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2022-2023 学年八年级数学上册第一单元检测卷（A 卷）
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】B
【解答】解：A、∵32+42＝52，
∴以3、4、5为边能组成直角三角形，
即3、4、5是勾股数，故本选项错误；
B、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，
即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；
C、∵52+122＝132，
∴以5、12、13为边能组成直角三角形，
即5、12、13是勾股数，故本选项错误；
D、∵62+82＝102，
∴以6、8、10为边能组成直角三角形，
即6、8、10是勾股数，故本选项错误；
故选：B．
2．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a＝6，b＝12，c＝10
【答案】D
【解答】解：A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C＝ ×180°＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；
故选：D．
3．如图，数轴上点B表示的数为1，AB⊥OB，且AB＝OB，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交数
轴正半轴于点C，则点C所表示的数为（ ）A． B．﹣ C． ﹣1 D．1﹣
【答案】A
【解答】解：如图，在Rt△AOB中，AB＝OB＝1，则OA＝ ＝ ＝ ．
∵以O为圆心，以OA为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，
∴OC＝OA＝ ，
∴点C表示的实数是 ．
故选：A．
4．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法错误的是（ ）
A．∠C＝90° B．a2＝b2﹣c2 C．c2＝2a2 D．a＝b
【答案】B
【解答】解：由∠A：∠B：∠C＝1：1：2；得：∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°；所以A正确．
由勾股定理可得：c2＝a2+b2，所以B错误．
因为∠A＝∠B＝45°，则a＝b，同时c2＝a2+b2＝2a2．所以C、D正确．
故选：B．
5．如图字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【答案】C
【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方＝169，一直角边的平方＝25，
根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面积是144．故选：C．
6．已知直角三角形的两直角边之比是3：4，周长是36，则斜边是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3k，4k，则斜边为5k．
由题意3k+4k+5k＝36，
解得k＝3，
所以斜边为5k＝15．
故选：C．
7．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯
（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m
∴AB＝ ＝ ＝4m，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．
故选：C．
8．一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.
2分到家，则他的家离公司距离为（ ）米．
A．100 B．500 C．1240 D．1000
【答案】D
【解答】由题意知，该职工下班后向东走了5.6×50米，向南走了19.2×50米，
∵东西方向与南北方向互相垂直，
∴该职工家离公司的距离为＝ ＝1000米．
故选：D．
9．如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为
EF，则△ABE的面积为（ ）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【答案】A
【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED＝BE，
设AE＝xcm，则ED＝BE＝（9﹣x）cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2＝BE2，
∴32+x2＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴△ABE的面积为：3×4× ＝6（cm2）．
故选：A．
10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦
五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定
理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在
矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．121
【答案】C
【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
易得△CAB≌△BOF≌△FLG，
∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，
∴OA＝OL＝3+4＝7，∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，
所以四边形AOLP是正方形，
边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110．
故选：C．
二、填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
11．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳
子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角时，绳子末端D距A点还有1米，那么旗杆BC
的高度为 米．
【答案】10
【解答】解：如图，依题意得AB+1﹣BC＝11米，
而在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝ AB，
∴BC＝10米．
故填空答案：10．
12．一长为13m的木梯，架在高为12m的墙上，这时梯脚与墙的距离是 m．
【答案】5
【解答】解：∵梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，
∴梯脚与墙角的距离＝ ＝5（m）．故答案为：5．
13．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝ ．
【答案】7
【解答】解：由勾股定理可知OB＝ ，OC＝ ，OD＝
∴OD2＝7．
14．一根电线杆在一次台风中于地面3米处折断倒下，杆顶端落在离杆底端4米处，电线杆在折断之
前高 米．
【答案】8
【解答】解：由勾股定理得斜边为 ＝5米，
则原来的高度为3+5＝8米．
即电线杆在折断之前高8米．
故答案为8．
15．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．
【答案】4.8．
【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD＝ ＝4，
又∵S△ABC ＝ BC•AD＝ BP•AC，
∴BP＝ ＝ ＝4.8．
故答案为：4.8．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以
对角线OB为边作第二个正方形OBB C ，再以对角线OB 为边作第三个正方形OB B C ，…，照此
1 1 1 1 2 2
规律作下去，则B 的坐标是 ；B 的坐标是 ．
2 2022
【答案】（0，2 ），（0，﹣（ ）2023 ）．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，OB＝ ，
∴OB ＝ ，
1
∴OB ＝ ，
2
∴B 的坐标是（0， ），
2
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 ，
∴旋转8次则OB旋转一周，
∵从B到B 经过了2022次变化，
2022
2022÷8＝252……6，
∴从B到B 与B 都在y轴负半轴上，
2022 6∴点B 的坐标是（0，﹣（ ）2023）．
2022
故答案为：（0，2 ），（0，﹣（ ）2023 ）．
三、解答题（本题共6题，17、18题8分，19-22题10分）。
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝20，AC＝15，BD＝16．求AB的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∴CD＝ ＝ ＝12，
∴AD＝ ＝9，
∴AB＝AD+BD＝9+16＝25．
18．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，假
如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，
即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，
同理，∠ACD＝90°
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD
＝ ×3×4+ ×5×12
＝6+30
＝36．
19．如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？
如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？【解答】解：在Rt△AOB中，∵AB＝25m，OB＝7m，OA2＝AB2﹣OB2，
∴OA＝ ＝ ＝24（ m），
∵AA′＝4m，
∴OA′＝OA﹣AA′＝20m；
在Rt△A′OB′中，∵OB′2＝A′B′2﹣OA′2，
∴OB′＝ ＝15（ m），
∴BB′＝OB′﹣OB＝8（m）．
故这个梯子的顶端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4m，而是滑动了8m．
20．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，
使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，
现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
即CD的长为3cm．
21．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝
90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于
Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【解答】解：由图可得：
正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，
即S正方形ACFD ＝S△BAE +S△BFE ，
∴b2＝ c2+ ，
整理得：a2+b2＝c2．
22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的
破坏力，据气象台观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为
12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏
东30°的方向往C移动，如图所示，且台风中心的风力不变．若城市所受风力超过4级，则称受台
风影响．
（1）该城市是否会受台风的影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，则台风影响城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝240，
∴AD＝ AB＝120，
∵城市受到的风力超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作 A交BC于E、F．
则AE＝AF＝200．
⊙
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2 ＝320．
∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）＝7.2（级）．
