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第一次月考难点特训（二）和绝对值的几何意义有关的压轴题
1．阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间
的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离
是 3 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 | x +1 | ，如果|AB|＝2，那么x为 1
或﹣ 3 ；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ﹣ 1 ， 0 ， 1 ， 2 ；
（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．
【解答】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：1﹣（﹣3）＝1+3＝4；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；
故答案为：4；3；
（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，
∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，
解得x＝1或﹣3；
故答案为：|x+1|；1或﹣3；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，
∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2．
故答案为：﹣1，0，1，2；
（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，
∴当x＝2时，y最小，
即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．
故x＝2时，y最小，最小值为4．
2．先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距
离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴
上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点 2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到
点C，则点B和点C表示的数分别为 ﹣ 2. 5 和 1 ，B，C两点间的距离是 3. 5 ．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 | x +1 | ；如果|AB|＝3，那么x为 2
或﹣ 4 ．
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣ 1 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等．
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣ 5 ≤ x ≤ 2 ，最小值是 7
．
【解答】解：（1）如图，
B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的距离是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
故答案为：﹣2.5，1，3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为：|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
如果|AB|＝3，即|x+1|＝3，
x+1＝3或﹣3，
那么x为﹣4或2；
故答案为：|x+1|，2或﹣4；
（3）|x+4|＝|x﹣2|，表示点A到﹣4和2的距离相等，
若点A表示的整数为x，则当x为﹣1时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
故答案为：﹣1；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
最小值为：2﹣（﹣5）＝7，
故答案为：﹣5≤x≤2，7．
3．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距
离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴
上所对应的两点之间的距离．
（1）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 | x +1 | ，如果点A、B的距离为
3，那么x为 2 或﹣ 4 ；
（2）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣ 1 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（3）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣ 5 ≤ x ≤ 2 ；
（4）要使|x﹣3|+|x+2|＝7，则x的值为 4 或﹣ 3 ．【解答】解：（1）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为：|x﹣（﹣1）|＝|x+1|；
如果AB＝3，即|x+1|＝3，
x+1＝3或﹣3，
解得：x为﹣4或2，
故答案为：|x+1|；﹣4或2；
（2）|x+4|＝|x﹣2|，表示点A到﹣4和2的距离相等，
若点A表示的整数为x，则当x为﹣1时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
故答案为：﹣1；
（3）|x+5|+|x﹣2|表示x在数轴上的对应点与﹣5、2所对应点的距离之和，
要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为：﹣5≤x≤2；
（4）∵|x﹣3|+|x+2|＝7，
若x＞3，则原式可化为（x﹣3）+（x+2）＝7，
∴x＝4；
若﹣2≤x≤3，则﹣（x﹣3）+（x+2）＝7，无解；
若x＜﹣2，则﹣（x﹣3）﹣（x+2）＝7，
∴x＝﹣3，
∴x＝4或x＝﹣3，
故答案为：4或﹣3．
4．认真阅读下面的材料，完成问题．
在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5
的点到原点的距离，实际上可理解为，|5|＝|5﹣0|，即5到0点的距离．又如|5﹣3|表示5、3在
数轴上对应的两点之间的距离；|5﹣（﹣3）|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离，容
易知道|5﹣（﹣3）|＝|5+3|＝8，即5与﹣3相距8个单位长度．
一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）利用上面的知识回答：点A、B在数轴上分别表示有理数﹣5、1，那么A到B的距离可表
示为 | ﹣ 5 ﹣ 1 | ，这个距离的计算结果是 6 ．
（2）利用上面的知识回答：若|x﹣1|＝2，则x＝ ﹣ 1 或 3 ．
（3）利用上面的知识回答：|x﹣2|+|x+1|的最小值是 3 ．
【解答】解：（1）∵A到B的距离为|﹣5﹣1|＝6，
故答案为：|﹣5﹣1|，6；
（2）|x﹣1|＝2表示x到表示数1的距离是2，由数轴可知，到1距离为2的点有两个：﹣1或3，
故答案为：﹣1或3；
（3）|x﹣2|+|x+1|表示x到2的距离与x到﹣1的距离之和，
∵2﹣（﹣1）＝3，
∴在2和﹣1之间的点到两点间的距离和最小，最小为3，
而在2的右边和在﹣1的左边的点到两点的距离和都大于3，
∴|x﹣2|+|x+1|的最小值是3．
故答案为：3．
5．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 5
；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x
与5两点之间的距离可以表示为 | x ﹣ 5 | ，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为 | y +1 |
．
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ 1 或﹣ 5 ；若数轴上表示数a的
点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a＝ 1 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 9 ．
【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4﹣1＝3；数轴上表示﹣3和2两点
之间的距离是2﹣（﹣3）＝5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|
m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x﹣5|，表示数y与﹣1两点之间
的距离可以表示为|y+1|．
故答案为：3，5，|x﹣5|，|y+1|；
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么|a﹣（﹣2）|＝3
∴|a+2|＝3
∴a+2＝3或a+2＝﹣3
解得a＝1或a＝﹣5；
∵|a+4|+|a﹣2|表示数a与﹣4的距离与a和2的距离之和，
若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值等于2和﹣4之间的距离，等于
6．
故答案为：1或﹣5；
（3）|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|表示一点到﹣5，1，4三点的距离的和，∴当a＝1时，该式的值最小，最小值为6+0+3＝9．
∴当a＝1时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是9．
故答案为：1，9．
6．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数
轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）|5﹣（﹣2）|＝ 7 ；当|5﹣（﹣2）|＝|x|时，x＝ ± 7 ．
（2）|x+5|表示 x 与 ﹣ 5 之间的距离；|x﹣2|表示 x 与 2 之间的距离；找出所
有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数有 ﹣ 5 ，﹣ 4 ，﹣ 3 ，﹣ 2 ，﹣ 1 ， 0 ，
1 ， 2 （直接写出答案）
（3）由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，
写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7；
|5﹣（﹣2）|＝|x|，
即|5+2|＝7＝|x|，
∴x＝±7．
故答案为：7，±7．
（2）当x＞2时，
|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，
解得x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，
故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，
故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，
得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在，
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2．
（3）|x+3|+|x﹣6|有最小值，最小值是9．
理由：当x＞6时，|x+3|+|x﹣6|＝x+3+x﹣6＝2x﹣3＞9；
当﹣3≤x≤6时，|x+3|+|x﹣6|＝x+3+6﹣x＝9；
当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣6|＝﹣3﹣x+6﹣x＝3﹣2x＞9，
故|x+3|+|x﹣6|有最小值，最小值是9．
7．阅读材料：我们知若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．
则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料试探索：
（1）|5﹣（﹣2）|＝ 7 ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|＝7成立．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；
如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）∵|5﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数﹣2的点
之间的距离，
∴|5﹣（﹣2）|＝7；
故答案为：7；
（2）∵|x+5|+|x﹣2|＝7，
∴﹣5≤x≤2，
∴符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值3，理由如下：
∵|x﹣3|+|x﹣6|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离与数轴上
表示有理数x的点与表示有理数6的点之间的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|最小，且此时|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+（6﹣x）＝3．
8．|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．
如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；
（2）表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；
（3）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 | m ﹣ n | ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
（5）若x为有理数，则|x+12|+|x﹣8|的最小值为 2 0 ．
【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：|4﹣1|＝3；
故答案为：3；
（2）表示﹣3和2两点之间的距离是：|﹣3﹣2|＝5；
故答案为：5；
（3）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；
故答案为：|m﹣n|；
（4）∵数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴﹣4＜a＜2，
∴|a+4|+|a﹣2|＝a+4+2﹣a＝6；（5）∵|x+12|+|x﹣8|理解为：在数轴上表示点x到﹣12和8的距离之和，
∴当点x在﹣12与8之间的线段上，即﹣12≤x≤8时，
|x+12|+|x﹣8|有最小值，
最小值为：8﹣（﹣12）＝20．
故答案为：20．
9．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数
轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的
距离．试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|＝ 6 ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；
如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）原式＝|4+2|＝6
故答案为：6；
（2）令x﹣4＝0或x+2＝0时，则x＝4或x＝﹣2
当x＜﹣2时，
∴﹣（x﹣4）﹣（x+2）＝6，
﹣x+4﹣x﹣2＝6，
x＝﹣2（范围内不成立）
当﹣2＜x＜4时，
∴﹣（x﹣4）+（x+2）＝6，
﹣x+4+x+2＝6，
6＝6，
∴x＝﹣1，0，1，2，3
当x＞4时，
∴（x﹣4）+（x+2）＝6，
x﹣4+x+2＝6，
2x＝8，
x＝4，
x＝4（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4
（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．10．（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是
3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；
②数轴上表示x和2的两点之间的距离是 | x ﹣ 2 | ；数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是
| x +1 | ；（用含x的式子表示）
③当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣ 1 ≤ x ≤ 2 ；
④当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是 x ＝ 2 ；
⑤求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|的最小值．
【解答】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2﹣5|＝3，
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|﹣2﹣（﹣5）|＝3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1﹣（﹣3）|＝4；
②数轴上表示x和2的两点的距离是|x﹣2|，
数轴上表示x和﹣1的两点的距离是：|x﹣（﹣1）|＝|x+1|；
③在数轴上，|x+1|+|x﹣2|的意义是表示x的点和表示﹣1的点距离
与表示x的点到表示2的点的距离之和，
∴当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|的值最小，最小值是|2﹣（﹣1）|＝3．
④在数轴上，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的意义是表示x的点和表示﹣1的距离与表示x的点到表示2的
点距离以及表示x的点到表示3的点距离之和，
∴当x＝2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值是|3﹣（﹣1）|＝4；
⑤|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|表示x的点到表示1、2、3...2021的点距离之和，∴当x＝ ＝1011时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+...+|x﹣2021|最小值是：
1+2+3+…+1010+0+1+2+3+…+1010
＝（1+2+3+…+1010）×2
＝（1+1010）×1010
＝1021110．
11．综合探究
阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能
够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用
这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数4与1对应的两点之间的距离为|4﹣1|＝3；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣4与3对应的两点之间的距离为|﹣4﹣3|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
…
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离
表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：（1）数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于 5 ；数轴上有理数x与
﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 | x +5 | ；若数轴上有理数x与﹣3对应的两点
A，B之间的距离|AB|＝4，则x等于 ﹣ 7 或 1 ；
联系拓广：（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为
﹣2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝ 6 ．
②若|PN|＝2|PM|，即点P到点N的距离等于点P到点M距离的2倍，则x等于 2 或 1 0 ．
能力提升：若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ 6 ．
③若|x+2|+|x﹣4|＝12，则x等于 ﹣ 5 或 7 ．【解答】（1）由题意得，数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于|2﹣（﹣3）|＝5，
数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x﹣（﹣5）|＝|x+5|；
若数轴上有理数x与﹣3对应的两点A，B之间的距离|AB|＝4，
则|x﹣（﹣3）|＝4，
当x﹣（﹣3）＝4时，解得x＝1，
当x﹣（﹣3）＝﹣4时，解得x＝﹣7，
故答案为：|5，|x+5|，﹣7或1；
（2）①当点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝x﹣（﹣2）+4﹣x＝6，
②若|PN|＝2|PM|，当点P在线段MN上时，
得x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），
解得x＝2，
当点P位于点M右侧时，
得x﹣（﹣2）＝2（x﹣4），
解得x＝10，
若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6，
若|x+2|+|x﹣4|＝12，则点P位于点N左侧或点M的右侧，
当点P位于点N左侧时，
得﹣x﹣2+4﹣x|＝12，
解得x＝﹣5，
当点P位于点M右侧时，
得x+2+x﹣4＝12，
解得x＝7，
故答案为：①6，②2或﹣10，6，③﹣5或7．
12．综合与探究
阅读材料：
数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形
结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的
差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；……如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离
表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：
（1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于 5 ；数轴上有理数x与﹣5对应
的两点之间的距离用含x的式子表示为 | x +5 | ；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之
间的距离|AB|＝2，则x等于 1 或﹣ 3 ；
联系拓广：
（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P
表示的数为x．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 A 或 B 题．
A．①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝ 6 ；
②若|PM|＝2|PN|，即点P到点M的距离等于点P到点N的距离的2倍，则x等于 0 或﹣ 8
．
B．①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ 6 或﹣ 4 ；
若|x+2|+|x﹣4|＝10，则x＝ 6 或﹣ 4 ；
②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于 8 ．
【解答】解：（1）根据绝对值的定义：
数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于5；
数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；
A，B之间的距离|AB|＝2，则x等于1或﹣3，
故答案为：5，|x+5|，1或﹣3；
（2）A．①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝6；
②若|PM|＝2|PN|，P在MN之间或在M左侧，则x等于0或﹣8；
B．①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝6；
若|x+2|+|x﹣4|＝10，则x＝6或﹣4；
②|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，即：x与4，2，0，﹣2之间距离和最小，这个最小值＝4﹣（﹣2）+（2﹣0）＝8．
故答案为：6，2或10，6或﹣4，8．
