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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新 I 卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. ）
1. 的虚部为
【答案】
【解析】因为 ，所以 的虚部为1，选 .
2. 设全集 为小于9的正整数 ， ，则 中的元素个数为
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，选 .
3. 双曲线虚轴长是实轴长的 倍，求离心率为
【答案】
【解析】由题知 ，所以 ，双曲线的离心率 ，选 .
4. 已知点 是函数 的图像的一个对称中心，则 的最小值为
【答案】B
【解析】 的对称中心为 ，向右平移 个长度单位，得 的对称中心
为 ，所以 ，又 ，所以 的最小值为 ，选B．
5. 已知 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时， ，则
【答案】
【解析】 ，选 .
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，
视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与
船速对应的向量大小相等、方向相反. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对
应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为
1/11A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
【答案】
【解析】 真风风速+船行风速=视风风速， 真风风速=视风风速+船速.
由图中两向量的起点坐标和终点坐标可知：
视风风速 ，船速 ， 真风风速
真风风速的大小为 ，为轻风，选：A.
7. 已知圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值
范围是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由点到直线的距离公式可知：圆心 到直线 的距离
. 而到直线 的距离为1的点的轨
迹是两条平行直线，如右图中的两条红色虚线. 只需考虑两个临界位置：
当 时，圆与 相切，圆上只有切点到直线 的距离为1；
当 时，圆与 相切，圆上有3个点到直线 的距离为1；
由图可知，要使圆 上到直线 的距离为 的点有且仅有两个，必须且只需 ，选 .
8. 已知 ，则 的大小关系不可能为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ，则
当 时， ， ，选项A成立；
当 时， ， ，选项C成立；
当 时， ， ，选项D成立；
故选B.
【点评】三个值相等设为 ，将 都用 表示. 令 取得不同的值，可得到不同的 大小关系.
2/11二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在正三棱柱 中， 为 的中点，则
A. B. 平面 C. //平面 D. //
【答案】BC
【解析】A：若 ，则由 得 平面 ，
从而 ，与 相矛盾，所以A错；
B：因为 ， ，所以 平面 ，B对；
C：因为 // ，所以 //平面 ，C对；
D：因为 // ，所以 // 不成立，D错.
10. 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 ，过 且垂直于 的直线 于
，过 作 的垂线，垂足为 ，则
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】A：焦点为 ，准线为直线 ，
由抛物线的定义知 ，选项A正确.
B：当 轴时， ，
，所以 ，B错；
C：通径长为 ，所以 ，C对．
D：令
由 消 得 ，
，
，
当 时， ，
当 时， ， ，
3/11，
，所以 ，D对.
综上，选ACD．
11.已知 的面积为 ，若 ，则
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A：由 得：
，A正确．
对于BCD：由 得
，
展开整理得 ，即 ，
又由 知A、B为锐角，所以 ，
又 ，所以 ，故 .
从而 ， ，
容易解得 ，C对；
由 得 ，
再由正弦定理得： ，B对；
，D错.
故选：ABC．
【点评】由和差化积公式得到 ，进而求出 是解题的关键，现行课
本把和差化积公式作为练习题放到课后练习里了.
4/11三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线 是曲线 的切线，则 ．
【答案】4
【解析】设切点 ，求导得 ，
13．若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 ．
【答案】2
【解析】由题意知 ，两式相除得 ．
14．一个箱子里有5个球，分别以 标号，若有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为 ，
则 ．
【答案】
【解析】法一：因为有放回地取三次，所以 的取值可以是1、2、3.
当 时，三次取出的球标号都一样，则 ；
当 时，三次取出的球有两次标号一样，则 ；
当 时，三次取出的球标号都不一样，则 ；
法二： ，
（ 表示先选出1个编号，以下同样地： 表示先选出2个编号， 表示先选出3个编号.）
5/11四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000
人，得到如下列联表：
超声波检查结果
正常 不正常 合计
组别
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
(2)根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查的结果是否与患该疾病有关.
参考公式： ，其中 .
0.05 0.010 0.001
3.841 6.636 10.828
【解析】（1）超声波检查结果不正常者有200人，这200人中患该疾病的有180人，
所以P的估计值为 .
（2）零假设 ：超声波检查结果与是否患该疾病无关.
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关．
16.（15分）设数列 满足 .
(1)证明： 为等差数列；
(2)设 ，求 .
6/11【解析】（1） ，
是以1为公差的等差数列．
（2） .
对 求导得： ，
即
①－②得， ，
令 得：
，
.
17.（15分）如图所示的四棱锥 中， 平面 ， // ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若
在同一个球面上，设该球面的球心为 .
(i)证明： 在平面 上；
(ii)求直线 与直线 所成角的余弦值.
【解析】（1） ，又 平面 平面 ，
平面 平面 .
又因为 平面 平面 平面 ．
（2） 平面 两两垂直，分别以 为 轴，
轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图．
则 .
7/11（i）设球心 ，半径 ，
由 得：
，解得 ，
平面 ．
（ii）设直线 与直线 所成角为 ，因为 ，
所以 .
18.（17分）设椭圆 ，记 为椭圆下端点， 为右端点， ，且椭
圆 的离心率为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点 .
(i)若 不在 轴上，设 是射线 上一点， ，用 表示点 的坐标；
(ii)设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，若 为椭圆上一点，求 的最大值.
【解析】（1） ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）(i)法一：设 且 是射线 上的点，
由 得： ， ①
在 上， ， ②
8/11联立①②解得 ，即 .
法二：设 ，
，
(ii) ，
， ，
点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
设 ，则 ，
，当 时， ．
或：设 ，则
19.（17分）设函数 .
(1)求 在 的最大值；
(2)给定 ， 为给定实数，证明：存在 ，使得 ；
(3)若存在 ，使得对任意 ，都有 ，求 的最小值.
【解析】（1） ，
因为 ，所以令 ，得 ，或 .
9/11当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
（2）法一： .
只需证明：存在 ，使得 或 有解.
而
，
要使存在 使上式成立，则 和 的交集不空，
即 ，解得其解集为 .
同理，由 得 .
显然 ，所以 恒成立，即总存在 ，使得 .
法2：反证法．假设 （ ），都有 ．
因为函数 在 上单调递减，且是周期为 的偶函数，
所以由 得 ．
所以 ，即 ， ，
所以原假设不成立，即存在 （ ），使得 ．
（3）法一：因为 ，所以 是以 为周期的偶函数．
由 的存在性，我们不妨令 ，则 .
10/11由（1）可知 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增．且 ，
综上可知，当 时， ，都有 ，所以 ．
法二：由余弦函数周期性，可令 ．
①当 时，对 ，有
，当且仅当 时取等号，
所以 ，此时 .
②当 时，取 ，
则 ，
此进 ，从而 .
综上可知，当 时， ，都有 ，所以 ．
【点评】也可以这样取x的特殊值：
由（2）知，取 时，有： ，使 .
令 ，则 .
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