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绝密★启用前
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=
A．(–1，+∞) B．(–∞，2)
C．(–1，2) D．Æ
2．设z=i(2+i)，则z =
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
A． 2 B．2
C．5 2 D．50
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，
则恰有2只测量过该指标的概率为
2 3
A． B．
3 5
2 1
C． D．
5 5
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
第1页 | 共6页丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex -1，则当x<0时，f(x)=
A．e-x -1 B．e-x +1
C．-e-x -1 D．-e-x +1
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
p 3p
8．若x = ，x = 是函数f(x)=sinwx(w>0)两个相邻的极值点，则w=
1 2
4 4
3
A．2 B．
2
1
C．1 D．
2
x2 y2
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 + =1的一个焦点，则p=
3p p
A．2 B．3
C．4 D．8
第2页 | 共6页10．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A．x- y-p-1=0 B．2x- y-2p-1=0
C．2x+ y-2p+1=0 D．x+ y-p+1=0
π
11．已知a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
2
1 5
A． B．
5 5
3 2 5
C． D．
3 5
x2 y2
12．设F为双曲线C： - =1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为
a2 b2
直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． 2 B． 3
C．2 D． 5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
ì2x+3y-6³0，
ï
13．若变量x，y满足约束条件íx+ y-3£0， 则z=3x–y的最大值是___________.
ï
îy-2£0，
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正
点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高
铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方
体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多
面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．
图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正
第3页 | 共6页方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第
一空2分，第二空3分．）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题
，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE=A E，AB=3，求四棱锥E-BBCC的体积．
1 1 1
18．（12分）
已知{a }是各项均为正数的等比数列，a =2,a =2a +16.
n 1 3 2
（1）求{a }的通项公式；
n
第4页 | 共6页（2）设b =log a ，求数列{b }的前n项和.
n 2 n n
19．（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些
企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例
；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）.（精确到0.01）
附： 74 »8.602.
20．（12分）
x2 y2
已知F,F 是椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点
1 2 a2 b2
．
（1）若△POF 为等边三角形，求C的离心率；
2
（2)如果存在点P，使得PF ^ PF ，且△FPF 的面积等于16，求b的值和a的取值范
1 2 1 2
围.
21.（12分）
已知函数 f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明：
（1） f(x)存在唯一的极值点；
第5页 | 共6页（2） f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M(r,q)(r >0)在曲线C:r=4sinq上，直线l过点
0 0 0
A(4,0)且与OM 垂直，垂足为P.
p
（1）当q= 时，求r及l的极坐标方程；
0 3 0
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
（1）当a =1时，求不等式 f(x)<0的解集；
（2）若xÎ(-¥,1)时， f(x)<0，求a的取值范围.
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