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2017年数学(三)真题解析
一、选择题
(1)【答案】(A).
【解】/(O + 0) -- lim ----- =丄，/(0) = /(0 — 0) = 6,
ax La
lo+
因为/(j:)在攵=0处连续，所以/(0 + 0) = _/(0) =/(0 — 0)，从而ab = *，应选(A).
(2) 【答案】(D).
［解］ 由得 严=1，$=0，［工=3,
Iz； =3工 一 2工夕一攵？ =0 1)=0, 1y=l, \y = 3, 13/ =0.
zfxx = 一2y , z'xy = 3 一 2z — 2y , z'yy = 一2x ,
当(jc ,y) = (0,0)时,AC — B2 = — 9 VO,则(0,0)不是极值点；
当(工，夕)=(1,1)时,AC-B2 =3> 0且A=-2<0,则(1,1)为极大值点；
当Q ,夕)=(0,3)时,AC-B2=-9<0,则(0,3)不是极值点；
当Q ,夕)=(3,0)时,AC - B2 =-9 < 0,则(3,0)不是极值点，应选(D).
(3) 【答案】(C).
【解】 方法一 若/'&)>0,则 /■'&) >0,从而/'(1) >/(-1) > 0；
若心)V0,则八工)V0,从而/(IX/(-1X0,故 |y⑴ |> |/(-1) |，应选(C).
方法二 由/■&)•/''&)= y/2(^) ‘>0得严Q)单调递增，
从而 /2(1) >/2(-1),故 |/(1)|> |/(-1)|，应选(C).
(4) 【答案】(C).
/］\ 1 1 /］\
由 ln( 1 + 工)=工 一 -2 -o (□;2 )得 ln( 1------) =-------------7 + o ( — 1 ,
2 \ n ' n 2n 5 /
于是 sin -----©ln(l-----) = (& + 1) — + 7 + o ,
n \ n > n 2n 、n 丿
由sin ln(l------)］收敛得怡=—1,应选(C).
」
" /
”=2 L « \
(5) 【答案】(A).
【解】令A = aa 1 ,则A?=A,
令 AX -AX，由(A? -A)X = (A2 -A)X - 0 得 A2 -A =0,A = 0 或 A =1,
因为tr A = a 1 a =1=4 + ••• + A „得A的特征值为A r =…=入”一i =0,入” =1,
E — aa 1 的特征值为入 i =•••=入”_i =1,入” =0,从而 | E — aa 1 | = 0,
即E-aaT不可逆，应选(A).
(6) 【答案】(E).
【解】A ,B >C的特征值都为入1=入2=2,入3=1’/° 0 0 '\
由 2E — A = 0 -1 得 r(2E —A) =1,则A可相似对角化，从而A〜C；
'o 1
0 1
/° -1 °\
由 2E-B = | ) 0 得 r(2E--3)=2,则B不可相似对角化，从而B与A,C不相似,
'o
0
应选(B).
方法点评：设A,B为n阶矩阵，且|AE -A |= \XE~B \ ,即A 的特征值相同，则
(1) 若矩阵都可相似对角化，则A〜B；
(2) 若矩阵A,B中一个可相似对角化，一个不可相似对角化，则A ,B不相似.
(7) 【答案】(C).
【解】 P[(A +B)C]=P(AC + BC) =P(AC) + PCBC) - PCABC)
-P(A)P(C) +P(B)P(C) - P(ABC),
P(A +B)P(C) =[P(A) +P(B) — P(AB)]P(C)
= P(A)P(C) +P(£)P(C) —P(AE)P(C),
A U B 与 C 独立即为 F[(A +B)C] =P(A +B)P(C),
从而A U B与C独立的充分必要条件为
P(A)P(C) +P(E)P(C) — P(ABC) =P(A)P(C) +P(B)P(C) — P(AB)P(C),
或 P(ABC) =P(AB)P(C),即 AB 与 C 独立，应选(C).
(8) 【答案】(B).
【解】 若总体X〜N(〃，＜/),则
— “)2 〜％2(“)， -L^CX, -X)2 〜X2(n-1),
z=l 1=1
” n
因为总体 X 〜N (“ 9】)9 所以(X： — ")2 〜％2(/2)9 (X i — X )2 〜X 2(7? — 1)9
:=1 1=1
― ]X — "r—— —
再由 X 〜N(〃，一)得——一“)〜N(O,1),从而 72(X — “)2 〜右(1),
n 1
4n
不正确的是(B),应选(B).
二、填空题
3
(9) 【答案】 y.
【解】由定积分的奇偶性质得
J (sin3jr + 丿兀？ — g2)也=| J— x2 归=2 [ it2 — x2 djr
J —7r J —n J 0
'2• (*「 — 兀2cos2/山=2〃( * —F cos2tdt=^3-.
2
J 0 J 0
(10) 【答案】C2‘ +*/2 气C为任意常数).
【解】 一阶齐次差分方程yt+i — 2yt =0的通解为yt = C2'(C为任意常数)；设；Vr+i — 2yt =2’的特解为y * =at2'，代入得a =y»
故yl+1-2yt =2’的通解为必=C2‘ +*/2'(C 为任意常数).
(11) ［答案】1 + (1 —q)「q.
【解】 平均成本为乙(<2)=°器 =1 +严，总成本为C(Q)=Q + Qe~Q,故边际成本为
C'(Q)=l + (l — Q)e_Q.
(12) ［答案】
【解】方法一
由甘(7,3/)=夕兰(1工+2(1 + 夕)2(13/= d(xyey )得 ,y) —xyey + C ,
再由 f (0,0) = 0 得 C =0,故 f (x ,y) =xyey.
方法二 由薯=夕e"得 /"(攵，夕)=dr +C = xyey + C,
再由 /(0,0) = 0 得 C =0,故 f(x ,y) =xyey.
(13) ［答案】2.
【解】 (A«! ,Aa2 ) = A (a 19^29(X3),
因为«i ,a2 ,a3线性无关，所以(«i ,a2 ?«3)可逆，
从而厂(Aa i Au 2 Au 3) 厂(A) 9
Z1 0
由A -* 0 1 1 |得r(A) =2,故向量组Aa! ,Aa2 ,Aa3的秩为2.
'
q
'0 0
9
(14)【答案】
7
【解】E(X) = —1+q + 36 = 0,再由 * + a + b= l 得 q = b= +，
1 1 19
则 E(X2) = (-2)2 X —+ 12 X —+ 32 X —=-
2 4 4 2
9
所以 D(X) =E(X2)-［E(X)］2 =》・
三、解答题
x j----------- X — t = u
(15)【解】 v 一 t e dt = 4u 于 “ du = ex J~u e u du
0 o o
Jx — t e dt 4u e~M du 4u e~"du
o
则lim ------------------=lim • o =lim
Hf0+ Jx 3------------H-o+ Jx3 0+ J工 3
2
=hm ・
3 /— 3
h-*o+
y3 r+°°
(16)【解】 +川+ /严山山
o (1 + jc + y )
=+「"牡［好一 d(/)=| ・+oo
djc (1 +^2 + y2Ydy
2 J o Jo (l+«z +夕) 2・ 0
o1 1 +8 •+8 1
o 1 +je2 1 + 2乂 ~2 djc 0 1 +工心_ 0 1 + 2jc 2 dx
丄 +°° 丄
arctan x -------d(^2j：)
I
0 麗' 0 1+(屁)
丄 7T 1 7t 7T A"
I I 厉・兀 I
lim £ $ln(l + —] =lim 丄工—ln(l + 1
(17)【解】 x ln( 1 + 工)(Lz
心°° & = i n ' n ' loo n k = x n \ 0
丄 ln( 1 + x )d(j?2 ) = -^1—x2 ln(l + 乂) 1 _ 丄「 1 (j:2 -1) + 1 dr
7 o 22 o — 7 o 1+鼻
1 丄 dj? = £ln 2------------------In 2 = ±
= Tln2 T.
0
「1+ 2 4 2 2 4
方法点评：本题考查定积分的定义求极限.
n项和求极限一般分为两种类型：
(1) 分子次数齐、分母次数齐，且分母的次数高于分子一次，采用定积分定义求极限，即
賈諮皓)= 畑血;
£
” i 11
(2) 若分子次数或分母次数不齐，一般使用夹逼定理.
] _ ]
(18)［解】 令/'(工)
ln(l + 工) x
/ _ 1 1 _(1+j7)In2 (1+jc)—j;2
(l+j7)ln2(l+j?) jc 2 jr2(l + j?)ln2(l + ^)
令 g(z) = (l+jt:)ln2(l+^) — x2 g(0) =0 ,
g\x ) = In2 (1 + j; ) + 21n(l+z) —2— g‘(0) = 0,
〃 21n(l + jc) 2 2[ln(l +工)一工]
g (")= vt-- + TT7-2- < 0,
1 + 1 +
g‘(0) =0, )
由 〃 得 g(z)V0(0 na”z
n=0 n=l n=l n=l
=5 + 另 na”工"+ 工< 口” —另 na”工"
2”_
n = l n = l
n = l
、、 n 1 \、 n _ \、 n
=7」na亦十 2_j an-\^ —乙 na”尢
n = l n = l
w = l
=另 s_i«z"=》qq "+i = x n = jcS (x ) ?
n = 0
n = 1 n = 0
即 S(x)满足(1 —jOS’Q) —hS(jc) = 0.
由(1 — h)S’(h) — jcS (jc ) = 0 得 S'(jc) — (— 1-------) S(«r) = 0,解得
\ x 一 1 f
斗
s — c")_ I
1 — X
再由 S(0) =1 得 C = 1,故 S(z) =--------.
1 一 x
(20)【证明】(I )设A的特征值为入1，入2,入3，
因为A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P,使得
因为入1，入2,入3两两不同，所以r(A) $2,
又因为a3 = ai + 2a2,所以a!, a 2, a 3线性相关，从而r (A) V 3,于是r(A ) = 2.
(U )因为厂(A) =2,所以AX =0基础解系含一个线性无关的解向量，
(X — a = 0
] + 2a 2 3
得AX =0的通解为
«i +a2 +a3 =P
Ck为任意常数).
1 一4\ Fi\
]，/'(攵 ，工 ，攵
| ,X = =XTAX,
—1 1 1 2 3)
4 1 a 立
3因为入3=0,所以|A| = 0.
2 1 -4
由 |a | = i -1 i =一 3(a 一 2)=0 得 a = 2.
-4 i a
A — 2 -1 4
-1 A +1 -1 =A (A +3)(A 一6) = 0,得入i = 一3,入 2 = 6,入 3 = 0.
4 -1 A — 2
5 1 —纠 0 -1\
由-3E - A *■ 2 1 0 1 1 得
5丿 0 /
'—4
1 0
—3对应的线性无关的特征向量为
4 - 1 4 /I °
由 6E - A = -1 7 - 1 0 1 0得
4 - 1 4 0 0 0
=6对应的线性无关的特征向量为
1 0 _
1 —2〕得入3 =0对应的线性无关的特征向量为
由 QE-A 0
0 0
1
=4= 丄
规范化得y】 2
1
故正交矩阵为Q= (;
1
T X = QY , ,
/"(•zi ,工2，3)AX ....... — 3y} + 6允.
fi 9
(22)【解】(I )E(Y)= 夕• 2ydy =—,
J o 3
2
P{YWE(Y)}=尸{丫€彳}=］；2夕曲=y.
(U)方法一 Fz(z) =P{Z ^z} =P{X +Y^z},
当 zVO 时,Fz(z)=O；当 z $ 3 时，Fz（z） =1;
当 o < z < i 时,fz（z）= p{x = o,y < z} = p{x = o,y < z}
= P{X-O}P{Y
