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2017年数学(二)真题解析
一、选择题
(1)【答案】(A).
/(O) = /(0 — 0) =b ,
因为_/(工)在工=0处连续，所以/(0 + 0) —/(0) = /(0 — 0),从而a*, b= 应选(A).
(2)【答案】(B).
【解】 方法一 取 /(j：) = 2j?2 — 1,显然 /(I) = /(— 1) = 1,/(0) = —1且 f'O= 4>0,
但「/(a-) <0,应选(B).
方法二 令 A(- l,l),B(0, - 1),C(1,1),
设》=&(鼻)(一1€工W1)为连接AB ,BC的折线段,
因为_/"(工)> 0,所以y = /(j?)在［—1,1］上是凹的，
而[g(H)dz = ] g(H)cLz +]g(jc)(lz=0,故[/ (jr ) d j? < 0,应选(E).
J —1 J —1 J o J —1
(3) 【答案】(D).
【解】 令limjr” =A ,由 + sin 工”)=A + sin A =0 得 A = 0,应选(D).
fl ——►- OO u —► OCl
(4) 【答案】(C).
【解】 特征方程为A2 -4A +8=0,特征根为入1,2 =2 土 2i.
方程y" — 4y7 + 8y = e2j的特解形式为力=Ae2j ；
方程 j/' 一 4y' + = e2j cos 2x 的特解形式为 y 2 =工 / (cos + Csin 2x ),
故方程y" 一 4j/ + = e" (1 + cos 2工)的特解形式为
y * = Ae2j + j? e2j (B cos 2z + C sin 2,x ),
应选(C).
(5) 【答案】(D).
【解】 由左存必>0得关于工为增函数，从而/(lj) >y(o,》)；
OX
由巧(；Q)V0得/(工，夕)关于y为减函数，从而/(x,o)>/(a-,l),
dy
由 > f(0,3/)得 /(l,0) > f (0,0)；
由 /(j-,0) >/(jc,1)得 /(0,0) >f(0,l),故/'(1,0) > /(0,l),应选(D).
(6) 【答案】(C).
【解】 从/=0到t=t0的时间段上，甲、乙分别走过的距离为
• 158 •
淘宝店铺：光速考研工作室在 t =t0 时 9S2 = S] + 10 9 即[s(£ )d£ = I ° (t)dt + 10 9
J 0 J 0
或「["(/) 一
“i (/)]dt =10,故 t0 = 25,应选(C).
J 0
(7)【答案】(B).
/° 0 0\ /° 0 0
【解】由P XAP = 0 1 0 得AP =p 0 1 0
1 '0
'0 0 21 0 2
X 1e 0
于是 AS】+ or 2 + «3) =AP 1 =P 0 1
J
'0 0
应选(E).
(8)【答案】(B).
【解】A ,B ,C的特征值为入i =入2 = 2,入3 = 1,
■0 0 0 \
由 2E -A 0 0 —1得r(2E-A) -1,则A可相似对角化，从而A〜C；
0 0 1 '
/0 - 1 帚…一，则…相似对角化,
由 2E - B = 0 0
'o 0
I
从而B与A,C都不相似，应选(E).
方法点评：设为n阶矩阵，且|AE -A | = \XE~B \，即的特征值相同，则
(1) 若矩阵都可相似对角化，则A〜B；
(2) 若矩阵中一个可相似对角化，一个不可相似对角化，则A ,B不相似.
二、填空题
(9)【答案】$=工+2.
【解】lim — = lim (1 + arcsin 兰)=1,
工_
8 X L°° \ X '
2
arcsin ——
2 x
arcsin —— lim 2,
x 工*- 8 1
则斜渐近线方程为》=工+2・
(10)【答案】-寺.
O
dy dj//dr cos t
【解】
drr dr /dt 1 + e
dx2 I /=o Ax / dt
• 159 •
淘宝店铺：光速考研工作室—sin / (1 + e‘) e‘ cos t
一
(l+ez)2 (1 + e‘)sin / + e‘ cos t
1 + e (1 +e )3
丄
(11)［答案】1.
pH-oo ln( 1 + ) ln(l+jr)d(^-
【解】 djr
J 0 (l+» 0 \工十丄
ln( 1 + jc ) I +°° 1
djr
工 + 1 o (工 +1)2
1
=—_ 厂=
+ 1 I 0
工
(12) 【答案】曲.
【解】 方法一 由 df(x,y)=yeydj： + jr (1 + 3/)6^=d(j?j；e^),得
f(x ,y) =^xyey +C,再由 /(0,0) =0,得 C=0,故/'(工，，)=#》"•
方法二 ^-=yey , 字=工(1 + y) e，,
dx oy
由学=夕"得 f(x,y) = ［yeydjc =xyey + C ,
ox J
再由 /(0,0) = 0 得 C =0,故 f Cx ,y) =xyey.
(13) 【答案】 In cos 1.
一
£4^ j1 tan x
【解】
J 0 x
=J tan x dr = In cos x In cos 1.
一 | = 一
(14)【答案】 一1・
/4
【解】由特征值与特征向量的定义得1
(1 = 入， .
即］ 解得a = — 1.
13 2a = A ,
十
三、解答题
(15)［解】［ —/ e® 乂 七 __TITeJ_u dw = eT f -/u e^u du ,
丿工
J o Jo Jo
• 160 •
淘宝店铺：光速考研工作室岁
攵• , 学
（16）【解】 e，f'i — sin =/；（ia）
d工
0
f\ + eJ ( ef\ 一 sin x • f^2)— cos x • — sin x 2 f；\ 一 sin x •危)?
dj?2
则當 I =/: (1,1)+/粘(1,1) —兀(1,1).
dr I 工=°
(17)【解】lim —ln(1 H lim 丄工—ln(l + i
x ln( 1 + 乂 )dz
8* ,上 =i, 2n7 \ n ”f°°
n k = \ n '
o
丄
ln( 1 + x )d(j?2 )
o
i _ 2 1 S —1) + 1
ln( 1 + j?) dj?
o — 1 o 1 + JC
lln 2_l. 1 X 一 1 + 1 d.z
o 1 + JC
iln 2-T + *- 2=4
扣
方法点评：本题考查定积分的定义求极限.
n项和求极限一般分为两种类型：
（1）分子次数齐、分母次数齐，且分母的次数高于分子一次，采用定积分定义求极限，即
（2）若分子次数或分母次数不齐，一般使用夹逼定理.
（18） ［解】工3+夕3 — 3j? + 3y — 2=0两边对工求导，得/ 一 3 + 3》'=0,
令j/=0得工1 =一1,夂2 =1，对应的函数值为= 0，》2 =1；
3jc 2 y' 一 3 十 3y' = 0 两边再对 x 求导，得 6工 + ^yy'2 + ^>y2+ 3夕"=0,
由y" （— 1）=2> 0得z = — 1为极小值点，极小值为夕=0 ；
由— 1V0得z=l为极大值点，极大值为y = 1.
（19） 【证明】（I ）根据极限保号性，因为lim厶⑺ V0,所以存在& >0,
lo+ 工
当工e（0,5）时，心旦 < o,即当工e（0,5）时f（x）< o,
X
于是存在c e（0,5）,使得/（c）
