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模型 11、竖直面圆周运动
【模型特点】
物体做圆周运动的速率是时刻在改变的,由于机械能守恒，物体在最高点处的速率最小，在最底点处的速
率最大。
物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力;
而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向可能有三种情况。
(1)弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 ,即 否则不能通过最高点。
(2)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有 ,即
(3)弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。可以进一
步讨论:
①当v=0时， , 为支持力，沿半径背离圆心②当 时， ;, 背离圆心，随v的增大而减小
③当 时，
④当 时， ; 指向圆心并随v的增大而增大。
【模型解题】
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同.
(2) 确定临界点: ,对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是 表现
为支持力还是拉力的临界点.
(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程, 。
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
【模型训练】
【例1】如图所示，是一个固定在桌面上处于竖直状态的光滑大圆环，大圆环上套着一个小圆环。小圆环
由静止开始从最高点下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小圆环所受支持力先做负功后做正功 B．支持力的冲量为零
C．小圆环所受重力的瞬时功率先增大后减小 D．支持力的功率先增大后减小
【答案】C
【详解】A．小圆环在运动过程中只受到重力和支持力作用，且支持力始终沿半径方向，初始阶段背离圆
心，之后指向圆心，支持力方向始终与速度方向垂直，所以支持力始终不做功，A错误；
B．根据动量定理可知，动量的变化量等于重力冲量与支持力冲量的矢量和，由于初末速度沿水平方向，即动量变化沿水平方向，而重力冲量竖直向下，所以支持力的冲量肯定不为零，B错误；
C．小圆环在下滑过程中，竖直方向的速度先增加后减小，所以重力的瞬时功率先增大后减小，C正确；
D．因支持力始终不做功，故支持力的功率始终为零，D错误。
故选C。
变式1.1如图所示,竖直固定的圆环轨道半径为R,在环的最低点放置一个小球,给小球一水平向右的瞬时速
度v,小球会在环内运动．不计一切摩擦,重力加速度为g,为保证小球运动过程中不脱离轨道,瞬时速度v可能
为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】小球在环内做圆周运动，恰好通过最高点时，
，
从最高点运动到最低点的过程中，根据动能定理可知，
，
解得
；
小球在圆心所在水平线以下做运动时，
，
解得
；
小球不脱离轨道，速度v满足解得
， ，A. 在速度范围内，所以A满足题意，故A正确；
B. 不在速度范围内，所以B不满足题意，故B错误；
C. 不在速度范围内，所以C不满足题意，故C错误；
D. 不在速度范围内，所以D不满足题意，故D错误；
变式1.2如图，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一，挡板
固定喜爱地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m，现给小球一水
平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方
向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），小球在最低点的瞬时速度必须满足
A．最小值 ,最大值 B．最小值 ,最大值
C．最小值 ,最大值 D．最小值 ,最大值
【答案】C
【详解】在最高点，速度最小时有：
解得：
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设最低点的速度为v′，根据机械能守恒定律，有：
1
解得：
要使不会使环在竖直方向上跳起，环对球的压力最大为：F=2mg
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设此时最低点的速度为v′，
2
在最高点，速度最大时有：
根据机械能守恒定律有：
解得：
所以为保证小球能通过环的最高点，且不会使木板离开地面，在最低点的初速度范围为：
A．最小值 ，最大值 ，与结论不相符，选项A错误；
B．最小值 ，最大值 ，与结论不相符，选项B错误；
C．最小值 ，最大值 ，与结论相符，选项C正确；
D．最小值 ，最大值 ，与结论不相符，选项D错误；
【例2】如图所示，质量为m的汽车，沿半径为R的半圆形拱桥运动，当汽车通过拱桥最高点B时速度大
小为v，则此时（ ）
A．汽车速度越大，对拱形桥压力越大
B．在B点的速度最小值为
C．若汽车速度等于 ，汽车将做平抛运动，越过桥后落地点与B点的水平距离为D．若汽车对桥顶的压力为 ，汽车的速度大小为
【答案】C
【详解】A．当汽车通过拱桥最高点B时速度大小为v，设此时桥顶对汽车的支持力为F ，由牛顿第二定
N
律可得
解得
可知汽车速度越大，拱形桥对汽车的支持力越小，由牛顿第三定律，可知汽车对拱形桥压力越小，A错
误；
B．当汽车在B点的速度为 时，由以上计算可知，此时桥对汽车的支持力是零，即汽车的最大速度是
，B错误；
C．若汽车速度等于 ，汽车与桥顶无相互作用力，汽车将做平抛运动，越过桥后到落地点，下落的高
度则有
解得
落地点与B点的水平距离为
C正确；
D．若汽车对桥顶的压力为 ，由牛顿第三定律，可知桥顶对汽车的支持力大小为 ，由牛顿第二定律
可得解得汽车的速度大小为
D错误。
故选C。
变式2.1如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度
大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小
之比为（ ）
A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1
【答案】B
【详解】在最高点，根据牛顿第二定律
在最低点，根据牛顿第二定律
解得
故选B。
变式2.2如图所示，汽车通过拱桥最高点时 （ ）
A．汽车队桥的压力等于汽车所受的重力B．汽车队桥的压力大于汽车所受的重力
C．汽车速度越大，它对桥面的压力就越大
D．汽车速度越大，它对桥面的压力就越小
【答案】D
【详解】汽车通过拱桥最高点时由重力和支持力的合力提供向心力
解得
根据牛顿第三定律可知对桥面的压力
