中心投影下物体的影子的位置、长短进行判断即可．
【详解】解：A．根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B．由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不
符合题意；
C．根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D．利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心投影，理解中心投影的意义，掌握中心投影下物体的影子的位置、长短关
系是正确判断的前提．
7.如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况
是（ ）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
【答案】B
【分析】直接利用探照灯的位置得出人在墙上的影子，进而得出答案．
【详解】如图所示：
当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．
故选： B .
【点睛】此题主要考查了中心投影，正确得出人的影子在墙上的变化是解题关键．
8.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(2,2)处，木杆AB两端的坐标分别为(0,1)，(3,1)．则木杆
AB在x轴上的影长CD为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明△ABP∼△CDP，然后利用相似比
可求出CD的长．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，根据题意得：AB∥CD，
∴△ABP∼△CDP，
∵P(2,2)，A(0,1)，B(3,1)．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
AB PM 3 1
∴ = ，即 = ，
CD PE CD 2
解得：CD=6，．
故选：B
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投
影是放大（即位似变换）的关系．
9.手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游
戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的
高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
3 3 5 5
A．减少 米 B．增加 米 C．减少 米 D．增加 米
2 2 3 3
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作
OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD，∵AB∥CD，
AB OE
∴△AOB∽△COD，则 = ，
CD OF
∵EF=1米，OE=2米，则OF=3米，
AB OE 2
∴ = = ，
CD OF 3
设AB=2k，CD=3k
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即AB=2k，C'D'=6k，EF'=1米，△AO'B∽△C'O'D'
AB O'E' 1
∴ = = ，
C'D' O'F' 3
则O'F'−O'E'=2O'E'=EF'，
1
∴O'E'=
米，
2
1 3
∴光源与小明的距离变化为：OE−O'E'=2− = 米，
2 2
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建
立适当的数学模型来解答问题．
10.如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD． 当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路
灯AC的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．
已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．(1)标出小华站在P处时，在路灯AC下的影子．
(2)求两个路灯之间的距离．
(3)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？
【答案】(1)画图见解析
(2)两路灯的距离为18m；
(3)当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是3.6m．
【分析】（1）连接CM并延长与AB交于点K，从而可得答案；
1 1
（2）如图，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP= AB，即得BQ= AB，则
6 6
1 1
AB+12+ AB=AB，从而可得答案；
6 6
（3）如图，他在路灯AC下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得
BN 1.6
= ，然后利用比例性质求出BN即可．
BN+18 9.6
【详解】（1）解：如图，连接CM并延长与AB交于点K，线段PK即为小华站在P处时，在路灯AC下的
影子
（2）如图，∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
AP PM AP 1.6
∴ = ，即 = ，
AB BD AB 9.6
1
∴AP= AB，
6
∵QB=AP，
1
∴BQ= AB，
6
而AP+PQ+BQ=AB，
1 1
∴ AB+12+ AB=AB，
6 6
∴AB=18．
答：两路灯的距离为18m；
（3）如图，他在路灯AC下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
BN BM BN 1.6
∴ = ，即 = ，解得BN=3.6．
AN AC BN+18 9.6
答：当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影长是3.6m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，投影的含义，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相
似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，
蕴含了数形结合的思想方法．题型三：正投影
1.一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
2.由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的
正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示．其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，
CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A B C D ．若∠ABB =45°，求投影面
1 1 1 1 1
A B C D 的面积．
1 1 1 1【答案】50√2（平方厘米）
【分析】如图（见解析），过点A作AH⊥BB ，交BB 于点H，先根据正投影的性质求出投影面
1 1
A B C D 是矩形，再利用等腰三角形的判定、余弦三角函数值求出AH的长，从而可知A B 的长，然
1 1 1 1 1 1
后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】由正投影的性质可得：投影面A B C D 是矩形，且A D =AD=10（厘米）
1 1 1 1 1 1
如图，过点A作AH⊥BB ，交BB 于点H
1 1
∵∠ABB =45°
1
∴ΔABH是等腰直角三角形
√2
∴AH=AB⋅cos45°=10× =5√2（厘米）
2
∴A B =AH=5√2（厘米）
1 1
∴矩形A B C D 的面积为A B ⋅A D =5√2×10=50√2（平方厘米）．
1 1 1 1 1 1 1 1
【点睛】本题考查了正投影的性质、余弦三角函数值等知识点，根据正投影的性质得出投影面
A B C D 为矩形是解题关键．
1 1 1 1
4.如图，平面内的两条直线l、l,点A、B在直线l 上，过点A、B两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为
1 2 2 1
A、B ，我们把线段AB 叫做线段AB在直线l 上的正投影，其长度可记作T 或T l ,特别地，
1 1 1 1 2 （AB，CD） （AB，2）
线段AC在直线l 上的正投影就是线段AC，请依据上述定义解决如下问题.
2 1
（1）如图1，在锐角 ABC中，AB=5，T =3，则T = ；
（AC，AB） （BC，AB）
（2）如图2，在Rt△△ABC中，∠ACB=90°，T
（AC，AB）
=4，T
（BC，AB）
=9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T =2，T =6，
（AD，AC） （BC，AB）求T .
（BC，CD）
7
【答案】（1）2 ；（2） ABC的面积=39；（3）T = √3
（BC，CD） 2
△
【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；
(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出
CH的长即可解决问题；
(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.
【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，
∵T =3，
(AC，AB)
∴AH=3，
∵AB=5，
∴BH=AB-AH=2，
∴T =BH=2，
(BC，AB)
故答案为2；
(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，
则∠AHC=∠CHB=90°，
∴∠B+∠HCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°
∴∠A=∠HCB，
∴△ACH∽△CBH，
∴CH：BH=AH：CH，
∴CH2=AH·BH，
∵T =4，T =9，
(AC，AB) (BC，AB)
∴AH=4，BH=9，
∴AB=AH+BH=13，CH=6，
∴S =(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；
△ABC
(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，
∵∠ACD=90°，T =2，
(AD，AC)∴AC=2，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=∠BDK=30°，
1
∴CD=AC·tan60°=2√3，AD=2AC=4，AH= AC=1，
2
∴DH=4-1=3，
∵T
(BC，AB)
=6，CH⊥AB，
∴BH=6，
∴DB=BH-DH=3，
在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，
3√3
∴DK=BD·cos30°= ，
2
3 7
∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=√3+ √3= √3.
2 2
【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，
理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.
5.如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当
伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在F'处，点C落在C'处，AE=EF，AC=BC=CE=90cm，
DF'=70cm．
(1)BD的长为______．(2)如图2，当AB=54cm时．
①求∠ACB的度数；（参考数据：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin36.9°≈0.60，
tan31.0°≈0.60）
②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．
【答案】(1)250cm
(2)①35°；②29484π
【分析】（1）根据题意可得BD=BF'+F'D，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在F'处，点C落
在C'处，可得BF'=EF=AC+CE，代入数据求解即可；
1
（2）①过点C作CG⊥AG，根据BC=AC，可得AG=GB=27cm，∠ACG= ∠ACB，根据
2
sin∠ACG=0.3，sin17.5°≈0.30，即可求解；
②根据题意可知CG∥AF，则∠EAH=17.5°，根据EH=sin17.5°⋅AE求得EH，根据勾股定理可得
AH2=AE2−EH2，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵BD=BF'+F'D当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在F'处，点C落在C'处，
可得BF'=EF=AC+CE
∴BD=BF'+F'D =EF+F'D=AC+CE+F'D=90+90+70=250cm
（2）①如图，过点C作CG⊥AG
∵BC=AC=90cm，AB=54cm
1
∴AG=GB=27cm，∠ACG= ∠ACB
2
AG 27 3
sin∠ACG= = = ≈0.3
AC 90 10
∴∠ACG=17.5°
∴∠ACB=2∠ACG=35°
②如图，连接AF，过点E作EH⊥AF，∵AE=EF
∴AH=HF
根据题意可知CG∥AF
∴∠EAH=17.5°
∵AE=180cm
∴EH=sin17.5°⋅AE=0.3×180=54
∴AH2=AE2−EH2=1802−542=29484
∴伞能遮雨的面积为29484π
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．
考点二：几何体的三视图
题型一：简单几何体三视图
1.在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的三视图，目的在考查学生的空间想象能力．
【详解】解：A、从上面看得到的图形是长方形，不符合题意；
B、从上面看得到的图形是圆，不符合题意；
C、从上面看得到的图形是圆，不符合题意；
D、从上面看得到的图形是三角形，符合题意；
故选：D．
2.下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边
往右边看，熟练三视图的概念即可求解.
5.下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
【详解】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状．
6.如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
【分析】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而
可得答案．
【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，
所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，
该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，
故选A．
【点睛】本题考查的简单几何体的三视图，同时考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握以上知识是解题的关键．
7.如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看
不到的棱画虚线．
8.如图，该几何体的正（主）视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查简单几何体的三视图，解答的关键是理解三视图的定义：从正面看到的视图是主视图；
从左面看到的视图是左视图；从上面看到的视图是俯视图．注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
本题只需找到从正面看所得的图形即可求解．
【详解】解：从正面看所得的图形为 ，故选项A符合题意，
故选：A．
9.某几何体的左视图和主视图是形状、大小相同的矩形，如图所示，则这个几何体不可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握常见的几何体的三视图是解答本题的关键．分别根据各
个选项的几何体的主视图和左视图判断即可．
【详解】解：A．该圆柱的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
B．该长方体的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
C．该三棱柱的主视图和左视图是全等的两个矩形且主视图中间有1条虚线，故本选项符合题意；
D．该六棱柱的主视图是三个相邻的矩形，左视图是两个相邻的矩形，故本选项不符合题意．
故选：C．
10.一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后如图所示，该几何体的主视图（ ）
A．是轴对称图形，也是中心对称图形 B．是轴对称图形，不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【分析】主要考查简单几何体的三视图，轴对称及中心对称图形的定义，理解轴对称及中心对称图形的
定义是解题关键．根据图形可得其主视图为特殊的五边形，由轴对称（指在平面内沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够完全重合的图形）与中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如
果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）的定义即可判断．
【详解】解：图形的主视图为：∴主视图是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B
11.如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，可得如下图形：
故选：A．
【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
题型二：简单组合体三视图
1.如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的
视图是解题的关键．
2.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正方
形，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3.如图所示，该几何体的左视图为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图判断即可，正确理解从正
面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图是解题的关键．
【详解】解：几何体的左视图是，
故选：A．
4.如图所示几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物
体的正面，左面，上面看得到的图形．
5.如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且
有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．
【详解】俯视图如图所示．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．.注意：能看到
的线用实线，看不到而存在的线用虚线．
6.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据简单几何体的三视图中俯视图从上面看得到的图形即可求解．
【详解】解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐．
故选C．
【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义．
7.如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【详解】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
题型三：非实心几何体三视图
1.如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.下图是一个螺母，它的左视图是（ ）
A. B． C． D．
【答案】D
【分析】找出从左侧看到的图形即可．
【详解】解：该螺母为非实体，那么左视图应该为：
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，建立空间想象能力是解题的关键．
3.如图所示，该几何体的俯视图是( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【分析】根据三视图中俯视图的概念作出判断即可．
【详解】解：∵根据三视图的概念，俯视图是指从上面看，
∴从上面看是由五个矩形组成，其中有两条为虚线，
故选：C．
【点睛】本题考查三视图的概念，俯视图是指从上面看，注意看得见的线用实线，看不见的线用虚线，
熟记三视图的概念是解答本题的关键．
4.如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的用虚线表示．
【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5.如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正视图可排除A与C，利用俯视图可排B，符合要求便可知．
【详解】主视图是从前向后看，由于几何体是一个空心圆柱，看到两个实圆，即圆环，则A、C不正确，
俯视图是从上向下看是长方形，空心圆柱有厚度，但看不到用虚线长方形画在实长方形的里边，则B不
正确，D正确．
故选择：D．
【点睛】本题考查正视图与俯视图，立体图形的视图问题，掌握三视图的概念，会用视图选图是解题关
键．
6.如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的
线条需要用虚线表示．
7.如图所示几何体的俯视图是( )．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可．
【详解】解：根据题意得：几何体的俯视图为
，
故选：C．
【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解本题的关键．
题型四：画简单几何体的三视图
1.画出该几何体的主视图、左视图、俯视图．
【答案】见解析
【分析】观察图形可知，从正面看到的图形是3列，分别有1，1，2个正方形；从左面看到的图形是2列，
分别有2，1个正方形；从上面看到的图形是2行，分别有3，2个正方形；据此即可画图．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题考查了从不同方向观察物体和几何体和画简单图形的三视图的方法，是基础题型．
2.图中几何体的三视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为
故选C
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在
又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
3.分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4
【答案】B
【分析】分别得出三棱柱、球、圆柱体、正方体的三视图的形状，再判断即可．
【详解】解：三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，三种视图不相同，
球的主视图、左视图都是矩形，俯视图都是圆，三种视图相同，
圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，三种视图不相同；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，三种视图相同；
所以三种视图相同的有2种，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，明确球、圆柱、三棱柱、正方体的三视图的形状和大小是正确
判断的前提．
4.如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．(1)图（2）是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)已知h＝4，求a的值和该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)a的值为2√2，该几何体的表面积为16√2＋24．
【分析】（1）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；
（2）根据俯视图和主视图即可求a的值，进而可求该几何体的表面积．
【详解】（1）解：如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）解：根据俯视图和主视图可知：
a2＋a2＝h2＝42，
解得a＝2√2，
1
几何体的表面积为：2ah＋√2ah＋ a2×2＝16√2＋24．
2
答：a的值为2√2，该几何体的表面积为16√2＋24．
【点睛】本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解决本题的关键是理解立体
图形和平面图形之间的关系．题型五：画简单组合体的三视图
1.如图是由一些棱长均为1个单位长度的小正方体组合成的简单几何体．
(1)画该几何体的主视图、左视图：
(2)若给该几何体露在外面的面（不含底图）都喷上红漆，则需要喷漆的面积是 ；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加 块小正方
体．
【答案】(1)见详解；
(2)27；
(3)3．
【分析】（1）根据三视图的概念求解可得；
（2）将主视图、左视图分别乘2的面积，加上俯视图的面积即可得解；
（3）若使该几何体主视图和左视图不变，只可在底层添加方块，可以添加3块小正方体．
【详解】（1）如图所示：
（2）解：（7 ＋ ） （1 ）＋5 （1 ）
＝14＋8＋5 ×2 4×2 × ×1 × ×1＝27
故答案为：27．
（3）若使该几何体主视图和左视图不变，可在最底层从右数第一至三列的第一行各添加一个，添加3块
小正方体．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了画三视图，解题的关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现
出来，看得见的轮廓线都化成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小
正方体的数目及位置．
2.如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同 B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同
【答案】D
【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案．
【详解】第一个几何体的三视图如图所示：
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确得出各几何体的三视图是解题的关键．
3.如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．
(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．
(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；
（2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案．
【详解】（1）解：画出图如图所示：
；
（2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正
方体，
故答案为：3．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的
关键．
4.如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的
底面直径及高相等，都是2m．(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？
（π取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油
漆．）
【答案】(1)见解析
(2)1628元
【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；
（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．
【详解】（1）如图，
（2）5×2×2+2×2×π=20+4π≈20+3.14×4=32.56（平方米）
32.56×50=1628（元）
答：需要花费1628元．
【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．
5.如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这
个几何体的主视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，有1个立
方块；中间有2竖列，其中1列有2个立方块；右边是1竖列，有1个立方块；结合四个选项选出答案．
【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，其中1列有2个立方块，右边是1
竖列．
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象
能力．
6.如图是由七个相同的小正方体拼成的立体图形，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（ ）
A．左视图是轴对称图形
B．主视图是中心对称图形
C．俯视图是中心对称图形但不是轴对称图形
D．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形
【答案】A
【分析】根据三视图的画法可得出该立体图形的三视图，再根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可
判断选择．
【详解】根据题意可得出该立体图形的三视图如下：
∴左视图是轴对称图形，故A正确，符合题意；
主视图不是中心对称图形，故B错误，不符合题意；
俯视图不是中心对称图形但是轴对称图形，故C和D错误，不符合题意；故选A．
【点睛】本题考查组合体的三视图，轴对称图形和中心对称图形的识别．得出该立体图形的三视图是解
题关键．
7.如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）这个几何体模型的名称是 ．
（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网
格中画出该几何体的左视图．
1
（3）若h=a+b，且a，b满足 a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．
4
【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．
【详解】试题分析：（1）观察平面展开图，侧面四个面是长方形，且上下两个底面也是长方形，所以折
叠后能围成长方体．（2）根据图1所标注的相关线段的长度画出长方体，根据立体图形和相关线段的长
度画出其左视图；（3）将给出的式子中10拆分成1+9，则所给式子写成两个完全平方式，因式分解后能
求出a、b的值，则h的值就能求出，然后由长方体的表面积计算公式求解．
试题解析：（1）由平面展开图得知，侧面四个面是长方形，且上下两个底面也是长方形，∴折叠后能围
成长方体．（2）根据图1所标注的相关线段的长度和给出的视图画出长方体，是长宽高分别为4,5,2的长
方体，则左视图是长为5，宽为2的长方形；画出图形，如图：
1 1
（3）将给出的式子中10拆分成1+9，则所给式子写成两个完全平方式，（ a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则 a
2 2
﹣1=0，b﹣3=0，∴a=2，b=3，所以h=a+b=2+3=5．所以此长方体的表面积为六个面的面积和：2（2×3+5×2+3×5）=62．
考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．
题型六：三视图还原几何体
1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱
【答案】A
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．
故选：A．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【答案】C
【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．
【详解】解：由三视图知，该几何体是三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、
俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物
体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图
是在物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．
【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为 ，
故选：A．
4.几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可．
【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键．
5.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是
圆锥．
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
6.如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正确的是（ ）
A．圆柱体 B．长方体 C．圆台 D．半圆柱和长方体组成的组合体
【答案】D
【分析】主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看的到的图形利
用三视图从平面图形到立体的进行空间转化即可．
【详解】解：从主视图看几何体得到的图形是半圆与长方形组合而成的，从左视图看几何体是长方体是
长方形，从俯视图看几何体得到的图形是长方形，
结合主视图与左视图，是一个上半是半圆柱体，下半是长方体，
从三视图综合看，是半圆柱和长方体结合．
故选择D．
【点睛】本题考查从平面图形到立体图形，利用三视图得出反应的几何体，掌握三视图所看到图的位置
和定义．准确把握观察角度是解题关键．是解题关键．
7.下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的
定义
8.如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．
【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度
不大．
题型七：三视图求边长
1.如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（ ）
A．2 B．3 C．√2 D．√3
【答案】D
【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．
【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，
由题意可知AD的长即为所求，AB=2，∠B=60°，
∴AD=ABsinB=√3，
故选D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相
关知识进行求解．
2.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中a的值为（ ）
A．2 B．√3 C．1.7 D．1.8
【答案】B
【分析】观察图形可知，该几何体为三棱柱，其左视图的宽等于俯视图正三角形底边上的高，设俯视图
为 ABC，作BH⊥AC于H，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BH长即可．
【△详解】解：如图，设俯视图为 ABC，作BH⊥AC于H，
△
∵△ABC为正三角形，
∵AC=2，
∴AH=HC=1，AB= AC=2，∴BH=√22−12=√3 ，
则a=BH=√3 ．
故选：B．
【点睛】本题考查三视图、等边三角形的性质以及勾股定理，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关
键.
3.如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（ ）
3
A．2 B．3 C．√3 D． √3
2
【答案】D
【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利用三角
函数解直角三角形即可
【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，
1
由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF= BD =3，则边长AB为3，
2
连AC交BD于E，则AC⊥BD，
由左视图得AE=CE=x，
在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，
∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，
3 3√3
∴BE= ，AE=AB•cos30°= ，
2 2
3√3
即x= ．
2故选择：D.
【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的
俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间
想象能力．
4.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体所有棱长之和为（ ）
A．48 B．40 C．24√2+16 D．28
【答案】B
【分析】根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，即可求出这个长方体的所有棱长之和．
【详解】解：如图所示，AB=3√2，
∵AC2+BC2=AB2，而AC=BC，
∴AC=BC=3，
∴正方形ACBD的周长为：3×4=12，
故这个长方体的所有棱长之和为：12×2+4×4=40．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用三视图求长方体的棱长以及勾股定理的运用，得出长方体各部分的棱长是
解决问题的关键．
5.如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为
.（结果保留π）
【答案】2√2π
【分析】先求出圆锥底面半径，然后根据扇形的弧长为圆锥底面的圆周长进行计算即可解答.
【详解】解：因为圆锥的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，1
所以圆锥底面半径为：R＝
×√22+22=√2
2
圆锥侧面展开扇形的弧长为圆锥底面的圆周长，
所以，弧长为：2√2π
故答案为2√2π
【点睛】本题考查解直角三角形和圆锥三视图，熟练掌握是解题的关键.
6.三棱柱的三视图如图所示，在俯视图 EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长
为 cm． △
【答案】7
【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．
【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EG=14cm，∠EGF=30°，
1
∴EQ=AB= ×14=7（cm）．
2
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键．
7.如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所
示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（ ）A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm
【答案】C
【分析】由主视图知道，高是15cm，两顶点之间的最大距离为40cm，再利用正六边形的性质求得底面
对边之间的距离，然后所有棱长相加即可解答．
【详解】解：根据题意，如图：作出实际图形的上底，连接AD,
由主视图可知：CE=40,
∵正六边形
1
∴CD=OC=OD=OA=AC= CE=20,
2
∴四边形OACD是菱形
∴OC⊥BD
1
∴BC= CD=10
2
∴AB=√AC2−BC2=√202−102=10√3，则AD=2AB=20√3，
∴胶带的长至少=20√3×6+15×6=120√3+90≈207.84+90=297.84≈297.8cm．
故选C．
【点睛】本题考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力，知道正六边形两个顶点间的最大距离求对
边之间的距离需构造直角三角形是解答本题的关键．
题型八：三视图求侧面积或表面积
1.将四个棱长为1的正方体如图摆放，则这个几何体的表面积是（ ）A．3 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【详解】试题分析：观察几何体，得到这个几何体向前、向后、向上、向下、向左、向右分别有3个正
方形，则它的表面积=6×3×1=18．
故选D．
考点：几何体的表面积．
2.如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2
【答案】B
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面
积公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
1
所以这个几何体的侧面积＝ ×π×6×8＝24π（cm2）．
2
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
3.如图所示是一种棱长分别是2cm，3cm，4cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，
如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是 cm2．
【答案】168
【分析】如果用6块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长3×2=6cm，宽4cm，高3×2=6cm的长方
体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解．
【详解】解： 长3×2=6cm，宽4cm，高3×2=6cm（4×6+4×6+6×6）×2
=（24+24+36）×2
=84×2
=168（cm2）．
故答案为：168．
【点睛】考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式，难点是得到搭成的大长方体的
长宽高．
4.图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S =x2+3x,S =x2+x,则S =（ ）
主 左 俯
A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x
【答案】C
【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵S =x2+3x=x(x+3)，S =x2+x=x(x+1)，
主 左
∴俯视图的长为(x+3) ，宽为(x+1)，
∴S =(x+3)(x+1)=x2+4x+3．
俯
故选：C
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左
视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
5.如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）A．20π B．18π C．16π D．14π
【答案】B
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可．
4
【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为r= =2，
2
∴这个几何体的表面积
=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积
=πr2+2πrℎ +πrl
=22π+2×2×2π+3×2π=18π，
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆
锥和圆柱组合体是解题的关键．
6.如图是一个长方体的主视图和左视图，其中左视图的面积是x2−4．则
（1）用x表示图中长方体的高为 ．
（2）用x表示其俯视图的面积 ．
【答案】 (x+2) x2−2x
【分析】（1）根据左视图的面积计算即可；
（2）根据主视图和左视图中的数据计算即可．
(x+2)(x−2)
【详解】解：（1）长方体的高为：(x2−4)÷(x−2)= =x+2，
x−2故答案为：(x+2)；
（2）其俯视图的面积为：x(x−2)=x2−2x，
故答案为：x2−2x．
【点睛】本题考查了三视图，整式的混合运算，读懂三视图是解题的关键．
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
【答案】3π+4
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，
故答案为：3π+4．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难
度不大．
题型九：小立方块堆砌图形的表面积
1.如图，在一次数学活动课上，张明用10个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其
他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝
隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几
何体的表面积为 ．
【答案】 17 48
【分析】最小的大正方体是由小方块组成的3×3×3的大正方体，据此可得王亮至少需要的小立方体的个
数．根据题意得到题中堆积体的俯视图，并进行标数（地图标数法），即可得出王亮所搭几何体的表面
积．【详解】解：由题可知，最小的大正方体是由小方块组成的3×3×3的大正方体，
所以按照张明的要求搭几何体，王亮至少需要27﹣10＝17个小立方体．
根据题意得到题中堆积体的俯视图，并进行标数（地图标数法）：
由上图的俯视图可知，能将其补充为完整的3×3×3的大正方体的剩余部分的俯视图为：
由此可得，王亮所做堆积体的三视图，主、左、俯三视图面积皆为8，
所以王亮所搭几何体的表面积为（8+8+8）×2＝48，
故答案为：17，48．
【点睛】本题主要考查了几何体的表面积，由三视图判断几何体的知识，能够确定所搭几何体的形状是
解答本题的关键．
2.用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为
1，则搭成的几何体的表面积是 ．
【答案】28或30
【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，
相加解答即可．
【详解】解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，
所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，
故答案为：28或30．
【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3.如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的正方形孔（阴影部
分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 cm2．
【答案】252
【分析】根据正方体6个外表面的面积、9个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可．
【详解】解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），
9个内孔的内壁的面积为1×1×4×4×9﹣1×1×4×6＝120（cm2），
因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为132+120＝252（cm2），
故答案为：252．
【点睛】本题考查正方体的表面积，求出“内孔”的内壁面积是解决问题的关键．
4.如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6
个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，
…依次规律，则第（20）个几何体的表面积是 个平方单位．
【答案】1260
【分析】结合图形，发现每一个图形的表面积得出规律计算即可；
【详解】结合图形，发现：（1）中1×6=6个平方单位，（2）中(1+2)×6=18个平方单位，以此推论
可得第（20）个图形的表面积是(1+2+⋅⋅⋅+20)×6=1260个平方单位．
故答案为：1260．
【点睛】本题主要考查了与图形有关的规律题型，结合图形表面积的计算是解题的关键．
5.如图是由10个边长为2cm的小正方体组合成的简单几何体．(1)画出该几何体从三个方向看到的形状图；
(2)该几何体的表面积（含底面）是______．
【答案】(1)见解析
(2)152(cm2)
【分析】（1）根据三视图的画法画出相应的图形即可；
（2）根据三视图求解几何体表面积即可．
【详解】（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示：
（2）该几何体的表面积为(6×2+6×2+6×2+1+1)×4=152(cm2)，
故答案为：152(cm2)．
【点睛】本题考查三视图的画法、求简单几何体的表面积，熟练掌握三视图的画法，解答的关键是注意
不要遗漏中间两个正方形的面积．
6.把边长为1个单位的6个相同正方体摆成如图的形式．
（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）直接写出该几何体的表面积为______；
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么
最多可以再添加 ______个小正方体．
【答案】（1）见解析；（2）21；（3）2．【分析】（1）利用三视图的画法解题；
（2）利用几何体的形状计算其表面积；
（3）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置．
【详解】(1)如图，
(2)几何体的表面积：4+3+3+4+5+2=21
故答案为：21；
(3)最多可以再添加2个正方体，如图，
故答案为：2．
【点睛】本题考查作图—三视图、几何体的表面积等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解
题关键．
题型十：三视图求体积
1.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【答案】A
【分析】由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为2√2，利用勾股定理可得俯视图的面积，根据
长方体的体积公式底面积乘以高即为这个长方体的体积．
【详解】解：设俯视图的正方形的边长为a．∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为2√2，
∴a2+a2=（2√2）2，
解得a2=4，
∴这个长方体的体积为4×3=12．
故选A．
【点睛】本题主要是考查三视图的基本知识以及长方体体积计算公式．解决本题的关键是理解长方体的
体积公式为底面积乘高，难点是利用勾股定理得到长方体的底面积．
2.如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12π B．18π C．24π D．30π
【答案】B
【分析】根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积．
【详解】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6．
4 2
空心圆柱体的体积为π×( )2×6-π×( )2×6=18π．
2 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象．
3.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B．2 C．√2 D．4
【答案】B
【分析】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直
角边长为1，高为2，
1
则，等腰直角三角形的底面积= ×2×1=1，
2
体积=底面积×高=1×2=2，
故选：B
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状
是解决本题的关键．
4.如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（ ）
A．m3−3m2+2m B．m3−2m
C．m3+m2−2m D．m3+m2−m
【答案】C
【解析】分别求出这个长方体的长宽高，即可得出答案．
【详解】由图可知，长方体的长为m+2，宽为m-1，高为m，根据体积公式可得，体积为
(m+2)(m−1)m=m3+m2−2m，
故答案选择 C．
【点睛】本题重点考查的知识点是三视图以及长方体的体积公式，涉及到了整式的乘法运算，比较容易
把m看错成宽．
5.如图是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图
形形状，即可得出小正方体的个数．
【详解】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1＝4个小正方体，第二层有1个小
正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1＝5个．
∴这个几何体的体积是5×13＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查了对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌
握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．
6.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125√3 B．100√3 C．75√3 D．30√3
【答案】C
【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行
计算即可．
【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为O，AB=5,OC⊥AB，
则：OA=OB,∠AOB=60°，
1 5
∴OA=OB=AB=5，AC= AB= ，
2 25
∴OC=√OA2−AC2= √3，
2
1 5 75√3
∴底面面积为：6× ×5× √3= ，
2 2 2
75
∴该几何体的体积为： √3×2=75√3；
2
故选C．
【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体．
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
【答案】48−3π
【分析】根据三视图确定几何体的形状为一个正方体中间去掉一个圆柱体，根据三视图数据计算体积．
【详解】解：由三视图可知，原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，
正方体的边长为1+2+1=4，圆柱体的直径为2，两者的高度都为3，
∴该几何体的体积为42×3−π×
(2) 2
×3= 48−3π，
2
故答案为：48−3π．
【点睛】此题考查了几何体的三视图，计算几何体的体积，正确掌握几何体的三视图的理解是解题的关
键．
8.如图，图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图
是两个全等的等腰三角形．若主视图腰长为6，俯视图是直径等于4的圆，则这个几何体的体积为 ．
16√2π
【答案】
3
【分析】先由三视图判定几何体是圆锥，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后由圆锥的体积公式计算即
可．【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆锥，
圆锥的高为：
√
62−
(4) 2
=4√2
2
1 (4) 2 16√2π
∴V= π× ×4√2= ，
3 2 3
16√2π
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查由三视图判定几何体，圆锥的计算，由三视图判定几何体是圆锥，根据三视图求出圆
锥的高是解题的关键
9.李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了
部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？
【答案】17π cm3
【分析】根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和．
【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是2cm和4cm，
高分别是4cm和1cm，
∴体积为：4π×22+π×12×1=17π（cm3）．
答：该工件的体积是17π cm3．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，正确的得到几何体的形状是解题的关键．
10.如图，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，如图1，
液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2．则液体
的体积为 ．【答案】24
【分析】首先根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长，由题意
可知液体正好是一个以 BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积．
【详解】∵CQ=5dm，B△C=4dm，
∴BQ=√52−42=3dm，
1
∴液体的体积为：V = ×3×4×4=24（dm3）．
液 2
故答案为：24dm3．
【点睛】本题考查了四边形的体积计算以及三视图的认识和勾股定理的运用，正确理解棱柱的体积的计
算是关键．
题型十一：几何体视图的面积
1.如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是 ．
【答案】4√3
【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根
据勾股定理计算圆锥的高，继而根据三角形面积公式进行求解即可得．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2=4π，解得r=2，
因为圆锥的主视图是等边三角形，
所以圆锥的母线长为4，
所以它的左视图的高=√42−22=2√3，
1
所以左视图的面积为 ×4×2√3=4√3，
2
故答案为4√3．
【点睛】本题考查了三视图的相关计算以及圆锥的计算，熟练掌握圆锥的俯视图与圆锥的底面圆直径、
主视图与圆锥母线长之间的关系是解题的关键．
2.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 （ ）A．12 B．15 C．20 D．60
【答案】B
【分析】根据左视图与主视图宽相等，主视图与俯视图长相等，确定主视图的长、宽，即可求解．
【详解】由左视图和俯视图可得：主视图的长为5，宽为3，
∴主视图的面积为3×5=15，
故选B．
【点睛】本题考查了三视图及其之间的数量关系，熟练掌握三视图的特点是解题的关键．
3.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A．4 B．2 C．√3 D．2√3
【答案】D
【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用
面积公式计算即可．
【详解】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
√3
∵底面等边三角形的高=2×sin60°=2× =√3，
2
∴ 它的左视图的面积是2√3，
故选：D．
【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体
的长、宽、高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
4.如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上顺时针旋转90°后，左视图的面积为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先根据题意画出顺时针旋转90°后的左视图即可解答．
【详解】解：将该几何体在桌面上顺时针旋转90°后的左视图如图：
则左视图的面积为4．
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，掌握左视图就是从左边看到的图形是解答本题的关键．
5.如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先根据组合体画出它的俯视图，再求俯视图的面积即可求得．
【详解】解：该组合体的俯视图为：
故该组合体的俯视图的面积为：1×1×3=3
故选：B
【点睛】本题考查了组合体的俯视图，熟练掌握和运用画组合体的俯视图的方法是解决本题的关键．
6.如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（ ）．A．主视图的面积为4 B．左视图的面积为4
C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4
【答案】A
【分析】根据三视图的绘制，首先画出三视图再计算其面积.
【详解】解：A．主视图的面积为4，此选项正确；
B．左视图的面积为3，此选项错误；
C．俯视图的面积为4，此选项错误；
D．由以上选项知此选项错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查三视图的画法，关键在于正面方向.
7.如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S =a2,S =a2+a，则S =（ ）
主 左 俯
A．a2+a B．2a2 C．a2+2a+1 D．2a2+a
【答案】A
【分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．
【详解】∵S =a2=a·a,S =a2+a=a(a+1)，
主 左
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴S =a·(a+1)=a2+a，
俯
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．
8.一个几何体的三视图及相应的棱长如图所示，则左视图的面积为（ ）
A．15 B．30 C．45 D．62
【答案】A
【分析】观察图形可知几何体的长、宽、高，再根据左视图是长方形即可求解．
【详解】解：观察图形可知，该几何体为长3，宽3，高5的长方体，
左视图的面积为3×5=15．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题关键．
9.用7个大小相同的小正方体组成如图所示的几何体，其主视图、俯视图、左视图的面积分别为S ，S ，
1 2
S ，则S ，S ，S 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．S ＝S ＞S B．S ＝S ＜S
1 2 3 1 2 3
C．S ＞S ＞S D．S ＞S ＝S
1 2 3 1 2 3
【答案】A
【分析】根据三视图的面积的大小关系求解即可．
【详解】解：设小正方体的棱长为1，
主视图：底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形，故主视图的面积为S =5；
1
左视图：底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，故左视图的面积为S =4；
3
俯视图：底层左边是一个小正方形，中层是三个小正方形，上层是一个小正方形，故俯视图的面积为
S =5．
2
所以S =S ＞S ，
1 2 3
故选：A．
【点睛】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的
正面，左面，上面看得到的图形．题型十二：三视图求小立方体的个数
1.由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是
.
【答案】5
【分析】根据三视图得出这个几何体的构成情况，由此即可得．
【详解】解：由三视图可知，这个几何体的构成情况如下：（数字表示相应位置上小正方形的个数）
则构成这个几何体的小正方体的个数是2+1+1+1=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题关键．
2.如图是由n个相同的小正方体组合成的一个几何体的三视图，则n的值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据其主视图与左视图可知该几何体共有2行3列2层，接下来结合其俯视图即可确定其每行每
列每层上小正方体的个数，由此即可解答本题即可．
【详解】解：根据主视图及左视图得出该几何体共有2行3列2层，再结合其俯视图可得几何体底层有4
个小正方体，第2层有1个，共计有5个小正方体．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，仔细观察已知信息，综合利用三视图的信息是解题的关键．
3.由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字
表示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（ ）A．x＝1或2，y＝3 B．x＝1或2，y＝1或3
C．x＝1，y＝1或3 D．x＝2，y＝1或3
【答案】A
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图2列中的个数，分析其中的数字，
从而求出x、y的值．
【详解】解：由俯视图可知，该组合体有两行两列，
左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列最高叠2个正方体，故x＝1或2；
由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了根据三视图判断几何体的构成及对几何体三种视图的空间想象能力．注意找到该几
何体的主视图中每列小正方体最多的个数．
4.用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数
为( )
A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为
2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
5.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体
的个数最多是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层最多小正方体的个数，由主视图可得第二层小
正方体的最多个数，相加即可．
【详解】由俯视图易得最底层最多有6个小正方体，第二层最多有4个小正方体，那么搭成这个几何体的
小正方体最多为6+4 = 10个．
故选：C
【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，如
果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
6.由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉 个小正方体后的几何体的主视图和左视图
都是图2所示图形．
【答案】3、4、5
【分析】拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层最少必须有2
个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，即可知可以拿掉小立方块的个数．
【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，
所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，如图，故答案为：3，4、5．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是
由立体图形得到三视图，学生由于空间想象能力不够，易造成错误．
7.用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置
小正方体的个数，则这个几何体至少有 个小正方体组成，至多又是 个．
【答案】 9 11
【分析】对俯视图各位置标号，如图，观察俯视图，可知几何体类似九宫格，a位置对应主视图中最右列，
只能是3个正方体；b，c位置对应主视图中间列，只能是1个正方体。俯视图中的d，e，f位置不确定，
三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置为1到2个，即可求解．
【详解】解：对俯视图各位置标号，
观察俯视图，可知几何体类似九宫格，a位置对应主视图中最右列，只能是3个正方体；b，c位置对应主
视图中间列，只能是1个正方体，俯视图中的d，e，f位置不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方
体，其他位置为1到2个。
所以至少为9个，至多为11个.
故答案为：9；11．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握由三视图还原几何体是解题的关键．
8.如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【分析】根据主视图和左视图分析即可．
【详解】解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成，
∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体的个数为1+3=4个，
故选：A．
【点睛】本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的
考查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
