文档内容
第 02 讲 三角恒等变换
（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公
式）
（14 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数的化简、求值
2024年新I卷，第4题,5分 用和、差角的余弦公式化简、求值
同角三角函数基本关系
2024年新I卷，第13题,5分 用和、差角的正切公式化简、求值 同角三角函数基本关系
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023年新I卷，第8题,5分 三角函数求值
二倍角的余弦公式
2023年新Ⅱ卷，第7题,5分 半角公式、二倍角的余弦公式 无
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 特殊角的三角函数值
用和、差角的余弦公式化简、求值
2022年新Ⅱ卷，第6题,5分 无
用和、差角的正弦公式化简、求值
正、余弦齐次式的计算
2021年新I卷，第6题,5分 二倍角的正弦公式
三角函数求值
逆用和、差角的余弦公式化简、求值 数量积的坐标表示
2021年新I卷，第10题,5分
二倍角的余弦公式 坐标计算向量的模
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分
【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公
式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考知识讲解
1. 正弦的和差公式
2. 余弦的和差公式3. 正切的和差公式
4. 正弦的倍角公式
5. 余弦的倍角公式
升幂公式：
，
降幂公式：
，
6. 正切的倍角公式
7. 半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝.
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
8. 万能公式
9. 和差化积与积化和差公式10.推导公式
11.辅助角公式
， ，其中 ，
考点一、 正弦两角和与差的基本应用
1．（福建·高考真题） 等于（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（全国·高考真题） =
A． B．
C． D．
3．（2020·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，
则 .1．（2024高三·全国·专题练习） ．
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经
过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）化简： ．
4．（2024·河南·三模）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·云南·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点 二 、 余弦两角和与差的基本应用
1．（高考真题）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
，则 （ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点 三 、 正切两角和与差的基本应用
1．（2019·全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
2．（重庆·高考真题）若 ,则
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．4．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
5．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·山西吕梁·二模）已知角 的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·三模）已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2024·江苏·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B．7 C． D．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·贵州黔东南·二模）已知 ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
考点 四 、 拼凑角思想在三角恒等变换中 求值1．（2024·四川·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（浙江·高考真题）若0＜α＜ ，﹣ ＜β＜0，cos（ +α）= ，cos（ ﹣ ）= ，则cos（α+
）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知 ， 满足 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北石家庄·三模）已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·山西·三模）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）已知 都是锐角， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．考点 五 、 拼凑角思想在三角恒等变换中 求角
1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知 ，且 和 均为钝角，则 的值为
（ ）
A． B． C． 或 D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 , ,且 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·全国·期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ，且 ， ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ， ， ， ，则
（ ）A． B． C． D． 或
考点 六 、 正弦 倍角公式的应用
1． （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川自贡·三模）已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山东济南·三模）若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2024·山东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
考点 七 、 余弦 倍角公式的应用
1．（山东·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
3．（2021·全国·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
4．（全国·高考真题）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
1．（2020·全国·高考真题）若 ，则 ．
2．（2024·北京顺义·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数且周期为 B． 为奇函数且在 上有最小值
C． 为偶函数且在 上单调递减 D． 为奇函数且 为一个对称中心
3．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 ， ．
考点 八 、 升幂公式与降幂公式的应用
1．（浙江宁波·期末） =
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）若 ，则 ．
3．（2024·浙江·三模）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角，满足 ，则
， ．
1．（2024·浙江绍兴·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ，则 ．
4．（2024·黑龙江·三模）已知 ，则 .
5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ，则
考点 九 、 正切 倍角公式的应用
1．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则 ．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 .
3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1．（2024高三·全国·专题练习） ．
2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．13
考点 十 、 半角公式的应用
1．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象
而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证
明更为优雅与有条理.如下图，点 为半圆 上一点， ，垂足为 ，记 ，则由
可以直接证明的三角函数公式是（ ）A． B．
C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知角 是第二象限角，且终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
2．（2023·全国·模拟预测）已知 是锐角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点 十一 、 辅助角公式的应用
1．（2024·全国·高考真题）函数 在 上的最大值是 ．
2．（2020·北京·高考真题）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．
3．（全国·高考真题）设当 时，函数 取得最大值，则 .
4．（2024高三·湖北·二模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
则当 取得最大值时， .
1．（2024·湖北·二模）函数 ，当 取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．2．（2024·四川南充·二模）已知函数 ．设 时， 取得最大值．则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·模拟预测）若函数 的最大值为 ，则常数 的一个取值为
．
4．（2024·河北保定·三模）已知锐角 ， （ ）满足 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
考点 十二 、 万能公式的综合应用
1．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知 为锐角且 ，则 的值是
．
2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知 ，则 ．
1．（2022·四川眉山·模拟预测）若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点 十三 、 积化和差与和差化积公式的综合应用1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽阜阳·一模）已知 ，则 ，
.
3．（2024·广东·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山东·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知角 ， ， 满足 ，且 ，则( )(
)( )=（ ）
A．0 B．1
C． D．
考点 十四 、 三角恒等变换的综合应用
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆·一模）已知: ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知角 满足： ，其中 ， ，，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2024·安徽阜阳·一模）已知 ，则 ，
.
2．（2024·重庆·三模）已知函数 满足 .若 是方程 的两根，则
= .
3．（2024·湖北荆州·三模）设 ， ， ，若满足条件的 与 存在
且唯一，则 ， .
4．（2024·四川成都·三模）若 为锐角三角形，当 取最小值时，记其最小值为
，对应的 ，则 .
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北保定·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西·模拟预测）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算： .
8．（2024·上海·模拟预测）已知 ， ，则 ．
9．（2024·江苏苏州·三模）函数 的值域是 .
10．（2024·湖南·模拟预测）已知 ， ，则 .
1．（2024·山东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北衡水·三模）已知 ，则m，n的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设 ，则“
”是“ ，
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．（2024·福建泉州·二模）若 ，且 与 存在且唯一，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西吕梁·三模）设函数 .若存在实数 使得 对任
意 恒成立，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在 中，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D．
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知 ， ， ，则 ．
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知 ，则 .
1．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
2．（2021·北京·高考真题）函数 是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
3．（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，
大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2020·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
6．（2020·浙江·高考真题）已知 ，则 ； ．
7．（2020·江苏·高考真题）已知 = ，则 的值是 .
8．（2020·全国·高考真题）若 ，则 ．
9．（2019·全国·高考真题）已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
10．（2019·江苏·高考真题）已知 ，则 的值是 .
11．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
12．（2019·全国·高考真题）函数 的最小值为 ．
13．（2018·全国·高考真题）已知 ，则 ．
14．（2018·全国·高考真题）已知 ， ，则 ．
15．（2018·全国·高考真题）若 ，则A． B． C． D．
16．（2018·全国·高考真题）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
17．（2018·全国·高考真题）已知函数 ，则
A． 的最小正周期为 ，最大值为
B． 的最小正周期为 ，最大值为
C． 的最小正周期为 ，最大值为
D． 的最小正周期为 ，最大值为
