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2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）
答案解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
3-i
1.设z = ，则 z =
1+2i
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算（分母实数化），求得z，再求 z ．
3-i (3-i)(1-2i) 1 7
【详解】因为z = ，所以z = = - i，所以
1+2i (1+2i)(1-2i) 5 5
1 7
z = ( )2 +(- )2 = 2 ，故选C．
5 5
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性
质直接求解．
2.已知集合U =1,2,3,4,5,6,7，A=2,3,4,5，B=2,3,6,7 ，则B
I
C
U
A
A.
1,6
B.
1,7
C.
6,7
D.
1,6,7
【答案】C
【解析】
【分析】
先求ð A，再求BÇð A．
U U
【详解】由已知得C A=1,6,7 ，所以BÇC A= {6,7}，故选C．
U U
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案
．
第1页 | 共22页3.已知a =log 0.2,b=20.2,c=0.20.3，则
2
A. a0，求使得S ≥a 的n的取值范围．
1 n n
【答案】（1）a =-2n+10；
n
（2）1£n£10(nÎN*).
【解析】
【分析】
（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于a 和d 的方程组，求得
1
a 和d 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；
1
（2）根据题意有a =0，根据a 0，可知d <0，根据S a ，得到关于n的不等式
5 1 n n
，从而求得结果.
【详解】设等差数列 a 的首项为a ，公差为d ，
n 1
ì 9´8
ï9a + d =-(a +4d)
根据题意有í 1 2 1 ，
ïa +2d =4
î
1
ìa =8
解答í 1 ，所以a =8+(n-1)´(-2)=-2n+10，
îd =-2 n
第13页 | 共22页所以等差数列 a 的通项公式为a =-2n+10；
n n
（2）由条件S =-a ，得9a =-a ，即a =0，
9 5 5 5 5
因为a 0，所以d <0，并且有a =a +4d =0，所以有a =-4d，
1 5 1 1
n(n-1)
由S ³a 得na + d ³a +(n-1)d ，整理得(n2 -9n)d ³(2n-10)d，
n n 1 2 1
因为d <0，所以有n2 -9n£2n-10，即n2 -11n+10£0，
解得1£n£10，
所以n的取值范围是：1£n£10(nÎN*)
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数
列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关
键.
19.如图，直四棱柱ABCD–
A B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的
1 1 1 1 1 1 1
中点.
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1
【答案】（1）见解析；
4 17
（2） .
17
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线和AD//BC可证得ME//ND，证得四边形MNDE 为平行四边
1 1
形，进而证得MN //DE，根据线面平行判定定理可证得结论；
第14页 | 共22页（2）根据题意求得三棱锥C -CDE的体积，再求出DC DE的面积，利用
1 1
V =V 求得点C到平面C DE的距离，得到结果.
C 1 -CDE C-C 1 DE 1
【详解】（1）连接ME，B C
1
M ，E分别为BB ，BC中点 \ME为DBBC的中位线
Q 1 1
1
\ME//BC且ME = B C
1 2 1
1
又N 为AD中点，且AD//BC \ND//BC且ND = BC
1 1 1 1 2 1
\ME//ND \四边形MNDE 为平行四边形
\MN //DE，又MN Ë平面C DE，DEÌ 平面C DE
1 1
\MN //平面C DE
1
（2）在菱形ABCD中，E为BC中点，所以DE^BC，
根据题意有DE = 3，C E = 17 ，
1
因为棱柱为直棱柱，所以有DE^平面BCC B ，
1 1
1
所以DE ^ EC ，所以S = ´ 3´ 17 ，
1 DDEC 1 2
设点C到平面C DE的距离为d ，
1
1 1 1 1
根据题意有V =V ，则有 ´ ´ 3´ 17´d = ´ ´1´ 3´4，
C-CDE C-CDE
1 1 3 2 3 2
4 4 17
解得d = = ，
17 17
4 17
所以点C到平面C DE的距离为 .
1
17
第15页 | 共22页【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平
面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线
的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.
20.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）aÎ-¥,0
.
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，设为gx 进行再次求导，可判断出当xÎ æ ç ç çè 0, p 2 ö ø ÷ ÷÷ ÷时，g¢x0
æ ö
，当xÎ ç , ÷时，g¢x<0，从而得到gx 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零
è 2 ø
点所处的位置，证得结论；（2）构造函数hx= f x-ax，通过二次求导可判断出
æö -2
h¢x =h¢=-2-a，h¢x =h¢
ç ÷
= -a；分别在a£-2，-2
