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天一大联考
2022-2023学年高三年级上学期期末考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知在复平面内，复数z所对应的点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线 （ ）的焦点为F，直线 与C交于A，B两点，
若 ，则 （ ）
A．4 B． C．5 D．
4．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
5．已知在正方体 中， ， 交于点O，则（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D．
6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如
计算 时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，
其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算 8+12=20，进而找到下表中对应的数字
1048576，即 ．记 ，则
（ ）
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
n 11 12 … 19 20 21 22 23 24 25 …
2048 4096 … 524288 1048576 2097152 4194304 8388608 16777216 33554432 …
A． B． C． D．
7．已知点 ， ，若在直线 （ ， ）上存
在点A，使得 ，则（ ）A． B． C． D．
8．已知正数a，b满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
9．已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．已知在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，
（ 表示 的面积），则 （ ）
A． B． C． D．
11．若函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正四棱锥 的外接球半径为 ，底面边长为2， ．若SC垂直
于过点A的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间
（单位：h）统计后制成如图所示的统计图，则a=______．
14．已知函数 ， ， ，若 与的图象的对称轴相同，则 的一个值为______．
15．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生
准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为 A，B，C， ，
， ．现移动边AC，使得点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上运动，
则 （点O为坐标原点）的最大值为______．
16．过动点A作直线l与圆 相切于点B，若
（O为坐标原点），且 ，则实数 的取值范围为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长．现将某地近 5年电商
行业的从业人数统计如下表所示．
第x年 1 2 3 4 5
从业人数y（万人） 5 8 11 11 15
（Ⅰ）若y与x线性相关，求y与x之间的回归直线方程 ；
（Ⅱ）已知甲、乙、丙、丁、戊5名大学生今年毕业，其中3人的就业意向为电商行业，
其余2人的就业意向为金融行业，若从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的就业意向
为电商行业的概率．
参考公式：在线性回归方程 中， ， ．
18．（12分）
已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，且 的前n项和为 ，求满足不等式
的n的值．
19．（12分）
如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， M 为 棱 AD 的 中 点 ，， ，平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： 平面SAD；
（Ⅱ）求点M到平面SCD的距离．
20．（12分）
已知椭圆 （a>b>0）的离心率为 ，过右焦点且与x轴垂直的直线l与椭圆
C交于M，N两点，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若过点 的直线 与椭圆C交于P，Q两点，点R的坐标为 ，且
轴，探究：直线PR是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
21．（12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）设函数 ，判断 的单调性；
（Ⅱ）若当 时，关于x的不等式 恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标
原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
，点P的极坐标为 ．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）记M为直线l与曲线C的一个交点，其中 ，求 的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 ，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 ， ，使得 成立，求实数m的取值范围．
2022-2023学年高三年级上学期期末考试
文科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 B
命题意图 本题考查函数的定义域及集合的运算．
解析依题意， ，则 ．
2．答案 A
命题意图 本题考查复数的几何意义、复数的四则运算．
解析依题意， ．
3．答案 D
命题意图 本题考查抛物线的定义与方程．
解析 不妨设点 A 在第一象限，则 ，代人 中，解得 ，故
．
4．答案 D
命题意图 本题考查平面向量的数量积及其应用．
解析 依题意， ，故 ，则
．
5．答案 C
命题意图 本题考查空间线面的位置关系．
解析 作出图形如图所示，连接BD，因为 ， ，所以平面
平面 ，故 平面 ，其他三个选项易知是错误的．
6．答案 B
命题意图 本题考查对数的运算、数学文化．
解 析 因 为 ， ， 故， ， 则
，
则 ，
而 ，故 ，故选B．
7．答案 C
命题意图 本题考查双曲线的定义与性质．
解析 由题可知点A在双曲线 的下支上，故直线l与曲线C有交点．而曲
线C的渐近线为 ，直线 ，故 ，即 ．
8．答案 B
命题意图 本题考查基本不等式．
解 析 依 题 意 ， ． 而
，当且仅当 ，即 ， 时前
后两个不等号中的等号同时成立，所以 的取值范围为 ．
9．答案 B
命题意图 本题考查函数的图象与性质．
解析 当 时， ，故 在 上单调递减．
又 为奇函数，故 在 上单调递减．而 ，则 ，故
．
10．答案 C
命题意图 本题考查余弦定理、三角形的面积公式．
解 析 由 余 弦 定 理 可 得 ， 即 ① ， 又
，即 ②，①代人②可得
，整理可得 ，则 ，此时，由余弦定理可得 ．
11．答案 D
命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．
解 析 依 题 意 ， ， 令 ， 则 ． 令
，则 ．令 ，则 ，故当 时，
，当 时， ，故 在 上单调递减，在
上单调递增，故 ，故 ，则 ，故实数a的取值
范围为 ．
12．答案 A
命题意图 本题考查空间几何体的表面积与体积．
解析 设正四棱雉 的高为h，其外接球的半径为R．因为 ，
解得 或 ．当 时， ，不符合题
意；当 时， ，所以 为等边三角形．取 SC 的中点
E，连接 AE，则 ，且 ．设平面 直线 ，平面 直线
， 则 ， ． 在 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得
， 所 以 ． 在 中 ，
， 故 ， 故 ． 在 四 边 形 中 ，
，故 ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 0.08
命题意图 本题考查频率分布直方图．
解析 依题意， ，解得 ．
14．答案 （其他符合条件的答案也给分）
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 因为 与 的图象的对称轴相同，所以 ，故，因为 ，故
15．答案
命题意图 本题考查数学文化．
解析 如图，取AC的中点E，因为 为直角三角形，故 ．由于
为直角三角形，故 ，显然 ，
当且仅当O，B，E三点共线时等号成立，故 的最大值为 ．
16．答案
命题意图 本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系．
解 析 圆 C 的 方 程 可 化 为 ．
， 设 ， 则
，化简得 ，故点 A 的轨迹是以
为 圆 心 、 为 半 径 的 圆 ， 设 该 圆 的 圆 心 为 M ， 则
，故 ，则实数 的取值范围为
．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查回归直线方程、古典概型．
解析 （Ⅰ）依题意， ， ，
而 ， ，
故 ， ，
故所求回归直线方程为 ．
（Ⅱ）就业意向为金融行业的2人记为A，B，就业意向为电商行业的3人记为a，b，c．
任取3人，所有的情况为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c），
共10种，
其中满足条件的为（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，
c），（B，b，c），（a，b，c），共7种，
故所求概率 ．
18．命题意图 本题考查等差数列的通项公式、错位相减法、数列的性质．
解析 （Ⅰ）设等差数列 的公差为d，则
解得 ，
故 ．
（Ⅱ）依题意， ，
故 ，
则 ，
两 式 相 减 可 得
，
解得 ．
故 可转化为 ．
令 ，则 ，
故 ，即 单调递减．
注意到 ，所以满足条件的n的值为1，2．
19．命题意图 本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的体积．
解析 （Ⅰ）因为 ， ， ，
所以 且 ．
而 ，故四边形 为矩形，则 ．
因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ， 平面 ，故 且 ．因为 ， ， ，
所以 ，即 ．
而 ，故 平面 ．
（Ⅱ）记点M到平面 的距离为h．
如图，过点S作 ，垂足为Q，则 平面 ．
因为 ，故 ．
因为 平面 ，所以 ．
所以 ， ．
因为 ，即 ，故 ．
20．命题意图 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．
解析 （Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c（ ）．
依题意， ，故 ①．
联立 解得 ，故 ②．
联立①②，解得 ， ，
故椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）当直线PR的斜率不存在时，方程为 ．
若直线PR过定点，则该定点在y轴上．
当直线PR的斜率存在时，设直线PQ的方程为 ，
联立 消去y整理，得 ．
设 ， ，则 ， ， ．
所以直线PR的方程为 ．
令 ，得
．
因为 ，
所以 ．
所以此时直线PR过定点 ．
直线 也过点 ．
综上，直线PR经过定点 ．
21．命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．
解析 （Ⅰ）由题可知 ， ，
则 ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
（Ⅱ）依题意，当 时， 恒成立．
令 ， ，则 ．
令 ， ，则 ．
令 ， ，则 ，故 在 上单
调递增，
则 ，故 在 上单调递增，则 ．
当 时， ，此时 单调递增，从而 ，满足题意．
当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递
增，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号．
所以 ，
从而 ．
又 ， 在 上单调递增，故存在唯一的实数 ，
使得 ，且当 时， ， 单调递减，
所以当 时， ，不合题意，舍去．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
22．命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程之间的转化．
解析 （Ⅰ）由直线l的参数方程可得直线l的普通方程为 ，
将 ， 代入得 ，
故直线l的极坐标方程为 ．
而曲线 ，即 ，则 ，
故曲线C的直角坐标方程为 ．
（Ⅱ）由
可得 或 ．
因为 ，所以点 ，转化为极坐标为 ．
由于点P的极坐标为 ，
故 的面积 ．
23．命题意图 本题考查绝对值不等式的求解．
解析 （Ⅰ）依题意， ．当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（Ⅱ）依题意， ，
当 时，取“=”，故 ．
．
因为 ， ，使得 成立，故 ，
故 或 ，则 或 ，
故实数m的取值范围为 ．
