文档内容
2005年数学（二）真题解析
一、填空题
（1）【答案】 一 7rdj?・
【解】 方法一 由 j/ = (1 + sin 工)"9得;y = e-rin(i4-sm仝求导得
x cos X
y/ x ln( 1+sin x ) • ln( 1 + sin 工)+ .
=e 1 十 sm x
X cos X
(1 + sin x Y • ln( 1 + ssiinn xx ) i ...
1 十 sm x
从而字
兀，于是dy | 一 TldjC ・
ax
方法二 X 7C日寸9 ) = 1・
jy = (1 + sin x V两边取对数，得\n y = j: ln( 1 + sin工)9两边对x 求导，得
ln(l + sin2)+ =°S"
y 1 十 sin x
将H = 71 J = 1代入得卑
—7T,于是 dj/ | 一 7ldj?・
djr
（2）【答案】
【解】 由 lim — 1,
JC
•Zf+°°
3_ 3_ 3
(1 + JC ) 2 (1 + JC ) 2 ——X7
lim (夕一工)=lim -----------------X lim
--►4-00 工一＞+8 \fx \[~X
3
1+丄) 7
-1 3_
X / (1 十/厂一1 3
lim "T- lim-----------------= $
t u
/f 0
x
3_
(1 + jc ) 2 的斜渐近线方程为寺 3 .
得曲线
J~x
TV
（3）【答案】 7
1 x = sin t ~2 sin cos tdt d(cos t)
【解】 方法一
0 (2 一 2 ) J\ 一 2 o (2 一 sin2Z )cos t 0 1 + cos't
兀
=—arctan(cos t) 7 _7
o
1 dr 丄 1 d(l 一 J?2) 丄P d(l 一 J?2)
方法二 I I
0 0
丄 'o d£ 1 d(7T)
arctanTT
1( i + /)4t ° i +(#)2
• 39・
淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题积分为反常积分，H = 1为反常积分的瑕点、.
T" T 11
因为 limCl -^) 丄 2 ------------------------------- lim --------------- =一且—<1,所以反
戈f 厂 (2 — X2) a/1 — x2 l厂(2 一 h 2) a/1 + 工 42 /
常积分「--------- ------ 收敛.
Jo (2 —工2) / _工2
x\n jc X
(4)【答案】
~9
, 2
【解】 方法一 将xy' 2y = x\n jc化为---y = \n x ■,解得
x
In 工・ e^ d^+cje'^
In x dx + C ) = (?-In x----jc 3 + C )・
7 e ' 3
, 八、 1/口小 八丄j x\n x x
由 y(l)= — g,得 C=0,故 _y = --------
方法二 由 xy' + 2^ = j?ln x x2y，+ 2j?j/ = 2 In x 9 即(*z 纽)'=j?2 In jc，解得
3 -I
x2 y = \x 2 In jc dj? + C = ^-ln x----x3 + C・
于是T伶x3 一 ln「討 + C),由夕(1)= —*得C=0,故》
9
2
(5)【答案】
I
亠、亠 ,B(g) 1 .. yi + j:arcsin x
【解】 方法一 由 lim = —lim-------------------—
H*0- kx k H—O X
=-^-lim jc arcsin j? + 1 一 cos x
k —川(丿「匚 x arcsin x + J cos jc )
1 x arcsin 0 ln( 1 + x2 ) 2
丄、一 tan x — sin x
【例2] 农 lim-------------------.
X
0
【分析】 本题如果分子用等价无穷小是不对的，因为分母为三阶无穷小，分子使用等
价无穷小时精确度不够.
... tan x — sin x v tan x 1 — cos X 丄
LSf J lim-------------------= lim-------- • ----- 2
•r-*0
XX
3 ^fO H
OC
(6)【答案】2.
【解】方法一
F ] h
因为 B=(a i+ a . + a3 ,a | +2a2+4a3.a〕+ 3a 2 + 9a 3) = A 11 2 3 ,
'1 4 9/
1 1 1
所以 |B |= |A | . 1 2 3 =(3 — l)(3 —2)(2 —1) =2.
1 4 9
方法— | U | = I cc 1 + a 2 + a 3, a i + 2a 2 + 4a 3, a 】+ 3a 2 + 9a 3 |
—| a 1 + a 2 + a 3, a 2 I 3 a 3, a 2 I 5 a 3 |
=I a 1 + u 2 + a 3, a 2 + 3a 3,2a 3 | = 2 \ u \ + a 2 + a 3, a 2 + 3cc 3, a 3 |
=2 I a! + a2 ,a2 ,a3 \ — 2\ al,a2,a3 \ = 2.
方法点评：本题注意范德蒙德行列式的使用.
二、选择题
(7)【答案】(C).
【解】 当&丨W I时，I W 71+丨汀"^72,
由夹逼定理得lim 71 + I z 13" = 1 ；
当I工I > 1时，
由夹逼定理得lim V1 + \x 13n = JC 3
8
即心)=G;
|工 I> 1.
• 41 •
淘宝店铺：光速考研工作室乂一一1+ + 1 Z—一1+ z + 1
因为/L (-1) 7^/； (-1),所以/•(.)在工=一1处不可导
因为fl (1) # f+ (1),所以/■&)在工=1处不可导，
即/(X)在(*,*)+一 内连续，但有两个不可导点，应选(C).
方法点评：讨论由极限形式表示的函数的连续性与可导性时，先计算极限，求出函数的
表达式，再讨论函数的有关特性.
(8)【答案】(A).
【解】 方法一 /(j?) = 3jc 2为偶函数，但F(_z)=h3+C不一定是奇函数，(B)不对；
f(x)= cos工—1为周期函数，F(h) = sin jc — x + C不是周期函数，(C)不对；
fd)=2工为单调增函数，FQ)=工彳+c不是单调函数，(D)不对，应选(A).
方法二 设/ (—工)=一/'(工)，令尸(久)=[f (t)dt,
J
a
则 F (— jc ) = f /(Z )dz = [ /(— u ) (— dw ) = f f(u )dzz
J —
J a a J —a
=[/(w )dw + [ f(u)du = [ f(u )dw =F(j?),
J a
J —a J a
于是F(_z)为偶函数；
反之，设 F (― x ) =F (jc )，两边求导得一F'(—x ) =Ff (x ),或 /(—x ) — — f (.x ),即/'(•z)
为奇函数，应选(A).
方法点评：设F(_z)为fCx)的原函数，则/(^)与FQ)的奇偶性、周期性如下：
(1”(工)是奇函数的充要条件是F(x)为偶函数；
(2)/(^)是偶函数时，FQ)不一定是奇函数,/(a-)的所有原函数中只有F(x)=
f (t)dt为奇函数，但当F(h)是奇函数时,/(x ) 一定是偶函数;
(3)若f(jc)为周期函数，FQ)不一定是周期函数，但当FQ)为周期函数时,/(x)-
定为周期函数.
(9)【答案】(A).
【解】 当工=3时，由厂+ 2/= 3,得/ = — 3(舍去)，/=1,于是y=ln2.
dy _ ==入 2 a 2,彳寻 A (a〔 + a 2)==: A | oc, + A 9 ct 2.
/I Am
(a 1 ,A (a i + a?)) = (a 1 s) I 丨，
\0 A2/
/I Am 1 Ai
a1，A(a1 +。2)线性无关的充分必要条件是矩阵 可逆，即 H0,故入2 H0,
\0入2 / 0入2
应选(E).
方法— 令 k \ u [ ~I-怡 2 A (a ] ~a 2) 0,由 A (a 】+ a 2) == A ； ot ； + 入 2 a 2,
得紅© +k2(A1a1 + A2a2) =0,整理得(& + A )«i +A2k2a2 =0.
\k} + A ! ^2 = 0 ,
因为«,,«2线性无关，所以
I入2怡2 =0.
于是ax ,A(a} + a2)线性无关的充分必要条件是Qai + k2A(a1 + a2) = 0当且仅当
十入 1^2 = 0, 1心
b\ =叽=0,即方程组 只有零解，于是 H0,故入2 H 0,应选(E).
'入2怡2 = 0 0入2
(14)【答案】(C).
/0 1
【解】令码2 1 0 0，由题意得B -E12A.
J
'0 0
由 |B|=|E12|. \a 丨一 |A | , B 1 =A-}E^ =A~1E12,
得 B * = \B |B_1 = —|A I • A~lE12 = —A 或—B* =A E 12 ,
即交换A"的第1、2列得一B* ,应选(C).
方法点评：本题考查初等变换与伴随矩阵.
设A为可逆矩阵，研究A*时往往通过性质A* = \A \A'-\
如：设分别为加，"阶可逆矩阵，且|A \ — a, \B \ — b,则
三、解答题
「工 r° & f-r
JC —t = U
(15)【解】 由 f(x — t)At == /'(“)(一(!")= f(u)du =
0 J
J X J 0 J 0
• 44 •
淘宝店铺：光速考研工作室(工一t) f Ct)dt x
得lim
o -----------------------------------
= lim — 0
J-—0 f {x 一 i )dz f 0 X
X
o 0
o
")ck
X
lim 0 =lim
工*~
0 xf {x ) + 1 f Ct)dt ")ck
J 0
心)+——
X
/(Z )dz (x — Z )/(Z)dz
/(0) = 1
由lim -----------=lim/(jc ) = /(0)，得lim o
X 心-皿 AOK。)— 2
j*0"- x*0- ■r f 0 X
0
方法点评：求含变限积分的不定型极限一般采用洛必达法则，计算的一般步骤为：
第一步，若被积函数表达式含上(下)限所含变量时，将被积函数处理为不含上(下)限
变量的表达式；
第二步，利用洛必达法则，一定要注意题中给出的条件.
本题若所给条件为/(0) =0,厂(0)丰0,则原极限求法如下：
(■z — £)ck jc j /(Odz —
lim 亏------------------=lim-------------------- 0
才一*
x*0- X f(x — i)di 0
o
0
f (t)dt
o
o X 2
=lim =lim
Cr fCt)dt
Hf 0 xfCx ) + fCt)dt j*Or-
J o /(无)+: 0
-
X X
由lim 4? = lim =厂(0),
x*0- X x*0- " 〜
"E )打.g)"。)1
lim =lim —----=Rim--------------------== —j (0),
工° x2 h*o- Lx Z x*o- x Z
得lim 0
x*0- /(X -t)dt 十(0)+£厂(0) 3
X
o Z
(16)【解】由定积分的几何意义得
_2 (e^ — 1 )dj? = £(e= — x 一 ]),
Si(2 )= e" -y(l + eJ) dz
2
J 0 o
S2(》)=J] [In y —(p(y)J dy =
i [In y 一 )]dy ,
P 1
由 SiQ)=S2(«y)9得 [In y —(pCy)^dy = — (eJ — x — 1儿两边对 jc 求导得
J i Z
• 45 •
淘宝店铺：光速考研工作室epH —甲(e")] = *(e" —1),解得申(e")= _*ez+ 于是（p（y）= “夕+ 右―*
丄
故所求的曲线C3为工=ln y +
(17)【解】 由已知条件得/(0) =0, f (3) =2, /70) 2,
十(3)= —2, /■〃⑶=0.
由分部积分得
[(j? 2 + jr ) fm (jr ) djr J：E+W）
J 0
3° ；C： （2_z+W）吐
)/〃(工)—
+ X
0 J (
'3 3 ‘3
(2jc + 1 )d/，(jr ) = — (2j; + ) + 21 )dz
0 0
3
= -7/(3) +/70) +2p//(-r)djr =16 + 2f(x)
= 20.
J 0 0
（18）【解】 将/视为中间变量，由乜=型屯 _ 1 dy
dr djc /sin t d/
得血工
\cLc) 'cLz)/ dt sin
clz2 djr djr / dt —sin t
d2 y . dy
—^sin t----cos t
护 山 1 dS _ ccooss tt dy
sm -~F ? t sin , 1 dt2 ssiinn'3^ d/，
1 d2 y cos t —丄)3
代入原方程得sinS • —cos t • +，=0,
sin t dt sin t 、 sin t ' dt
rj2
整理得^4 + ^=0,特征方程为F + l=o,特征根为4,2 =±i,
at
通解为夕=Ci cos t + C2sin 门即 y = Cxx + C2 J\ 、
7C _ =1,
当z =0时，/ =另，由于_y（0） = l,"(0)=2,于是
=2,
故原方程的特解为丫 = J\ 一 x1 + 2.x.
方法点评：本题考查变量代换下微分方程的变形及微分方程的求解.
（1） 有些微分方程不属于特定类型，不易求解，往往通过合适的变换将原微分方程化为
特定类型微分方程，从而求出微分方程的解.
（2） 本题t也可以看成自变量，大家可以试探求解.
（19）[证明】（I ）令竿（工）=/（z ） — 1 + 工，申（0）= — 1,爭（1）=1.
因为卩（0）卩（1）v o,所以由零点定理，存在$ e（o,i）,使得卩（W）=o,即/■（£）=i —£.
（n）由微分中值定理，存在7] e（o,e）,? e（e,i）,使得
」
厂'— g)— £
i-e _]_w
故 f5f'g = \.
• 46 •
淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查零点定理与拉格朗日中值定理.
设/'（工）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，若题中只出现y'（W）,.厂（卩，则一般需要找
出三个点，两次使用拉格朗日中值定理.本题已知条件出现/（0） =0,/（1） =1连同/（$）=
1 — g,故三个点为O,g,l.
（20）［解】 先求函数
方法一 由 dz=2_zcLz—2_ydy,得 dz=d（/—》？），即 乂二八工‘小二攵？ 一 y'+C,
由 /XI,1） = 2 得 C = 2,于是 /（x ,》）=工“ —y2 + 2.
方法二 由 dz = 2z dr — ,得二=2# ,学=—2》.
ox oy
由~~ =2工，得z —X2 +爭（夕），因为=卩'（夕）=—2$,所以卩（夕）=—夕'+ C.
于是 z = /'（工,夕）=x2 — y2 -\~C,由 /（1,1） = 2,得0 = 2,故 z = fCx ,y） = x2 — yz +2.
2
再求f｛x,y｝在闭区域工2 +令W 1上的最小值和最大值：
” v2 （z；=2z=0, \x =0,
方法一 当川+斗＜ 1时，由 得 且/（0,0） =2；
4 ［£= — 2夕=0 b=0,
当 j?2 + — = 1 时，令］ '（0£/£2兀），则 z — f （cos t ,2sin t） = 3 — 5 sin2
4 ®=2sin/
当/ = 0,兀时，z的最大值为3；
当/=守，罗时‘Z的最小值为一 2,故z =x2 — .y2 + 2在工？ +才W1的最大值为3,最
小值为一2.
, v2 \zfx=2x = 0, Ij： =0,
方法二 当X2 1时，由， 得 且/（0,0） =2；
4 *；= —2夕=0 b=0,
2
当J；? +才=1时*2= 4（1 —工2）（一］£工冬］）,代入于（工,夕）=工2 一）2+2,
得N = — 2 ,当无=0时9之的最小值为一2；当工=士1时9之的最大值为3，
2
故函数/（工｛）在区域工2 +冷W 1上的最小值为一2,最大值为3.
方法三 令尸（工,/）=工2 一，2十2+入（无2十---］）,
F： = 2jc + 2Ajc = 0 ?
由卜；——2》+务=o,得孑“，
E = 0 9 x — 一 1, a: =1,
2 b=_2, A = 2,
D
0
d^f'rCl -r2)dr =4
x2 一 y 2) djr dy =
8
() J o
D1
故才+ _l|dzdy=f-1
$2
D
方法点评：本题考查分段函数的二重积分与极坐标法计算二重积分.
计算分段函数的二重积分时，首先按函数特征将区域分为若干小区域，再分别在每个小
区域计算二重积分.
(22)【解】 因为向量组可由向量组P^P2，P线性表示，但向量组趴良，氏不可
由向量组 « 1 ,a2 ,a3 线性表示，所以 r(a1 ,a2 ,a3) < rCp1，/J2 ,j?3) < 3.
1 1 a
于是 | a 1, a 2, a 3 1 a 1 =0,即 a = 一2 或 a = 1.
a 1 1
-1 1 -2 1 1 _ 2 1 1 -2
当 a = — 2 时，(。19。29。3)= 1 —2 1 0 - 3 3 0 1 -1
2 1 1 0 3 _ 3 0 0 0
即厂(a ] 9 a 2，a 3) — 2，
-1 -2 - 2 1 _ 2 -2 1 —2 -2
又(01，02，03) 1 -2 - 2 0 0 0 0 0 1
2 4 - 2 0 0 —6 / Q 0 0
即 r(a,,a2,a3) =厂(0i ,02 ‘03)= 2,矛盾，故 a H— 2.
当 a=l 时,r (a ! 2,a3): 1,
—2 -2 1 -2 -2 1 —2 —2
(01 '02，03)= | 1
1 1 0 3 3 0 1 1
'1
4 1 0 6 3 0 0 1
• 48・
淘宝店铺：光速考研工作室显然a} ,a2 ,«3可由向量组01 ,02,03线性表示，因为r(ai ,ct2』3)Vr(0i ,“2,03)，所以
向量组卩 •卩 ‘卩 不可由向量组al ,a2,as线性表示，故a =1.
1 2 3
(23)【解】 由AB = O得r(A) +r(B) <3,因为A为非零矩阵，所以r(A) > 1.
当怡工9时，由r (B ) =2得r (A )=1.
因为AB = O.所以B的列向量为方程组AX =0的解，于是方程组AX =0的通解为
X=C] 2 +C2 6 (Ci，C2 为任意常数).
W 'J
当 k —9 时,r(B)=l,则 1 Wr"(A)£2.
当r(A) =2时，因为AB =O,所以B的列向量为AX =0的解，于是方程组AX =0的通
(C为任意常数).
当“”不妨设”，由…『
a
° ，得方程组AX= 0的通
'o
0 .
b c
a a
解为x=G + C2 (C】，C2为任意常数).
1 0
.0 1 .
方法点评：设A 分别为加X n与n X 5两个矩阵，对AB —O有两种解读：
(1) r(A) + r(B) W n ；
(2) 矩阵B的列向量为齐次线性方程组AX =0的一组解.
• 49 •
淘宝店铺：光速考研工作室
