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§8.3 圆的方程
考试要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与
一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
圆心C ( a ， b )
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
方 半径为r
程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心C
一般
(D2＋E2－4F>0) 半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2>r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|0.( √ )
0 0 0 0
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )
题组二 教材改编2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2
＝2.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
4．(2021·石家庄模拟)圆心在直线x－2y＋7＝0上的圆C与x轴交于两点A(－2,0)，B(－
4,0)，则圆C的方程为________．
答案 (x＋3)2＋(y－2)2＝5
解析 因为直线AB的中垂线方程为x＝－3，代入直线x－2y＋7＝0，得y＝2，
故圆心的坐标为C(－3,2)，再由两点间的距离公式求得半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5.
题组三 易错自纠
5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a<－2 B．－0，
即3a2＋4a－4<0，
∴－20)，
则由题意得解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，
即2＋y2＝.
方法二 (几何法)
因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
由题意知圆E的圆心又在x轴上，
所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|＝＝，
所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
2．(2021·潍坊调研)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案 B
解析 由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为 B(0,1)，由题意可知
要使所求圆的半径最大，则r ＝|AB|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
max
故选B.
3．(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2
＋y2＝4的两个交点，当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为________．
答案 2＋2＝1解析 由l：x－y＋2＝0与C：x2＋y2＝4联立得(y－2)2＋y2＝4，
得y＝1或y＝2，则两交点坐标为A(－，1)，B(0,2)，
当圆M的面积最小时，圆M以AB为直径，
则圆心，半径为＝1，
圆M的标准方程为2＋2＝1.
思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
题型二 与圆有关的最值问题
例1 (1)(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－
2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
答案 2
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝的圆．
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
故解得故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
本例(2)中，求x2＋y2的最大值和最小值．
解 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆
的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的
几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
跟踪训练1 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ| ＝4＋2＝6，
max
|MQ| ＝4－2＝2.
min
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
题型三 与圆有关的轨迹方程
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以k ·k ＝－1，
AC BC
又k ＝，k ＝，所以·＝－1，
AC BC
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，
所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x ，y)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y
0 0
＝，
所以x＝2x－3，y＝2y.
0 0
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x＝2x－3，y＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
0 0
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求
线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解 设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x，y)，
0 0
由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，
∴x＝，y＝，于是有x＝2x－8，y＝2y－6.
0 0
∵点A在圆C上运动，
∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，
即x＋y＋4x＝0，
0
∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，
化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，
即(x－3)2＋(y－3)2＝1.
故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆．
课时精练
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
答案 C
解析 方法一 易知D＝4，E＝－6，F＝－3，则－＝－2，－＝3，＝4，故圆心坐标为(－
2,3)，半径为4.
方法二 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径
为4.
2．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－2)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1
答案 A
解析 设圆的圆心为(a,0)，则＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A.
3．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(
)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 A
解析 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求
圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4．已知圆C ：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C 与圆C 关于直线x－y－1＝0对称，则圆C 的方
1 2 1 2
程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－2)2＝4
答案 B
解析 根据题意，设圆C 的圆心为(a，b)，
2
圆C ：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，
1
若圆C 与圆C 关于直线x－y－1＝0对称，则圆C 与C 的圆心关于直线x－y－1＝0对称，
2 1 1 2
且圆C 的半径为2，则有解得
2
则圆C 的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
2
5．(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M，
则实数a的取值可以为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 AB
解析 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.
又因为弦AB的中点为M，
故M点在圆内，所以2＋2<5－a，即a<3.综上a<3.
故选AB.
6．(多选)设有一组圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
k
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆C 均不经过点(3,0)
k
C．经过点(2,2)的圆C 有且只有一个
k
D．所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，
∴B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，
∴经过点(2,2)的圆C 有两个，C错误；
k
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．
7．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是
________．
答案 1
解析 圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为
C(2，－m＋4)，半径r＝1的圆，
则|OC|＝，所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短
距离是|OC|－r＝2－1＝1.
8．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为
________．
答案 2
解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，
直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
9．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为
x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________．
答案 5－3
解析 圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1，关于x轴对称的圆为圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，
则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝－3＝5－3.
10．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数 a的取值范围是
________________．答案 [－3，－1]∪[1,3]
解析 圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－
a)2＝8 上总存在点到原点的距离为，得 2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3，解得 1≤a≤3 或－
3≤a≤－1.
∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．
11．已知圆心为C的圆经过点A和B，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
解 (1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵圆经过点A和B，
且圆心在直线L：x＋y－1＝0上，
∴
解得a＝3，b＝－2，r＝5，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为d＝＝5>5，
∴直线与圆C相离，
∴|PQ|的最小值为d－r＝5－5.
12．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l ：x＋y＋3＝0上，直线l 经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|
1 2
QM|的最小值．
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题意知直线l 是此圆的切线，
2
连接CQ，
则|QM|＝＝，
当|QM|最小时，|CQ|最小，
此时CQ⊥l，
1|CQ|＝＝4，
则|QM|的最小值为＝4.
13．直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则
△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
答案 A
解析 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆
心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得d ＝2＋r＝3，d ＝2－r
max min
＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·d ＝6，△ABP面积的最小值为|
max
AB|·d ＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A.
min
14．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(
)
A．2 B. C. D.
答案 C
解析 由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x
－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－
6b＋6＝0，
∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴＋＝(a＋3b)
＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选C.
15．(2020·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r
＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实
数m的取值范围是________．
答案
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线
PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此
最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d＝|CP|＝.所以＝≥，解得－16≤m≤4.
16．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x,2－y)．
由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM
的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S ＝××＝，
△POM
故△POM的面积为.
