文档内容
绝密★启用前
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
3-i
1．设z = ，则 z =
1+2i
A．2 B． 3 C． 2 D．1
2．已知集合U =1,2,3,4,5,6,7，A=2,3,4,5，B=2,3,6,7 ，则B
I
ð
U
A=
A．
1,6
B．
1,7
C．
6,7
D．
1,6,7
3．已知a =log 0.2,b=20.2,c=0.20.3，则
2
A．a0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
a2 b2
1 1
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
sin50° cos50°
1
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，
4
第2页 | 共5页b
则 =
c
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知椭圆C的焦点为F(-1,0),F (1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点.若
1 2 2
| AF |=2|F B|，| AB|=|BF |，则C的方程为
2 2 1
x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． + y2 =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1
2 3 2 4 3 5 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y =3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________．
3
14．记S 为等比数列{a }的前n项和.若a =1，S = ，则S =___________．
n n 1 3 4 4
3π
15．函数 f(x)=sin(2x+ )-3cosx的最小值为___________．
2
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为
3，那么P到平面ABC的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的
服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
n(ad -bc)2
附：K2 = ．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P（K2≥k 0.050 0.010 0.001
）
第3页 | 共5页k 3.841 6.635 10.828
18．（12分）
记S 为等差数列{a }的前n项和，已知S =－a ．
n n 9 5
（1）若a =4，求{a }的通项公式；
3 n
（2）若a >0，求使得S ≥a 的n的取值范围．
1 n n
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–
A B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D
1 1 1 1 1 1 1
的中点.
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
第4页 | 共5页一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
ì 1-t2
x= ，
ï
ï 1+t2
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í （t为参数），以坐标原点O为
4t
ï
y =
ïî 1+t2
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2rcosq+ 3rsinq+11=0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
1 1 1
（1） + + £a2 +b2 +c2；
a b c
（2）(a+b)3 +(b+c)3 +(c+a)3 ³24．
第5页 | 共5页
