文档内容
专题 6.2 动能定理及其应用
一、单选题
1．如图，某同学把质量为 的足球从水平地面踢出，足球达到最高点时速度为 ，离地高度为 。不计空
气阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是（ ）
A．该同学踢球时对足球做功
B．足球上升过程重力做功
C．该同学踢球时对足球做功
D．足球上升过程克服重力做功
【答案】C
【解析】
AC．由动能定理可得
解得该同学踢球时对足球做功
故C正确，A错误；
BD．足球上升过程重力做功
则足球上升过程克服重力做功 ，故BD错误。
故选C。2．如图甲所示，一质量为 的物体放在水平面上，在水平推力F的作用下由静止开始运动。已知F随运
动距离x变化的关系图像如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数为0.5，取 ，则物体运动的最
大距离为（ ）
A．8m B．12m C．20m D．28m
【答案】C
【解析】
图像与横轴围成的面积表示推力 做的功，由图乙可得
设物体运动的最大距离为 ，根据动能定理可得
解得
C正确，ABD错误。
故选C。
3．一块橡皮从桌面处被竖直向上抛出后又落回桌面。取竖直向上为正方向、桌面所在水平面为重力势能
参考平面，且空气阻力的大小不变。下列关于橡皮的加速度a、速度v与时间t的关系，重力势能 、动
能 与相对抛出点的位移x的关系图像正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
A．橡皮质量为m，所受重力为G，阻力大小为f，则上升阶段加速度大小
大小恒定，方向竖直向下为负。
下降阶段加速度大小
大小恒定，方向竖直向下为负。故A错误；
B．上升时物体速度随时间减小直至零，为正值；下降时速度随时间从零开始增大，为负值。且由A项分
析知 图像中上升阶段的图线斜率大于下降时图线的斜率，故B错误；
C．重力势能
即 与x成正比，故C正确；
D．上升和下降中经过同一位置时的位移相同，且离抛出点的位移越大，速度越小，动能越小。上升和下
降中经过同一位置时由于空气阻力的作用，上升时的动能大于下降时的动能。故D错误。
故选C。
4．如图所示，木块M可以分别从固定斜面的顶端沿左边或右边由静止开始滑下，且滑到A点或B点停下。
假定木块M和斜面及水平面间有相同的动摩擦因数，斜面与平面平缓连接，则（ ）A．距离OA等于OB B．距离OA大于OB
C．距离OA小于OB D．无法做出明确的判断
【答案】A
【解析】
设左侧斜面的倾斜角为 ，斜面的高度为h，物体与斜面及水平面间的动摩擦因数为 ， 如图
当从左侧滑下时，根据动能定理
而
整理得
同理可知
因此距离OA等于OB
故选A。
5．两个质量不同的物体与水平面之间的动摩擦因数相同，它们以相同的初动能开始沿水平面滑动，以下
说法中正确的是（ ）
A．质量小的物体滑行的时间较小
B．质量大的物体滑行的距离较长
C．在整个滑动过程中，质量大的物体克服摩擦阻力做功较多
D．在整个滑动过程中，两物体克服摩擦阻力做功相同
【答案】D
【解析】
A．两物体初动能相同，质量大的速度小，由牛顿第二定律
两物体加速度大小相等，又由所以质量小的物体运动时间长，故A错误；
B．在滑动过程中摩擦力做负功，由动能定理可知
滑行距离
质量越大的物块滑行距离越短，质量越小的物块滑行距离越长，故B错误；
CD．两物体最终都停下来了，由动能定理知，克服摩擦力做功的多少等于初动能大小，因此两物块克服摩
擦阻力做功相等，故C错误，D正确。
故选D。
二、多选题
6．如图所示，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R，bc是半径为R的四分之一的圆弧，
与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始
向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，水平位移和机械能的增量分别为
（ ）
A．5R B．6R C．5mgR D．6mgR
【答案】AC
【解析】
设小球运动到c点的速度大小为vc，则对小球由a到c的过程，由动能定理得
又
解得
小球离开c点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用下做匀减速直线运动，
由牛顿第二定律可知，小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g，则由竖直方向的运动可知，小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为
小球在水平方向的加速度
在水平方向的位移为
由以上分析可知，小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为5R，则小球机械
能的增加量
故选AC。
7．如图所示，某人把一个质量 的小球从 高处以 角斜向上抛出，初速度 ，不
计空气阻力，重力加速度 ，取地面为零势能面。则下列说法正确的是（ ）
A．抛出过程中，人对小球做的功是
B．小球落地时速度大小为
C．小球抛出后会继续上升，故从抛出到落地过程中重力对小球所做的功大于
D．小球到达最高点的重力势能为
【答案】AB
【解析】
A．抛出过程中，根据动能定理可知人对小球做的功为
A正确；
B．从抛出到落到过程，根据动能定理可得解得小球落地时速度大小为
B正确；
C．重力做功与路径无关，从抛出到落地过程中重力对小球所做的功
C错误；
D．小球抛出后上升的最大高度为
小球到达最高点的重力势能为
D错误。
故选AB。
三、解答题
8．某跳伞运动员从高 的楼层起跳，自由下落一段时间后打开降落伞，最终以安全速度匀速落地。
若降落伞视为瞬间打开，得到运动员起跳后的速度v随时间t变化的图像如图所示，已知运动员及降落伞
装备的总质量 ，开伞后所受阻力大小与速率成正比，即 ，g取 ，求：
（1）打开降落伞瞬间运动员的加速度；
（2）打开降落伞后阻力所做的功。
【答案】（1）26m/s2，方向竖直向上；（2）-58170J
【解析】
（1）匀速运动时，则有
mg＝kv解得
k＝120N/（m·s－1）
打开降落伞的瞬间，速度为
v＝18m/s
1
由牛顿第二定律得
kv－mg＝ma
1
解得
a＝26m/s2
方向竖直向上；
（2）根据图线围成的面积知，自由下落的位移为：
x＝ ×2×18m＝18m
1
则打开降落伞后的位移为：
x＝H－x＝100m－18m＝82m
2 1
由动能定理得
mgx＋W＝ mv2－ mv
2 f
代入数据解得
W＝-58170J
f
一、单选题
1．（2022·湖北·黄冈中学三模）一根长为 的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个质量为m的
小球 ，轻杆靠在一个高为 、质量为M的物块上，现有轻微的扰动，使杆由竖直状态开始向右倾倒，若
物块与地面摩擦不计，重力加速度为g，则杆与水平方向夹角为 =30°时，小球A的线速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，速度大小为 ，方向水平向右；可将B点运
动的速度沿垂直于杆和沿杆的方向分解。当杆与水平方向夹角为 =30°时，B点的线速度（垂直于杆的分
速度）为
设小球A的线速度为v，由题意可知
0
方向垂直于轻杆，对小球和物块，由动能定理可得
解得
故B正确，ACD错误。
故选B。
2．（2022·辽宁沈阳·三模）中国空间站将于2022年年底建成，空间站可供多名航天员巡访、长期工作和
生活。空间站的轨道可视为近地圆轨道，己知引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．在空间站工作的宇航员因受力平衡而处于悬浮状态
B．若已知空间站的运行周期就可以求得宇航员绕地球做圆周运动的动能
C．若已知空间站的运行周期就可以求得地球的密度
D．若已知空间站的运行周期就可以求得地球的质量
【答案】C
【解析】
A．在空间站工作的宇航员随空间站一起围绕地球做圆周运动，所受合力提供向心力，受力不平衡，故A
错误；
B．由动能
知已知空间站的运行周期不能求出宇航员绕地球做圆周运动的动能，故B错误；
C．设地球半径为R，空间站围绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力得
地球质量
地球密度
故C正确；
D．由C中分析可知，地球质量
要求得地球质量还需已知地球半径，故D错误。
故选C。
3．（2022·山西吕梁·三模）2022年2月15日，苏翊鸣获得北京冬奥会单板滑雪男子大跳台冠军，比赛时
运动员从超过40m的助滑区出发至起跳台依靠惯性跃向空中，做出一套空中动作后在着陆坡落地。某同学
用小球代替运动员用软件模拟了运动员自起跳台处跃向空中到落回着陆坡的过程，如图所示，小球每相邻
两个位置对应的时间间隔相等。若将运动员视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在最高点的速度为0
B．运动员跃起后在相等时间内速度的变化量不同C．运动员从跃起到上升到最高点和从最高点落回着陆坡所用时间相等
D．运动员落回着陆坡时的速度大于运动员自起跳台处跃向空中时的速度
【答案】D
【解析】
A．运动员在水平方向上做匀速直线运动，最高点速度不为0，选项A错误；
B．运动员跃起后做加速度为g的匀变速运动，相等时间内速度的变化量相同，选项B错误；
C．运动员上升的高度小于下降的高度，上升所用时间小于下降所用时间，选项C错误；
D．运动员所受重力做的总功为正功，动能增大，则运动员落回着陆坡时的速度大于运动员自起跳台处跃
向空中时的速度，选项D正确。
故选D。
4．（2022·天津·耀华中学一模）如图所示，质量为m的滑块从竖直墙壁上高为h处的a点，由静止开始沿
斜面ab滑入水平地面（斜面与水平地面在b点平滑连接，斜面长度可随b点位置变动调节），并最终静止
在c点，已知滑块与斜面及水平地面间的动摩擦因数均为μ，空气阻力不计。设c点到竖直墙壁的水平距离
为x，滑块到达b点时的速度大小为v，则滑块从a到c的运动过程中（ ）
A．斜面倾角越大，v越大 B．斜面倾角越大，v越小
C．斜面倾角越大，x越大 D．斜面倾角越大，x越小
【答案】A
【解析】
AB．设斜面倾角为 ，滑块由a到b，由动能定理得
解得
所以斜面倾角越大，v越大，故A正确，B错误；
CD．滑块由a到c，由动能定理解得
所以x的大小与斜面倾角无关，故CD错误。
故选A。
5．（2022·河北唐山·三模）一质量为 的汽车从 时刻由静止开始沿平直公路运动，其所受的合外力F
与位移x的关系如图所示。则（ ）
A．汽车在 这段位移内做匀加速直线运动
B．汽车在 位置时的速度大小为
C．汽车在 的位置F的瞬时功率为
D． 所用时间为
【答案】D
【解析】
A．汽车在 这段位移内所受合外力逐渐增大，汽车做加速度增大的加速直线运动，故A错误；
B．F-x图像与坐标轴所围的面积表示F的功，所以F在 这段位移内对汽车所作的功为
设汽车在 位置时的速度大小为v，根据动能定理有
1
解得故B错误；
C．设汽车在 的位置的速度大小为v，根据动能定理有
2
解得
汽车在 的位置F的瞬时功率为
故C错误；
D．设 所用时间为t，根据动量定理有
解得
故D正确。
故选D。
6．（2022·北京朝阳·二模）如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平
滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知斜面倾角为 ，小木块
质量为m，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为 ，A、O两点的距离为x。在小木块从斜面顶端滑
到A点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．如果h和 一定， 越大，x越大 B．如果h和 一定， 越大，x越小C．摩擦力对木块做功为 D．重力对木块做功为
【答案】D
【解析】
AB．对小木块运动的整个过程，根据动能定理有
解得
所以x与θ无关，故AB错误；
CD．根据前面分析可知重力对木块做功为
摩擦力对木块做功为
故C错误，D正确。
故选D。
二、多选题
7.（2022·安徽淮北·二模）2022年2月北京举办了第24届冬季奥运会，成为全球首座“双奥之城”。在此
期间，17岁的中国运动员苏翊鸣夺得男子单板滑雪大跳台项目金牌，成为中国首个单板滑雪奥运冠军。图
甲所示是苏翊鸣在北京首钢滑雪大跳台中心的比赛过程，现将其运动过程简化为如图乙所示。运动员以水
平初速度v 从P点冲上半径为R的六分之一圆弧跳台，离开跳台后M点为运动员的最高位置，之后运动员
0
落在了倾角为 的斜坡，落点距Q点的距离为L。若忽略运动员及滑雪板运动过程中受到的一切阻力并将
其看成质点，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在最高点速度为0
B．最高点M距水平面PQ的竖直距离为C．运动员离开圆弧跳台后在空中运动的时间
D．运动员落在斜面时的速度大小为
【答案】BD
【解析】
A．运动员离开跳台后做斜抛运动，则运动员在最高点时竖直速度为零，水平速度不为零，故A错误；
B．设运动员离开圆弧跳台后的速度为 ，由圆周知识和几何知识可得， 与水平方向的夹角为
运动员从开始运动到离开圆弧跳台，根据动能定理有
解得
运动员从离开圆弧跳台到最高点M，根据斜抛知识有
最高点M距水平面PQ的竖直距离为
联立解得，最高点M距水平面PQ的竖直距离为 ，故B正确；
CD．运动员从开始运动到落在斜面上，根据动能定理有
解得，运动员落在斜面时的速度大小为
运动员落在斜面时的竖直分速度大小为
则运动员离开圆弧跳台后在空中运动的时间为故C错误，D正确。
故选BD。
8．（2022·山西吕梁·三模）一质量为m=40 kg的儿童电动汽车在水平地面上由静止开始做直线运动。电动
汽车的速度与牵引力的功率随时间变化的函数关系图像分别如图甲、乙所示，3 s末电动汽车牵引力功率达
到额定功率，10 s末电动汽车的速度达到最大值，14 s时关闭发动机，经过一段时间电动汽车停止运动。
整个过程中电动汽车受到的阻力恒定。下列说法正确的是（ ）
A．电动汽车最大速度为5 m/s
B．电动汽车受到的阻力为100N
C．关闭发动机后，电动汽车经过5 s停止运动
D．整个过程中，电动汽车克服阻力做功为3750J
【答案】AD
【解析】
AB．由 图像可知在0～3s内，电动汽车的加速度
由 图像可知在0～3s内
解得
由牛顿第二定律
解得
由解得
故A正确，B错误；
C．关闭发动机后
经过
电动汽车停止运动，故C错误；
D．对全程由动能定理可得
解得
所以整个过程中克服阻力做功为3750J，故D正确。
故选AD。
9．（2022·上海·曹杨二中二模）如图，长L＝5m的水平轨道AB与半径R＝0.5m的 光滑圆弧轨道BC连
接，圆弧轨道处于竖直平面内且C端的切线竖直。在C端上方h＝0.5m处有一薄圆盘，圆盘绕其圆心在水
平面内做匀速圆周运动。圆盘上沿某一直径方向开有小孔P、Q，且圆盘旋转时孔P、Q均能转至C端正上
方。一质量m＝2kg、与轨道AB间动摩擦因数μ＝0.25的小滑块静置于轨道A端。现对该滑块施加一水平
向右的恒力F，使其由静止开始运动；当滑块运动至B点时撤去F，滑块运动到C端时对轨道的压力为
60N；滑块冲出圆弧轨道后恰好穿过小孔P，后又通过小孔Q落回圆弧轨道。不计空气阻力，滑块无阻碍
通过小孔，g取10m/s2。求：
（1）滑块经过C端时的速率v ；
C
（2）水平恒力F的大小；
（3）圆盘转动的角速度ω。【答案】（1） ；（2）10N；（3）
【解析】
（1）由牛顿第三定律可知，滑块滑离C端时，圆弧对滑块的弹力 ， 充当向心力，所以
解得
（2）滑块沿圆弧BC运动过程，只有重力做功，机械能守恒定律得
解得
滑块在AB段做初速度为零的匀加速运动，受力如图
由匀加速运动规律
解得
由牛顿第二定律得解得
（3）滑块从C端飞出做竖直上抛运动，有
可得穿过P孔时的速度
滑块从穿过P孔后再到穿过Q孔的时间
滑块又恰能穿过Q孔落回，圆盘角速度需满足
因此
10．（2022·北京师大附中三模）电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。随着储电技术的
不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，已知阻力f
与车速v的关系可认为 （k为未知常数）。某品牌电动汽车的电动机最大输出功率为P ，最高车速
m
为v ，车载电池最大输出电能为A。
m
①若电动汽车始终以最大输出功率启动，经过时间t 后电动汽车的速度大小为v，求该过程中阻力对电动
0 0
汽车所做的功W；
f
②若该车以速度v（v 小于v ）在平直公路上匀速行驶时，电能转化为机械能的总转化率为η，求该电动
1 1 m
汽车在此条件下的最大行驶里程s。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
①由动能定理可得阻力对电动汽车所做的功
②若该车以速度v 在平直公路上匀速行驶时，此时车的牵引力大小等于阻力，则有
1
F=
1
电动汽车的电动机的输出功率为
P=Fv=f v
1 1 1 1 1
由功能关系，该电动汽车在此条件下的最大行驶里程，则有
电动汽车最高车速为v ，当电动汽车的速度达到最大时，牵引力等于最大阻力，则有
m
电动汽车的最大功率有
解得
解得该电动汽车在此条件下的最大行驶里程
一、单选题
1．（2021·湖北·高考真题）如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程
中摩擦力大小f恒定，物块动能E 与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质
k
量m和所受摩擦力大小f分别为（ ）A．m=0.7 kg，f=0.5 N B．m=0.7 kg，f=1.0N
C．m=0.8kg，f=0.5 N D．m=0.8 kg，f=1.0N
【答案】A
【解析】
本题结合 图像考查动能定理。
0~10m内物块上滑，由动能定理得
整理得
结合0~10m内的图像得，斜率的绝对值
10~20 m内物块下滑，由动能定理得
整理得
结合10~20 m内的图像得，斜率
联立解得
故选A。
2．（2021·山东·高考真题）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度 出发，恰好能完成一个完整的
圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理
可得摩擦力的大小
故选B。
3．（2021·湖南·高考真题）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为 的
动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为 ，若动车组所
受的阻力与其速率成正比（ ， 为常量），动车组能达到的最大速度为 。下列说法正确的是（
）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为 ，则动车组匀速行驶的速度为
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 达到最大速度 ，则这一过程
中该动车组克服阻力做的功为
【答案】C
【解析】A．对动车由牛顿第二定律有
若动车组在匀加速启动，即加速度 恒定，但 随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，
故A错误；
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有
故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
C．若四节动力车厢输出的总功率为 ，则动车组匀速行驶时加速度为零，有
而以额定功率匀速时，有
联立解得
故C正确；
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 达到最大速度 ，由动能定理可
知
可得动车组克服阻力做的功为
故D错误；
故选C。
4．（2020·江苏·高考真题）如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上。斜面
和地面平滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数。该过程中，物块的动能 与水平
位移x关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可知设斜面倾角为θ，动摩擦因数为μ，则物块在斜面上下滑距离在水平面投影距离为x，根据动能
定理，有
整理可得
即在斜面上运动时动能与x成线性关系；
当小物块在水平面运动时,根据动能定理由
即
为物块刚下滑到平面上时的动能，则即在水平面运动时物块动能与x也成线性关系。
故选A。二、多选题
5．（2021·辽宁·高考真题）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一、某冰滑梯的示意图如图所示，
螺旋滑道的摩擦可忽略：倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，因滑板不同μ满足
。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，
以下L、L 的组合符合设计要求的是（ ）
1 2
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】CD
【解析】
设斜面倾角为 ，游客在倾斜滑道上均减速下滑，则需满足
可得
即有
因 ，所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，可得
滑行结束时停在水平滑道上，由全程的动能定理有
其中 ，可得，
代入 ，可得
，
综合需满足
和
故选CD。
6．（2021·全国·高考真题）一质量为m的物体自倾角为 的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑
动时的动能为 ，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为 。
已知 ，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【解析】
AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
整理得
；
A错误，C正确；B．物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
求解得出
B正确；
D．物体向上滑动时的根据牛顿第二定律有
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
由上式可知
a > a
上 下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式
则可得出
D错误。
故选BC。
三、解答题
7．（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角 =37°的光滑直轨道AB、
圆心为O 的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O 的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道
1 2
FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O、D、O 和
1 2
F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB
长度 ，滑块与轨道FG间的动摩擦因数 ，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，
sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（ ）
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F 的大小；
N（2）设释放点距B点的长度为 ，滑块第一次经F点时的速度v与 之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度 的值。
【答案】（1）7N；（2） （ ）；（3） ， ，
【解析】
（1）滑块释放运动到C点过程，由动能定理
经过C点时
解得
（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时
解得
而要保证滑块能到达F点，必须要保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动能定
理
可解得则要保证小球能到F点， ，带入 可得
（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n倍，则n=1,3,5,……
解得
n=1,3,5, ……
又因为
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，满足要求。
即若滑块最终静止在轨道FG的中点，释放点距B点长度 的值可能为 ， ， 。
8．（2021·全国·高考真题）一篮球质量为 ，一运动员使其从距地面高度为 处由静止自
由落下，反弹高度为 。若使篮球从距地面 的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下
拍球、球落地后反弹的高度也为 。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为 ；该
篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取 ，不计空气阻力。求：
（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）第一次篮球下落的过程中由动能定理可得
篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得
第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理可得
因篮球每次和地面撞击的前后动能的比值不变，则有比例关系
代入数据可得
（2）因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此有牛顿第二定律可得
在拍球时间内运动的位移为
做得功为
联立可得
（ 舍去）
9．（2020·全国·高考真题）如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为
m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管
始终保持竖直。已知M =4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg, g为重力加速度的大小，不计空气阻
力。
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。【答案】（1）a=2g，a=3g；（2） ；（3）
1 2
【解析】
（1）管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动。设此时管的加速度大小为a，方向向下；球的加速
1
度大小为a，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为f，由牛顿运动定律有
2
Ma=Mg+f ①
1
ma = f– mg ②
2
联立①②式并代入题给数据，得
a=2g，a=3g③
1 2
（2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为
④
方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。
设自弹起时经过时间t，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式
1
v–at= –v +a t⑤
0 11 0 21
联立③④⑤式得
⑥
设此时管下端的高度为h，速度为v。由运动学公式可得
1
⑦
⑧
由③④⑥⑧式可判断此时v>0。此后，管与小球将以加速度g减速上升h，到达最高点。由运动学公式有
2
⑨
设管第一次落地弹起后上升的最大高度为H，则
1
H= h + h ⑩
1 1 2
联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得
⑪
（3）设第一次弹起过程中球相对管的位移为x。在管开始下落到上升H 这一过程中，由动能定理有
1 1Mg（H–H）+mg（H–H+x）–4mgx=0
1 1 1 1
联立 式并代入题给数据得 ⑫
⑪⑫
⑬
同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移x 为
2
⑭
设圆管长度为L。管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是
x+ x ≤L
1 2
联立 式，L应满足条件为 ⑮
⑪⑬⑭⑮
⑯
四、填空题
10．（2016·上海·高考真题）地面上物体在变力F作用下由静止开始竖直向上运动，力F随高度x的变化
关系如图所示，物体能上升的最大高度为h，h
