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2005年数学(三)真题解析
一、填空题
(1)【答案】2.
2工 - 2工
【解】方法一 limg sin --------= lim ---------
工-*°° jc + 1 工〜°° 1 +工
1+工2
方法二 limjc sin --------= lim j： • —-------= 2.
LX jc + 1 工*^ - 工 +1
【解】 方法一 由xy' + 3/ =0,得字+丄夕=0,
QX JC
解得
X
2
由夕(1)=2,得C = 2,故夕=—.
x
方法二 由jcy' + 3/ =0 ,得(工夕)'=0,于是xy =C .
2
再由夕(1)=2,得C = 2 ,于是y ——.
x
(3)【答案】2edrc + (e + 2)dj/ .
【解】 方法一 z —jcel+y + (x +l)In(l+y)两边对鼻求偏导，得
= (z + 1) ef + ln( 1 + jy ),
dx
z = jc e+y + (z + l)ln(l +夕)两边对y求偏导，得
于是 dz |(i,o)= 2edr + (e + 2)dy .
方法二 z =工艺+『+ (工+l)ln(l + y)两边求微分得
dz — d(j; e^+y ) +d[(_z + 1) ln( 1 + y)]
= (e"y +He"y)clz +arex+3，dj/ + ln(l + y)ck + 三菩dy ,
夕+1
则 dz | (lt0)= 2eda: + edy + 2dy = 2edz + (e + 2)dj/ ・
(4)【答案】 j.
【解】因为(2,1,1,1), (2,1,a,a), (3,2,1,a), (4,3,2,1)为4个四维向量，所以该向
3 4
2 3
量组线性相关的充分必要条件是
22 2 3 4
112 3
由 i q i 2 1)=0 且心 1，得 a I
1 a a 1
方法点评：本题考查向量组线性相关性的基本性质.当向量的个数与向量的维数相等
时，考查向量组的线性相关性有如下定理：
若佝.a?,…，a”为n个"维向量组，则ai ‘a?,…，a”线性相关的充分必要条件是
lai ,叫，…，a” | =0.
]3
⑸【答案】亦
【解】 令 A, ={X =门(7 =1,2,3,4) , B ={Y = 2}，则 PCA,) = =1,2,3,4),
P （B | Ai） =0 , P （B | A2） = -^- , PCB | A3） = -|- , P （B | A4） = -^ ,
4 1/1 1 1\ 19
由全概率公式得 P{Y = 2} =P（B） = Sf（A,）P（B I A,）=-[- +j + &） =呢.
方法点评：本题考查全概率公式.
若发生某事件共经过两步，求第二步事件发生的概率时，一般使用全概率公式，其中第
一步构造完备事件组.
（6） 【答案】0. 4, 0. 1.
【解】 由分布律关系得0. 4+a+b十0. 1=1,即a+b=0. 5.
P{X =0} =0. 4+a , P{X +Y = 1} =a+b ,
P{X =0,X+Y = 1} =P{X =0,Y = l} =a ,
因为{X =0}与{X+Y = l}独立，所以（0. 4 + a）（a + b） =a ,
解得 a=0.4, b =0. 1.
二、选择题
（7） 【答案】（E）.
【解】 令 /z （j： ） = 2 — 18工 +12=0,得 j; = 1 及攵=2,
当工V 1时，/'（工）〉0 ；当1 V鼻＜ 2时，/■'（工）＜ 0,
则工=1为y（z）的极大值点，极大值为/（D =5 — a .
又当工＞ 2时，/■'（工）＞ 0,则工=2为/（工）的极小值点，极小值为/（2） =4-a ,
又 lim /（j? ） = — oo , lim /（j? ） = +°° ,
x —►—oo x —＞• | °°
故当产（1） =0,/（2） ＜ 0或/（I） ＞ 0,/（2） =0时，/'（工）恰有两个零点，
因此a =4,应选（B）.
（8） 【答案】（A）.
【解】 当(2,夕)€ D 时,0^(j:2 + y2)2 j:2 + y2 Jr2 + y2 W 1 V 守,
因为 cos/在 0, 上为单调减函数，所以 cos(j?2 + y2Y cos(j;2 + y2) cosa/j:2 + y2 ,
于是I3> 12>几，应选(A).（9） 【答案】（D）.
【解】 方法一 因为另（一 1）"TQ” =5 — a2 + a3 ~~ a4 +…收敛，
n = 1
所以（<2 1—<22）+ （<2 3—04）+ "・=工（<2 2”一1 一^ 2”）收敛，应选（D）.
71 = 1
- oo OO OO OO
方法二 取a”=—，显然工a”发散，Y（— 收敛，但^a2„_i与工乞”都发散，
m = 1 n = 1 n = 1 n = 1
因为 a2”_i +
a2n — --
----- +-------且 丫 —发散，所以 丫（<22„_i + a?”）发散，即（A）,
2/? — 1 2n n n = 1 n ” =】
（B）,（C）都不对，应选（D）.
（10） 【答案】（B）.
【解】 /（j? ） =x sin x + cos jc , ） = jc cos x ,
7T
显然z = 0,攵=—为/（j:）的驻点，
） = cos jc 一 jc sin jc ,
因为/z,（o）= 1 > 0 , （守）=_守V 0,所以_/（0）为极小值,f （守）为极大值，
应选（E）.
（11） 【答案】（C）.
【解】 方法一取\ , /（J7）= —~，显然/"'（攵）在（0,1）内连续,{0 ）在（0,1）
工
X.
内无界,（A）不对；
取一丄，显然/■&）在（0,1）内连续，但无界，（E）不对；
X
取/（J?）=丘,f O =—在（0,1）内无界，（D）不对，应选（C）.
2 VT
方法二 设y'Q）在（0,1）内有界，即存在M>0,使得|十（工）I ,
由拉格朗日中值定理得+ -j）,
于是 /（I）+ M 工一* w /（y） I + M ,
即若f'S 在（0,1）内有界，则/（^）在（0,1）内有界，应选（C）.
（12） 【答案】（A）.
【解】 由 A * =A1，得 =A,7 （ i ,j =1,2,3）.
令 an =52 =53 =a ,
贝 U I ~ = ££11 = 3<22 工 0 ,
a 12-^ 12 a \2,A.3 a 12 a 13
由 A*A = \A\E 及 AAt= |A |E,得 |A I ・ |*A | = |A | • | AT | , BP | A |3 = | A |2,
于是| A | =1,故51=丁，应选（A）.方法点评：行列式问题中，若出现或A "时，一般使用如下两个性质:
(Da,!A,i +a：2A：? + …+ ainAin = | A \ (z = 1,2,••• )；
(*2)|A \ = \A |”t.
(13)【答案】(D).
【解】 因为矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关，所以5 ,a2线性无关.
Si ,A(ai+a2)) = (ai’a?)( —，则,A (ct] +a2)线性无关的充分必要条件是矩
'0 入 2 /
/i am 1入1
可逆，即 H 0,故入2 H 0,应选(D).
\o 入 2 / 0入2
(14)【答案】(C).
【解】 因为川未知，所以取统计量丁=刍上〜"“一1),
显然 P{—£。. 6 — 1)< T<^0.05(^-l)} =0.9 ,
05
则〃的置信度为0. 9的置信区间为
(20 — i0.os (15),20 + 亍o.o5(15))
1，应选(C).
方法点评：本题考查正态总体均值的区间估计.正态总体参数的区间估计在数学三新大
纲考查范围之外.
三、解答题
/ 1 + ‘ 1 \ _ ]曲 0 + 工 $ — ] + e_工 1. jc jc — 1 + e
(15)【解】方法一 lim — =lim-------------:-----------
x*o- \ 1 — e 工) 工―o jc (1 — e ”) 工―o x
1 + — e 1 - e_x _ 3
='lim =1 + lim
•zf 0 2 j? 工*一 0 2x
/1+z 1 \ x2 ~\~ x — 1 + .. x1 x 一 1 + e r
方法二 忸(?—7 _曰巳吧亍)=忸---- 亍
2 2
由 e’ = 1 + 工 + -- o (工 2)得 e~^ =1 — jc + -----------o (工 $),
于是川+° — 1+ ~-3 .2,故!腆/ (1 厂—才jc 一 7
oo
方法点评：求不定型x — x的极限时，一般先转化为 ”型或“一”型，再计算极限.
OO
1 1
【例1】求lim
工~*0\鼻？ tan"%
1 1 \ tan2^r — x2 ,ta2n x ——x 2
【解】lim ~2 I hm 2 2 hm--------j------
^*o- \«z tan2 x / 戈o x tan x x*0~ x
tan :r + z tan x — x tan x ——x
=lim ..... 石------=21im
x*0~ x X x*0- X
sec 2 x — ii
=Zlim--------z----
lo 3x 3【例 2】求 lim Q + 2 — 4工 + 14 ) •
—4无 +14 o
【解】 方法一 lim (x + Jx2 — 4^:+ 14") 「！二: .. . =Z.
工
f _co v jr2 — 4jc + 14 — x
4 14
方法二 lim (x + \fx2 一 4x + 14 )= 1 | 丄
丄 I 2
2 X
2
(l-4? + 14z2)7 -1 门
=2.
3^.
(16)【解】
dx
+
3x2
強=丄厂/y
dy 丿
32g _ 1
亏一
x
Mg °_g_
则X 2 亍_ $ 2
3jc 2 丿 dy2
(17)【解】 如图所示，令
D] = {{((DD))| x2 + y2 W 1,工 $0,夕 0} ,D2 = D\DX ,
则 t2 y2 一 1 | djc dy
D
=jj (1 — x2 一 jy2)(lzcl;y+JJ(j;2 + y1 一 1) dj?
Di d2
=2f(1-
x 2 一 y2)dx dy +JJ 2 y2 — 1)dx dj/ ,
D
D1
而 JJ(1-: 一 y2 )dx dy = f2 d(9 f (1 一 r2 )rdr =
J o Jo 8
D1
1 1 丄
+ y2 一 1)djr dj/ = | djr | (jc 2 y2 一 1 )dj/ = X 2 dx = I
D 0 0
于是JJ |工 山dy =手- *
2 +$2 _ ] |
D
勺oo 缶H 7
(18)【解】方法一令SQ) JC2n
当= 0 时，SCO) = 0
2n 8 严 2
i x2 X
当工HO时，S(_z) =艺 —S/x)
2n + 1 1 — x2 X \1 一 X2
”=]
卄
S1(")= |2Xn 2+ 1 1
Si(0)=0,X 2 n 11
S\ (工)=工 jc" =—1 ------
1 X 2--------------丄--------X---2 -1
n = 1 1 —
SO = Si(O)+| S'i(z)cLz=— 一扣 X — 1 ----- 1 - I 1 n - 1 - -- 一 -- - x -
J H + 1 =—X 2 1+工
0
0, •z = 0,
于是S （工）= 1 , 1 + H ]
27lnT^7 —1
1 — X2 工 o
]--―-----工------？-dr
1 _ 3C 2
—丄 ] X 2 1 1 + 工 1
cLr r = ~ in ~ ■- 7 9
JC 3C 2 _ 1 1 — jc 2 工 1 — x 1 — x
2=0,
故S （夂）= < 1 1 + 工 1
Lin----------------, -1 <^ < 1 且工工0.
[2工 1—jc 1— x
f' (x )g(j： )dj; + [ /"(工)g‘(攵)dz — f (a )g (1),
（19）【证明】 令F（a） =
o J 0
F‘(a) =_/'(a)g(a) — f7 (a)g (1) = (a ) [g (a ) — g ⑴],
因为g'Q)$O,所以g(a)Wg(l)，又因为十(攵)$0,所以F'(a) £0,从而FQ)单
调不增，于是
=[/'‘(•z )g(z )dr + f f(x )gZ(j： )dj? — /(l)g(l)
F(a)上 F(l)
J Jo
0 0
=[— /a)g(i)— /(i)g(i)=o,
0 0
即[ff (j; )g)dj? + f /(z )g‘(无)dz 2 /(a )g (1)・
J o Jo
0
I1 2 3
/I b c
（20）【解】 令人=2 3 5 ，因为方程组①与方程组②同解，所以
'1 \2 b2 c + 1
1 a
r(A)=r(B),又因为 r(B)<3,所以 r(A)<3,即⑷=0,解得 a = 2.
2 3 1 2 3 \ I1 2 3\ I1 0
卜0
J
由A= 2 3 5 0 -1 -1 1 1 -» 0 1
'1 1 2 0 _ 1 -1 'o 0 o' 'o 0 o'
得①的通解为x= lj （ C为任意常数）.0 = 1
9
因为①与②同解，所以将 代入②得
c = 2.
而当『时，方程组②化为孙+「=o,因为两个方程组系数矩阵的秩不等，所以两
= 1
个方程组不同解，故a=2,b=l,c=2.
(21)【解】(I )显然为实对称矩阵，卩丁 =
/ Em O ■A C 'Em —A _1C
\-CTA~l En L B O E
'A C \ /Em
o b—6 9八 o
(U )方法一 显然B —CtA *C 为实对称矩阵.
因为D正定，所以PrDP也正定，于是P7DP的特征值全大于零，又因为B-CTA !C和
A的特征值为ptdp的特征值，所以b-cta C的特征值全大于零，故b-cta C为
正定矩阵.
方法二 对任意的X# 0,XtPtDPX= (PX)「D(PX),因为P可逆，所以PXH0,
又因为 D 正定，所以 X (PX)tD(PX)>0.
对任意的 0,取 X=(°),则 XtPtDPX>0,而 XTPTDPX=yT(B-CTA C)¥>0,
所以b-cta C为正定矩阵.
方法点评：本题考查分块矩阵的乘法及矩阵正定判别.
设A为实对称矩阵，若对任意X #0,总有XtAX>0,称A为正定矩阵，判断矩阵正定
的方法通常有：
(1) 定义法，即只要证明对任意的X工0,有X'rAX > 0.
(2) 特征值法，即A正定的充要条件是A的特征值都大于零.
(3) 顺序主子式法，即A正定的充要条件是A的顺序主子式都大于零.
(A \
正定的充分必要条件是A ,B都
是正定矩阵.
当乂三0或z 时，f x(攵)=0 ;
2x ? 0 V 工 V 1
9
于是/x(Z)=
0, 其他；当;y£0或夕》2时，/ v（y）=0；
当 0 Vj/<2 时，几（3/）=二吐=1—专，
]1_兰
0 < 3/ < 2,
于是/V（夕）=]
k
其他.
(n ) Fz(z) =P{Z w z} =P{2X — Y w z} = JJ /"(z )dzd),
2x—
当 zVO 时，Fz(z)=0；
2 / 2
当 0 £zV2 时，Fz(z) = f2 djr f2xdy + J±dx 2x dy =令 + z(l _守 N
J 00 J (0 2x—z 4 ' Z
当 z时，Fz（z） =1,
0 9 n V o，
2 [1 ——
O < z < 2,
即Fz(z)=・z—0
