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模型 11、竖直面圆周运动
【模型特点】
物体做圆周运动的速率是时刻在改变的,由于机械能守恒，物体在最高点处的速率最小，在最底点处的速
率最大。
物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力;
而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向可能有三种情况。
(1)弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 ,即 否则不能通过最高点。
(2)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有 ,即
(3)弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。可以进一
步讨论:
①当v=0时， , 为支持力，沿半径背离圆心②当 时， ;, 背离圆心，随v的增大而减小
③当 时，
④当 时， ; 指向圆心并随v的增大而增大。
【模型解题】
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同.
(2) 确定临界点: ,对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是 表现
为支持力还是拉力的临界点.
(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程, 。
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
【模型训练】
【例1】如图所示，是一个固定在桌面上处于竖直状态的光滑大圆环，大圆环上套着一个小圆环。小圆环
由静止开始从最高点下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小圆环所受支持力先做负功后做正功 B．支持力的冲量为零
C．小圆环所受重力的瞬时功率先增大后减小 D．支持力的功率先增大后减小
【答案】C
【详解】A．小圆环在运动过程中只受到重力和支持力作用，且支持力始终沿半径方向，初始阶段背离圆
心，之后指向圆心，支持力方向始终与速度方向垂直，所以支持力始终不做功，A错误；
B．根据动量定理可知，动量的变化量等于重力冲量与支持力冲量的矢量和，由于初末速度沿水平方向，即动量变化沿水平方向，而重力冲量竖直向下，所以支持力的冲量肯定不为零，B错误；
C．小圆环在下滑过程中，竖直方向的速度先增加后减小，所以重力的瞬时功率先增大后减小，C正确；
D．因支持力始终不做功，故支持力的功率始终为零，D错误。
故选C。
变式1.1如图所示,竖直固定的圆环轨道半径为R,在环的最低点放置一个小球,给小球一水平向右的瞬时速
度v,小球会在环内运动．不计一切摩擦,重力加速度为g,为保证小球运动过程中不脱离轨道,瞬时速度v可能
为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】小球在环内做圆周运动，恰好通过最高点时，
，
从最高点运动到最低点的过程中，根据动能定理可知，
，
解得
；
小球在圆心所在水平线以下做运动时，
，
解得
；
小球不脱离轨道，速度v满足解得
， ，A. 在速度范围内，所以A满足题意，故A正确；
B. 不在速度范围内，所以B不满足题意，故B错误；
C. 不在速度范围内，所以C不满足题意，故C错误；
D. 不在速度范围内，所以D不满足题意，故D错误；
变式1.2如图，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一，挡板
固定喜爱地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m，现给小球一水
平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方
向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），小球在最低点的瞬时速度必须满足
A．最小值 ,最大值 B．最小值 ,最大值
C．最小值 ,最大值 D．最小值 ,最大值
【答案】C
【详解】在最高点，速度最小时有：
解得：
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设最低点的速度为v′，根据机械能守恒定律，有：
1
解得：
要使不会使环在竖直方向上跳起，环对球的压力最大为：F=2mg
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设此时最低点的速度为v′，
2
在最高点，速度最大时有：
根据机械能守恒定律有：
解得：
所以为保证小球能通过环的最高点，且不会使木板离开地面，在最低点的初速度范围为：
A．最小值 ，最大值 ，与结论不相符，选项A错误；
B．最小值 ，最大值 ，与结论不相符，选项B错误；
C．最小值 ，最大值 ，与结论相符，选项C正确；
D．最小值 ，最大值 ，与结论不相符，选项D错误；
【例2】如图所示，质量为m的汽车，沿半径为R的半圆形拱桥运动，当汽车通过拱桥最高点B时速度大
小为v，则此时（ ）
A．汽车速度越大，对拱形桥压力越大
B．在B点的速度最小值为
C．若汽车速度等于 ，汽车将做平抛运动，越过桥后落地点与B点的水平距离为D．若汽车对桥顶的压力为 ，汽车的速度大小为
【答案】C
【详解】A．当汽车通过拱桥最高点B时速度大小为v，设此时桥顶对汽车的支持力为F ，由牛顿第二定
N
律可得
解得
可知汽车速度越大，拱形桥对汽车的支持力越小，由牛顿第三定律，可知汽车对拱形桥压力越小，A错
误；
B．当汽车在B点的速度为 时，由以上计算可知，此时桥对汽车的支持力是零，即汽车的最大速度是
，B错误；
C．若汽车速度等于 ，汽车与桥顶无相互作用力，汽车将做平抛运动，越过桥后到落地点，下落的高
度则有
解得
落地点与B点的水平距离为
C正确；
D．若汽车对桥顶的压力为 ，由牛顿第三定律，可知桥顶对汽车的支持力大小为 ，由牛顿第二定律
可得解得汽车的速度大小为
D错误。
故选C。
变式2.1如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度
大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小
之比为（ ）
A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1
【答案】B
【详解】在最高点，根据牛顿第二定律
在最低点，根据牛顿第二定律
解得
故选B。
变式2.2如图所示，汽车通过拱桥最高点时 （ ）
A．汽车队桥的压力等于汽车所受的重力B．汽车队桥的压力大于汽车所受的重力
C．汽车速度越大，它对桥面的压力就越大
D．汽车速度越大，它对桥面的压力就越小
【答案】D
【详解】汽车通过拱桥最高点时由重力和支持力的合力提供向心力
解得
根据牛顿第三定律可知对桥面的压力 <mg，汽车速度越大，它对桥面的压力就越小。
故选D。
【例3】在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆
轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为 ，重力加速度为 ，不计空气
阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，小球在A点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律
有
解得故A错误；
B．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆
心的连线与竖直方向的夹角为 ，由牛顿第二定律有
解得
故B错误；
C．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为
，即小球经过B点时速度变化率大小为 ，故C正确；
D．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运
动，小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C点时的速度方向不可能竖直向下，故D错误。
故选C。
变式3.1如图所示，质量为m的物体从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v，若
物体与碗的动摩擦因数为μ，则物体滑到最低点时受到的摩擦力的大小是（ ）
A．μmg B． C． D．
【答案】D
【详解】物体滑到最低点时
得
物体滑到最低点时受到的摩擦力的大小变式3.2如图所示，上表面光滑，半径为 的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，
若给小物块一水平速度 ，重力加速度 取 ，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成 角
【答案】C
【详解】A．设小物块在半圆柱体顶端做圆周运动的临界速度为 ，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第
二定律得
解得
因为
所以小物块将离开半圆柱体做平抛运动，故A错误；
B．小物块做平抛运动时竖直方向满足
水平位移为
联立解得故B错误；
C．小物块落地时竖直方向分速度大小为
落地时速度的大小为
联立解得
故C正确；
D．由于
故落地时速度方向与水平地面成 角，满足
解得
故D错误。
故选C。
【例4】如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运
动，下列有关说法中正确的是（ ）
A．小球能够到达最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2 ，则此时小球对管道的内壁有作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为 ，则小球通过最低点时与管道内壁有相互作用力【答案】A
【详解】AB．圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，故A正确，B错误；
C．设管道对小球的弹力大小为 ，方向竖直向下。由牛顿第二定律得
解得
方向向下，根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力，对
管道的内壁没有作用力，故C错误；
D．在最低点，根据牛顿第二定律，有
解得
所以小球通过最低点时对管道的外壁有作用力，故D错误。
故选A。
变式4.1如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，小球直径略小于管道的尺寸，
内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最低点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】C
【详解】A．由于管道在最高点可以对小球产生向上的支持力，由牛顿第二定律当 时，速度最小，解得
故A错误；
B．小球从最高点运动到最低点的过程中，重力做正功，小球速度增大，所以通过最低点的速度大于0，故
B错误；
C．小球在与圆心等高的水平线ab以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径向外，
小球所需的向心力是沿半径向圆心的，所以小球一定受到外侧管壁指向圆心的作用力，内侧管壁对小球一
定无作用力，故C正确；
D．小球在与圆心等高的水平线ab以上的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径向圆
心，小球所需的向心力也是沿半径向圆心的；若小球的速度较小，重力沿半径方向上的分力大于或等于小
球做圆周运动所需的向心力，外侧管壁对小球就没有作用力，故D错误。
故选C。
变式4.2如图所示，在竖直平面内的光滑圆形管道的半径为 （管径远小于 ），小球 、 大小相同，质
量均为 ，直径均略小于管径，均能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过管道最低点，且当小
球 在最低点时，小球 在最高点，重力加速度为 ，以下说法正确的是（ ）
A．当 时，小球 在管道最高点对管道压力为0
B．速度 至少为 ，才能使两球在管内做完整的圆周运动
C．当小球 在最高点对管道无压力时，小球 比小球 所需向心力大
D．只要两小球能在管内做完整的圆周运动，就有小球 在最低点对管道的压力比小球 在最高点对管道的压力大
【答案】A
【详解】AC．当小球 在最高点对轨道无压力时，所需要的向心力
从最低点到最高点，由机械能守恒可得
对于 球，在最低点时，所需要的向心力
联立解得
小球 比小球 所需向心力大 ，故C错误，A正确；
B．小球在最高点的速度只要大于零，小球即可通过最高点，最高点的临界速度为0，根据机械能守恒定律
得
解得
即速度 至少为 ，才能使两球在管内做完整的圆周运动，故B错误；
D．由B分析可知，若 ，两小球恰能在管内做完整的圆周运动，小球 在最高点对轨道的压力大
小
小球 在最低点时有
解得小球 在最低点对轨道的压力比小球 在最高点对轨道的压力大 ，故D错误。
故选A。
【例5】一竖直平面内半径为R的光滑圆轨道如图所示，一质量为m的小球（可视为质点）在大小恒定、
方向始终指向圆心的外力的作用下，在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运动，当小球通过最低点B时，小球的
速度大小 （g为重力加速度大小），轨道对小球的弹力大小为2mg，求：
（1）外力的大小；
（2）小球运动到最高点时所受的弹力大小。
【答案】（1）8mg；（2）8mg
【详解】（1）设外力大小为F，小球在最低点时，由牛顿第二定律有
解得
F=8mg
（2）施加的外力始终指向圆心，外力不做功，故小球从A点运动到B点的过程机械能守恒，有
解得
设小球在A点受到的弹力大小为FA，当小球通过A点时，由牛顿第二定律有
解得
变式5.1长l＝0.5m的轻绳，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2kg。现让A在竖直平面内绕O点做圆周运动，如图所示。（g＝10m/s2）求：
（1）如果A恰好能到达最高点，此时A的速度为多少？
（2）当A在最高点的速度为4m/s时，A对绳子的作用力为多少？
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）A恰好能到达最高点，则有
代入已知数据求得
（2）当A在最高点的速度为4m/s时，根据牛顿第二定律有
代入已知数据求得
由牛顿第三定律可得，A对绳子的作用力为
变式5.2一质量为 0.5 kg 的小球，用 0.4 m 长的细线拴住，在竖直平面内做圆周运动．(g 取 )
求：
（1）若小球恰能过最高点，则最高点的速度 v 为多少？
（2）当小球在圆周最低点速度为 6 m/s 时，细线的拉力是多少？
【答案】（1） （2）50N【详解】解：(1) 小球恰能过最高点,小球在圆上最高点时，重力提供向心力，根据牛顿第二定律知：
解得最高点的速度：
(2)小球在圆上最低点时，合力提供向心力根据牛顿第二定律知：
解得细线的拉力：
