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红河州第一中学 2023 届高三年级第二次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 ：贺启飞 陈浩 刘少林 马红兵 孙果香 马宏 张进 侯建胜
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D
解析：选 .
解析：选 .集合 ， ,所以 .
解析：选 由已知得 .
解析：选 D. ， ， ， ，所以
.
解析：选 若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是 人， 人，4人，5人，6人，所以去法有
种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，所以去
法有 种；故该宿舍同学的去法共有 种.
解析：选 .由图象可知 为奇函数，且过坐标原点.
D
解析：选 .设圆台的上、下底面半径和高分别为 母线长为 ，则
，得 ，又 ，所以 所以 .
解 析 ： 选 因 为 ， 所 以 ， 又 因 为 ， 所 以
，所以 ，所以 .
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ABD10×(0.005+0.010+x+0.030+0.035)=1 0.020
解析：选ABD. 对于A，由题意得 ，解得 ，故A正确；
∵(0.005+0.002+0.035)×10=0.6 (0.005+0.002+0.035+0.003)×10=0.9
对于B， ， ，故估计第75%分位数
0.75−0.6
是
80+ ×10=85
，故B正确；对于C，这组数据的平均数为
0.3
(55×0.005+65×0.02+75×0.035+85×0.03+95×0.01)×10=77
，故C错误；对于D，由直方图可知，众
数为75，故D正确，故选：ABD
π 2π (3π )
T=2⋅ =π =π ，1
解析：选 BC. 由题意知周期 2 ，即 ω ，所以ω=2，把 8 代入解析式，得
3π π π π π
2× +ϕ= +2kπ
，所以
ϕ=− +2kπ
，
，因为|ϕ|<
，所以
ϕ=−
，故函数 的解析式为
8 2 4 k∈Z 2 4 f (x)
( π) π π kπ
y=sin 2x− 2x− =kπ x= +
4 ，故 A 错误；令f (x)=0，得 4 ，即 8 2 ，k∈Z，故 B 正确；令
π π 3π kπ π π
2x− = +kπ ，得 x= + ， ，当 时， x=− ，即函数 的图象关于直线 x=−
4 2 8 2 k∈Z k=−1 8 f (x) 8
( π) [ ( π) π] ( π)
y=f x− =sin 2 x− − =sin 2x− =−cos2x
对称，故C正确； 8 8 4 2 为偶函数，故D错误；故选
BC.
解析：选 对于选项 ，当 时， ，由等比数列的定义可知， 是等比数
列 ，故 错误；对于选项 ，当 时， ，所以 既是等差数列，也是等比数列，故 正
确；
对于选项 ，当 ， 时， ，即 ，所以
是递减数列 ，故 正确；对于选项 ，当 ， 不是递增数列，不符合题意；当 时，
， 由 是 递 增 数 列 得 ， ， 所 以 或
，即 或 ，故 错误. 故选
|PF| 2 −|PF| 2 =(|PF|+|PF|)(|PF|−|PF|)=2a(|PF|+|PF|)≥2a⋅2c=4ac
解析： 1 2 1 2 1 2 1 2 ，当且仅当点P与C的(
b2
) (
b2
)
A c， B c，−
右 顶 点 重 合 时 等 号 成 立 ， 故 A 正 确 ； 当 AB⊥x 轴 时 ， 设 a ， a ， 则
1 1 a a 2a a
+ = + = ≠
|AF 2 | |BF 2 | b2 b2 b2 b2，故B错误；因为PO为△PF 1 F 2 的中线，所以 S △PF 1 O =S △PF 2 O，由题设
|PF|=2|PF| |PF|−|PF|=2a |PF|=4a |PF|=2a △PF F
知 1 2 ，又 1 2 ，所以 1 ， 2 ，在 1 2中，由余弦定理得
(2c) 2 =|PF
1
| 2 +|PF
2
| 2 −2|PF
1
||PF
2
|cos60∘
，所以
c2 =3a2
，故
e=√3
，故C正确；
y2
设 Q(x 0 ，y 0 )， M(x 1 ，y 1 )， N(−x 1 ，−y 1 )， 则 (x 0 −3) 2 +y2 0 =1 ， x 1 2 − 4 1 =1 ，
Q⃗M⋅Q⃗N=(x −x ，y −y )⋅(−x −x ，−y −y )=x2 +y2 −x2 −y2 =x2 +1−(x −3) 2 −x2 −4(x2 −1)=6x
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
−5x2 −4 x Q⃗M⋅Q⃗N 6×4−5×12 −4=15
1 ，当 0取最大值4， 取最小值1时， 取得最大值，最大值为 ，
故D正确；故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
5√2
答案 3.1%
3
解析：不妨取 ， 则 ， 所以 .
{m+n=2√2¿¿¿¿
解析：据题意 a=√2，c= √a2 −b2 =√2−1=1 ， 设 |PF|=n，|PF|=m， 则 得
1 2
√2 √2 5√2 5√2
n= ， m=2√2− = ， |PF|=
(2√2−n) 2 =4+n2 +2√2n ，解得 3 所以 3 3 即 2 3 .
解析：由全概率公式得该核桃是空壳的概率是2%×45%+4%×55%=3.1%
.
解析：建系如图： ，设 ，所
以 ， ,由 ,得 ,
因为
所 以 . 解 得
所以四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
解析：（1）补充列联表如下：
时间 少于7小时 不少于7小时 合计
年龄段
70后 30 60 90
80后 50 60 110
合计 80 120 200
假设 ：周平体育锻炼时间长短与年龄无关联，
，
依据小概率值 的独立性检验分析判断 成立，故周平均体育锻炼时间长短与年龄段无关联.
……………………………………………………………………………………………5分
（2）由题意可知：抽取的6人中，周平均体育锻炼时间少于7小时的有 人，不少于7小时的有
人；
则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
的分布列为：
数学期望 .……………………10分
解 析 ： 因 为 平 分 ， 所 以 ， 又 ， 所 以， .……………………6分
设 ， , ， ，
，得 ，当 时，即 时， ，
故矩形面积最大为 .………………………………………………12分
解析：（1）证明：由题意知，CD//AB，CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，所以AB//平面CDE，
因 为 AF∩DE=G，BF∩CE=H， 所 以 平 面CDE∩¿¿平 面 ABF=GH， 因 为 AB⊂平 面 ABF，
所以AB//GH，又AB⊂平面ABCD，GH⊄平面ABCD，所以GH//平面ABCD.………………5分
（2）以点E为原点建立如图所示空间直角坐标系
Rt△ABE ∠ABE=60∘ AB=AD=2 AE=√3，BE=1
在 中，由 ， ，得
E(0,0,0)，A(√3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(√3,0,2)，F(0,0,2)
所以
⃗EC=(0,1,2)，⃗ED=(√3,0,2)，⃗AF=(−√3,0,2)，⃗BF=(0,−1,2)
所以
CDE m=(x ,y ,z )
1 1 1
设平面 的一个法向量为 ，则
{ m⋅ ⃗EC =0¿¿¿¿ {y +2z =0 ¿¿¿¿
由 ， 得 ， 令 ， 得
1 1 z =√3
1
m=(−2,−2√3,√3)
ABF n=(x ,y ,z )
2 2 2
设平面 的一个法向量为 ，则
{
n⋅
⃗AF
=0¿¿¿¿ { −√3x +2z =0 ¿¿¿¿
由 ，得 ，令 ，得
2 2 z =√3 n=(2,2√3,√3)
2
|m⋅n| |−4−12+3| 13
|cos⟨m,n⟩|= = =
所以 |m||n| √19×√19 19
13
所以平面 与平面 的夹角的余弦值 .…………………………………………12分
ABF CDE 19解析： 若选择条件①：因为 ，所以 ，又 ，所以数列 是首
项为 ，公差为 的等差数列. 所以 ，所以 . 分
若选择条件②：因为 ，所以 .当 时，
，整理得， ，所以 ，累乘得， ，
当 时， ，符合题意，所以 . 分
若选择条件③：因为 ，所以 ，即 ，所以
，又 ，所以 ，即 . 分
由 知： ，结合参考公式可得：（注：若选择条件②，可以不用参考公式）
所以
所以
分
21. (1) l y−1=k(x+1) M(x ，y ) N(x ，y )
1 1 2 2
解析： 由题意可设直线 的方程为： ， ， ，则
{y =−8x ¿¿¿
¿
2 1 ，所以 ；又因为点 是 的中点，所以 ，所以
1 (y 1 −y 2 )(y 1 +y 2 )+8(x 1 −x 2 )=0 A MN y 1 +y 2 =2
y
1
−y
2 =
−8
=−4
x −x y +y ，所以k=−4，所以直线l的方程为：y−1=−4(x+1)，即4x+y+3=0.………4分
1 2 1 2
{x= my −1¿¿¿¿
(2) 设直线PQ的方程为：x=my−1，P(x ，y )，Q(x ，y )，则 ，所以y2 +8my−8=0；所
3 3 4 4y +y =−8m y y =−8
3 4 3 4
以 ， ，所以
y y y x +y x −(y +y )
k +K = 3 + 4 = 3 4 4 3 3 4
BP BQ x −1 x −1 (x −1)(x −1)
3 4 3 4
y x +y x −(y +y )=y (my −1)+y (my −1)−(y +y )=2my y −2(y +y )=−16m−2(−8m)=0
3 4 4 3 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 4
所 以
|BP| |BQ|
=
k
BP
+K
BQ
=0 ，所以BD是∠PBQ 的平分线，所以|PD| |DQ|，
|BP||DQ|=|BQ||PD|
即 .………………………………………………………………12分
解析： ，
，所以 .……………………………………………………………………… 分
当 时，因为 ， ，所以 ，
所以 ，令 ，
，令 ，则 ，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，由零点存在性定理，存在唯一实数 ，使得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ， ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上恒成立.………………………… 分
