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模型 11、竖直面圆周运动
【模型特点】
物体做圆周运动的速率是时刻在改变的,由于机械能守恒，物体在最高点处的速率最小，在最底点处
的速率最大。
物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力;
而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向可能有三种情况。
(1)弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 ,即 否则不能通过最高
点。
(2)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有 ,即
(3)弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。可以
进一步讨论:
①当v=0时， , 为支持力，沿半径背离圆心②当 时， ;, 背离圆心，随v的增大而减小
③当 时，
④当 时， ; 指向圆心并随v的增大而增大。
【模型解题】
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同.
(2) 确定临界点: ,对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是 表现
为支持力还是拉力的临界点.
(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程, 。
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
【模型训练】
【例1】如图所示，是一个固定在桌面上处于竖直状态的光滑大圆环，大圆环上套着一个小圆环。小圆环
由静止开始从最高点下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小圆环所受支持力先做负功后做正功 B．支持力的冲量为零
C．小圆环所受重力的瞬时功率先增大后减小 D．支持力的功率先增大后减小
变式1.1如图所示,竖直固定的圆环轨道半径为R,在环的最低点放置一个小球,给小球一水平向右的瞬时速
度v,小球会在环内运动．不计一切摩擦,重力加速度为g,为保证小球运动过程中不脱离轨道,瞬时速度v可能
为A． B．
C． D．
变式1.2如图，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一，挡板
固定喜爱地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m，现给小球一水
平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方
向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），小球在最低点的瞬时速度必须满足
A．最小值 ,最大值 B．最小值 ,最大值
C．最小值 ,最大值 D．最小值 ,最大值
【例2】如图所示，质量为m的汽车，沿半径为R的半圆形拱桥运动，当汽车通过拱桥最高点B时速度大
小为v，则此时（ ）
A．汽车速度越大，对拱形桥压力越大
B．在B点的速度最小值为
C．若汽车速度等于 ，汽车将做平抛运动，越过桥后落地点与B点的水平距离为
D．若汽车对桥顶的压力为 ，汽车的速度大小为变式2.1如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度
大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小
之比为（ ）
A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1
变式2.2如图所示，汽车通过拱桥最高点时 （ ）
A．汽车队桥的压力等于汽车所受的重力
B．汽车队桥的压力大于汽车所受的重力
C．汽车速度越大，它对桥面的压力就越大
D．汽车速度越大，它对桥面的压力就越小
【例3】在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆
轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为 ，重力加速度为 ，不计空气
阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
变式3.1如图所示，质量为m的物体从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v，若
物体与碗的动摩擦因数为μ，则物体滑到最低点时受到的摩擦力的大小是（ ）A．μmg B． C． D．
变式3.2如图所示，上表面光滑，半径为 的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，
若给小物块一水平速度 ，重力加速度 取 ，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成 角
【例4】如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运
动，下列有关说法中正确的是（ ）
A．小球能够到达最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2 ，则此时小球对管道的内壁有作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为 ，则小球通过最低点时与管道内壁有相互作用力
变式4.1如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，小球直径略小于管道的尺寸，
内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是（ ）A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最低点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
变式4.2如图所示，在竖直平面内的光滑圆形管道的半径为 （管径远小于 ），小球 、 大小相同，质
量均为 ，直径均略小于管径，均能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过管道最低点，且当小
球 在最低点时，小球 在最高点，重力加速度为 ，以下说法正确的是（ ）
A．当 时，小球 在管道最高点对管道压力为0
B．速度 至少为 ，才能使两球在管内做完整的圆周运动
C．当小球 在最高点对管道无压力时，小球 比小球 所需向心力大
D．只要两小球能在管内做完整的圆周运动，就有小球 在最低点对管道的压力比小球 在最高点对管
道的压力大
【例5】一竖直平面内半径为R的光滑圆轨道如图所示，一质量为m的小球（可视为质点）在大小恒定、
方向始终指向圆心的外力的作用下，在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运动，当小球通过最低点B时，小球的
速度大小 （g为重力加速度大小），轨道对小球的弹力大小为2mg，求：
（1）外力的大小；
（2）小球运动到最高点时所受的弹力大小。变式5.1长l＝0.5m的轻绳，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2kg。现让A在竖直平面内绕O点做
圆周运动，如图所示。（g＝10m/s2）求：
（1）如果A恰好能到达最高点，此时A的速度为多少？
（2）当A在最高点的速度为4m/s时，A对绳子的作用力为多少？
变式5.2一质量为 0.5 kg 的小球，用 0.4 m 长的细线拴住，在竖直平面内做圆周运动．(g 取 )
求：
（1）若小球恰能过最高点，则最高点的速度 v 为多少？
（2）当小球在圆周最低点速度为 6 m/s 时，细线的拉力是多少？
