2025年高考天津卷数学真题试题与参考解析(来自MST)_历年全国高考真题_2025全国各省高考真题+答案_天津卷_数学

2025年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。（公众号：MST数学聚集地MathHub）
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合U=1,2,3,4,5  ,A=1,3  ,B=2,3,5  ，则∁ A∪B
U
 = ( )
A. 1,2,3,4  B. 2,3,4  C. 2,4  D. 4 
2. 设x∈R，则“x=0”是“sin2x=0”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数y=fx  的图象如下，则fx  的解析式可能为 ( )
x x |x| |x|
A. f(x)= B. f(x)= C. f(x)= D. f(x)=
1-|x| |x|-1 1-x2 x2-1
4. 若m为直线，α,β为两个平面，则下列结论中正确的是 ( )
A. 若m⎳α,n⊂α，则m⎳n B. 若m⊥α,m⊥β，则α⊥β
C. 若m⎳α,m⊥β，则α⊥β D. 若m⊂α,α⊥β，则m⊥β
5. 下列说法中错误的是 ( )
A. 若X∼Nμ,σ2  ，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B. 若X∼N1,22  ，Y∼N2,22  ，则P(X<1)<P(Y<2)
C. r  越接近1，相关性越强
D. r  越接近0，相关性越弱
数学试题 第 1 页 共 15 页6. S n =-n2+8n，则数列 a n    的前12项和为 ( )
A. 112 B. 48 C. 80 D. 64
7. 函数f(x)=0.3x- x的零点所在区间是 ( )
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
5π π
8. f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)，在 - ,
 12 12

π
上单调递增，且x= 为它的一条对称轴，
12
π
 ,0
3

π
是它的一个对称中心，当x∈ 0,
 2
 时，f(x)的最小值为 ( )
3 1
A. - B. - C. 1 D. 0
2 2
x2 y2
9. 双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F，以右焦点F 为焦点的抛物线y2=2px(p
a2 b2 1 2 2
>0)与双曲线交于另一象限点为P，若PF 1  +PF 2  =3F 1 F 2  ，则双曲线的离心率e= ( )
2+1 5+1
A. 2 B. 5 C. D.
2 2
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
3+i
10. 已知i是虚数单位，则
i
 = ．
11. 在x-1  6的展开式中，x3项的系数为 ．
12. l :x-y+6=0，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2交于C、D两点，|AB|=
1
3|CD|，则r= ．
13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第
二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，4圈的
概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合
格周数为X，则期望E(x)=
 1         
14. △ABC中，D为AB边中点，CE= CD,AB=a,AC=b，则AE= (用a，b表示)，若|AE|=
3
 
5，AE⊥CB，则AE⋅CD=
15. 若a,b∈R，对∀x∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b的最小值为
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知asinB= 3bcosA，c-2b=1，a= 7．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求sin(A+2B)的值．
数学试题 第 2 页 共 15 页17. 正方体ABCD-ABCD 的棱长为4，E、F分别为AD ,CB 中点，CG=3GC．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D-FBE的体积．
x2 y2
18. 已知椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
 的左焦点为F，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线PF的斜率为
1 3 1
，△PFA的面积为 ，离心率为 .
3 2 2
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB.
数学试题 第 3 页 共 15 页19. 已知数列a
n
 等差数列，b
n
 是等比数列，a =b =2,a =b +1,a =b ．
1 1 2 2 3 3
(1)求a
n
 ，b
n
 的通项公式；
(2)∀n∈N*，I∈0,1  ，有T =pab +p a b +...+p a b +p a b |p ,p ,...,p ,p ∈I
n 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n 1 2 n-1 n
 ，
(i)求证：对任意实数t∈T，均有t<a b ;
n n+1 n+1
(ii)求T 所有元素之和．
n
20. 已知函数f(x)=ax-(lnx)2
(1)a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)f(x)有3个零点，x 1 ,x 2 ,x 3 且x 1 <x 2 <x 3  .
(i)求a的取值范围；
(ii)证明lnx 2 -lnx 1 
4e
⋅lnx < ． 3 e-1
数学试题 第 4 页 共 15 页参考答案
1. D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
由A=1,3  ,B=2,3,5  ，则A∪B=1,2,3,5  ，
集合U=1,2,3,4,5  ，
故∁ A∪B
U
 =4 
故选：D.
2. A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
由x=0⇒sin2x=sin0=0，则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件；
又当x=π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0⇏x=0，
故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，
综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.
故选：A.
3. D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由x∈0,1  时函数值正负情况可得解.
由图可知函数为偶函数，而函数fx 
x
=
1-x 
和函数fx 
x
=
x 
为奇函数，故排除选项AB；
-1
又当x∈0,1  时1-x2>0,x2-1<0，此时fx 
x
=

>0,fx
1-x2

x
=

<0，
x2-1
由图可知当x∈0,1  时，fx  <0，故C不符合，D符合.
故选：D
4. C
【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.
对于A，若m⎳α,n⊂α，则m,n可平行或异面，故A错误；
对于B，若m⊥α,m⊥β，则α⎳β，故B错误；
对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，
现m⎳a,m⊥β，故a⊥β，故C正确；
对于D，m⊂α,α⊥β，则m与β可平行或相交或m⊂β，故D错误；
故选：C.
5. B
【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.
对于A，根据正态分布对称性可知，PX≤μ-σ  =PX≥μ+σ  ，A说法正确；
对于B，根据正态分布对称性可知，PX<1  =PY<2  =0.5，B说法错误；
对于C和D，相关系数r  越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.
故选：B
6. C
【分析】先由题设结合a =S -S 求出数列a
n n n-1 n
 的通项公式，再结合数列a
n
 各项正负情况即可求
解.
因为S =-n2+8n，
n
数学试题 第 5 页 共 15 页所以当n=1时，a =S =-12+8×1=7，
1 1
当n≥2时，a n =S n -S n-1 =-n2+8n  - -n-1  2+8n-1    =-2n+9，
经检验，a =7满足上式，
1
所以a n =-2n+9n∈N*  ，令a =-2n+9≥0⇒n≤4，a =-2n+9≤0⇒n≥5， n n
设数列 a n    的前n项和为T， n
则数列 a n    的前4项和为T =S =-42+8×4=16 4 4
数列 a n    的前12项和为
T 2n =a 1  +a 2  +⋯+a 12  =a +a +a +a -a -a -⋯-a 1 2 3 4 5 6 12
=2S 4 -S 12 =2×16--122+8×12  =80.
故选：C
7. B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3x在R上单调递减，y= x在0,+∞  单调递增，
所以fx  =0.3x- x在定义域上单调递减，
显然f0  =1>0,f0.3  =0.30.3-0.30.5>0,f0.5  =0.30.5-0.50.5<0，
所以根据零点存在性定理可知fx  的零点位于0.3,0.5  .
故选：B
8. A
【分析】利用正弦函数的对称性得出ω=4n+2，根据单调性得出0<ω≤2，从而确定ω，结合对称轴与对
称中心再求出φ，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
设fx 
π π
 ω+φ= +2kπ
12 2
最小正周期为T，根据题意有 ，m,k∈Z
π
ω+φ=mπ
3
 ，
π π 2n+1
由正弦函数的对称性可知 - =
3 12
 T
n∈Z
4
 ，
π 2nπ+π
即 = ,∴ω=4n+2，
4 2ω
又fx 
5π π
在 - ,
 12 12

T π 5π
上单调递增，则 ≥ --
2 12 12

π π
,∴ ≥ ⇒0<ω≤2，
ω 2
π
φ= +2kπ
 3
∴ω=2，则 ，
2π
φ=mπ-
3
∵φ∈-π,π 
π
，∴k=0,m=1时，φ= ，∴fx
3

π
=sin2x+
3
 ，
π
当x∈ 0,
 2

π π 4π
时，2x+ ∈  ,
3  3 3
 ，
由正弦函数的单调性可知fx 
4π 3
=sin =- .
min 3 2
故选：A
9. A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 PF 1  =3c+a
PF 2  =3c-a=PA 


，根据勾股定理从而确定P的坐标，
利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
p
根据题意可设F ,0 2 2  ，双曲线的半焦距为c，Px 0 ,y 0  ，则p=2c，
数学试题 第 6 页 共 15 页过F 作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF 为抛物线的准线，
1 1
则PA  =PF 2  ，
由双曲线的定义及已知条件可知 PF 1  -PF 2  =2a
PF 1  +PF 2 
 ，则 PF 1

=6c
 =3c+a
PF 2  =3c-a=PA 
 ，

由勾股定理可知AF 1  2=y2 0 =PF 1  2-PA  2=12ac，
x2 y2 9a2 12ac
易知y2=4cx ,∴x =3a，即 0 - 0 = - =1，
0 0 0 a2 b2 a2 c2-a2
整理得2c2-3ac-2a2=0=2c+a  c-2a  ，∴c=2a，即离心率为2.
故选：
10. 10
3+i
【分析】先由复数除法运算化简 ，再由复数模长公式即可计算求解.
i
3+i
先由题得 =-i3+i
i

3+i
=1-3i，所以
i
 = 12+-3  2= 10.
故答案为： 10
11.-20
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
x-1  6展开式的通项公式为T r+1 =C 6 rx6-r⋅-1  r，
当r=3时，T 4 =C 6 3x3⋅-1  3=-20x3，
即x-1  6展开式中x3的系数为-20.
故答案为：-20
12.2
【分析】先根据两点间距离公式得出|AB|=6 2，再计算出圆心到直线的距离d，根据弦长公式|CD|=
2 r2-d2列等式求解即可.
因为直线l 1 :x-y+6=0与x轴交于A-6,0  ，与y轴交于B0,6  ，所以|AB|= 62+62=6 2，所以
CD  =2 2，
圆(x+1)2+y-3 
|-1-3+6|
2=r2的半径为r，圆心(-1,3)到直线l :x-y+6=0的距离为d= = 1 2
2，
故CD  =2 r2-d2=2 r2- 2  2=2 2，解得r=2；
故答案为：2.
数学试题 第 7 页 共 15 页13. ①. 0.6 ②. 3.2
【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.
设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，
则PA  =PB 

PC|B 

+PB 

PC|B  =0.5×0.6+0.5×0.6=0.6；
若至少跑11圈为运动量达标为事件D，PD  =PA 

+PB 
 
PC|B  =0.6+0.5×0.4=0.8，
所以X∼B4,0.8  ，EX  =4×0.8=3.2；
故答案为：0.6；3.2
1  2 
14. ①. a+ b； ②. -15
6 3
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
如图，
     
1 1
因为CE= CD，所以AE-AC= AD-AC
3 3

  
1 2
，所以AE= AD+ AC．
3 3
 1  2  1  2 
因为D为线段AB的中点，所以AE= AB+ AC= a+ b；
6 3 6 3
 又因为AE  =5,AE⊥CB，所以A  E  2 = 1 a  + 2 b 
6 3
 2 1  2   4  = a2+ a⋅b+ b2=25，
36 9 9
  1  2 
AE⋅CB= a+ b
6 3

 
⋅a-b 
1  1   2     
= a2+ a⋅b- b2=0，所以a2+3a⋅b=4b2
6 2 3
  
所以a2+4a⋅b=180，
  1  2 
所以AE⋅CD= a+ b
6 3

 1 
⋅-b+ a
2

1  1   2  1    
= a2+ a⋅b- b2= a2+2a⋅b-8b2
12 6 3 12

1      
= a2+2a⋅b-2a2-6a⋅b2
12

1   
= -a2-4a⋅b2
12
 =-15．
1  2 
故答案为： a+ b；-15.
6 3
15.-4
1
【分析】先设t=2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x=- ，得到t≥-4，验证t=-4时，a,b是
2
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
设t=2a+b，原题转化为求t的最小值，
数学试题 第 8 页 共 15 页原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，tx2+t-2a  x-a-1≤0，
1 1 1
不妨代入x=- ，得 t- t-2a
2 4 2
 -a-1≤0，得t≥-4，
当t=-4时，原不等式可化为-4x2+-4-2a  x-a-1≤0，
1
即- 2x+ a+1
2
  


2 1
+ a2≤0，
4
观察可知，当a=0时，-2x+1 
1
2≤0对-2≤x≤2一定成立，当且仅当x=- 取等号，
2
此时，a=0,b=-4，说明t=-4时，a,b均可取到，满足题意，
故t=2a+b的最小值为-4.
故答案为：-4
π
16.(1)
3
(2)3
4 3
(3)
7
【分析】(1)由正弦定理化边为角再化简可求；
(2)由余弦定理，结合(1)结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得b，进而求得c；
(3)利用正弦定理先求B，再由二倍角公式分别求sin2B,cos2B，由两角和的正弦可得.
【小问1详解】
a b
已知asinB= 3bcosA，由正弦定理 = ，
sinA sinB
得asinB=bsinA= 3bcosA，显然cosA≠0，
得tanA= 3，由0<A<π，
π
故A= ；
3
【小问2详解】
1
由(1)知cosA= ，且c=2b+1，a= 7，
2
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，
1
则7=b2+(2b+1)2-2× b(2b+1)=3b2+3b+1，
2
解得b=1(b=-2舍去)，
故c=3；
【小问3详解】
a b 3
由正弦定理 = ，且b=1,a= 7,sinA= ，
sinA sinB 2
bsinA 21
得sinB= = ，且a>b，则B为锐角，
a 14
5 5 3
故cosB= 7，故sin2B=2sinBcosB= ，
14 14
21
且cos2B=1-2sin2B=1-2×
14

2 11
= ；
14
3 11 1 5 3 4 3
故sin(A+2B)=sinAcos2B+cosAsin2B= × + × = .
2 14 2 14 7
17.(1)证明见解析
4
(2)
5
数学试题 第 9 页 共 15 页32
(3)
3
【分析】(1)法一、利用正方形的性质先证明FG⊥BF，再结合正方体的性质得出EF⊥平面BCC B ，利
1 1
用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；
(2)利用空间向量计算面面夹角即可；
(3)利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可.
小问1详解】
法一、在正方形BCCB 中，
1 1
CG 1 FB
由条件易知tan∠CFG= 1 = = 1 =tan∠BBF，所以∠CFG=∠BBF，
1 CF 2 BB 1 1 1
1 1
π
则∠BFB+∠BBF= =∠CFG+∠BFB，
1 1 2 1 1
故∠BFG=π-∠C 1 FG+∠B 1 FB 
π
= ，即FG⊥BF， 2
在正方体中，易知DC ⊥平面BCCB ，且EF⎳DC ，
1 1 1 1 1 1
所以EF⊥平面BCCB ，
1 1
又FG平面BCCB ，∴EF⊥FG，
1 1
∵EF∩BF=F,EF、BF⊂平面BEF，∴GF⊥平面BEF；
法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，
则B4,4,0  ,E2,0,4  ,F2,4,4  ,G0,4,3  ，

所以EF=0,4,0 

,EB=2,4,-4 

,FG=-2,0,-1  ，

设m=a,b,c  是平面BEF的一个法向量，


m⋅EF=4b=0 
则   ，令a=2，则b=0,c=1，所以m=2,0,1
m⋅EB=2a+4b-4c=0
 ，
 

易知FG=-m，则FG也是平面BEF的一个法向量，∴GF⊥平面BEF；
【小问2详解】
同上法二建立的空间直角坐标系，

所以EG=-2,4,-1 

,BG=-4,0,3  ，

由(1)知FG是平面BEF的一个法向量，

设平面BEG的一个法向量为n=x,y,z 


n⋅EG=-2x+4y-z=0
，所以  ，
n⋅BG=-4x+3z=0

令x=6，则z=8,y=5，即n=6,5,8  ，
设平面BEF与平面BEG的夹角为α，


则cosα= cosFG,n   


FG⋅n
=

 FG   ⋅n 
20 4
= = ； 5× 125 5
【小问3详解】
由(1)知EF⊥平面BCCB ，FB⊂平面BCCB ，∴EF⊥FB，
1 1 1 1
1 1
易知S = EF⋅BF= ×4× 42+22=4 5，
△BEF 2 2

又DE=2,0,4 
 
DE⋅FG
，则D到平面BEF的距离为d=


FG 
8
= ，
5
数学试题 第 10 页 共 15 页1 1 8 32
由棱锥的体积公式知：V = d×S = × ×4 5= .
D-BEF 3 △BEF 3 5 3
x2 y2
18.(1) + =1
4 3
(2)证明见解析
【分析】(1)根据题意，利用椭圆的离心率得到a=2c，再由直线PF的斜率得到m=c，从而利用三角形
的面积公式得到关于c的方程，解之即可得解；
(2)联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得k，进而得到直线PB的方程与点B的坐标，法一：利用向
量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法
四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.
【小问1详解】
x2 y2
依题意，设椭圆 + =1(a>b>0)的半焦距为c，
a2 b2
c 1
则左焦点F(-c,0)，右顶点A(a,0)，离心率e= = ，即a=2c，
a 2
因为P为x=a上一点，设P(a,m)，
1 m-0 1 m 1
又直线PF的斜率为 ，则 = ，即 = ，
3 a-(-c) 3 a+c 3
m 1
所以 = ，解得m=c，则P(a,c)，即P(2c,c)，
2c+c 3
3
因为△PFA的面积为 ，|AF|=a-(-c)=a+c=3c，高为|m|=c，
2
1
所以S = AF
△PFA 2
 m 
1 3
= ×3c×c= ，解得c=1，
2 2
则a=2c=2，b2=a2-c2=3，
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1.
4 3
.
【小问2详解】
由(1)可知P(2,1)，F(-1,0)，A(2,0)，
数学试题 第 11 页 共 15 页易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，则1=2k+m，即m=1-2k，
y=kx+m

联立x2 y2 ，消去y得，(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
+ =1
4 3
因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ=8k⋅m  2-4(3+4k2)⋅(4m2-12)=0，
即4k2-m2+3=0，则4k2-1-2k 
1
2+3=0，解得k=- ，则m=2，
2
1
所以直线PB 方程为y=- x+2，
2
1
  y=-
2
x+2

x=1
3
联立  x2 y2 ，解得 y= 3 ，则B1, 2
 + =1 2
 4 3
 ，
以下分别用四种方法证明结论：

3
法一：则FB=2,
2


,FP=3,1 

,FA=3,0  ，
 
FB⋅FP
所以cos∠BFP= 
FB 

⋅FP 
3
2×3+ ×1
2
=
3 22+
2

3 10
= ，
2 10 ⋅ 32+12
 
FA⋅FP
cos∠PFA= 
FA 

⋅FP 
3×3+1×0 3 10
= = ，
3 32+12 10
π
则cos∠BFP=cos∠PFA，又∠BFP,∠PFA∈0,
2
 ，
所以∠BFP=∠PFA，即PF平分∠AFB.
3
-0
2 3 1-0 1
法二：所以k = = ，k = = ，k =0，
FB 1-(-1) 4 PF 2-(-1) 3 AF
3 1
-  4 3
由两直线夹角公式，得tan∠BFP=
1 3
1+ ×
3 4

1
1  3 -0
= ，tan∠PFA=
3 1+0
 1
= ，
3
π
则tan∠BFP=tan∠PFA，又∠BFP,∠PFA∈0,
2
 ，
所以∠BFP=∠PFA，即PF平分∠AFB.
1 3
法三：则tan∠PFA=k = ，tan∠BFP=k = ，
PF 3 FB 4
1
2×
2tan∠PFA 3
故tan2∠PFA= =
1-tan2∠PFA 1
1-
3

3
= =tan∠BFP，
2 4
π
又∠BFP,∠PFA∈0,
2
 ，
所以∠BFP=∠PFA，即PF平分∠AFB.
3
-0
2 3
法四：则k = = ，
FB 1-(-1) 4
3
所以直线FB的方程为y= x+1
4
 ，即3x-4y+3=0，
3×2-4×1+3
则点P到直线FB的距离为d=

32+-4 
=1，
2
又点P到直线FA的距离也为1，
数学试题 第 12 页 共 15 页所以PF平分∠AFB.
19.(1)a =3n-1,b =2n；
n n
(2)(i)证明见解析；(ii)2n-1⋅ 8+3n-4   2n+1 
【分析】(1)设数列a n  的公差为d，数列b n  公比为qq≠0  ，由题设列出关于d和qq≠0  的方程求解，
再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
(2)(i)由题意结合(1)求出a b 和pab +p a b +...+p a b +p a b 的最大值，再作差比较两
n+1 n+1 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n
者大小即可证明；
(ii)法一：根据p ,p ,...,p ,p 中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、⋯、全为0几个情况将
1 2 n-1 n
T 中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；
n
法二：根据T 元素的特征得到T 中的所有元素的和中各项ab i∈1,2,...,n n n i i    出现的次数均为2n-1次
即可求解.
【小问1详解】
设数列a n  的公差为d，数列b n  公比为qq≠0  ，
2+d=2q+1 d=3
则由题得  ⇒   ，
2+2d=2q2 q=2
所以a n =2+3n-1  =3n-1,b =2×2n-1=2n； n
【小问2详解】
(i)证明：由(1)p n a n b n =3n-1  2np n =0或p n a n b n =3n-1  2n>0，a n+1 b n+1 =3n+2  2n+1，
当p n a n b n =3n-1  2n>0时，
设S n =p 1 a 1 b 1 +p 2 a 2 b 2 +...+p n-1 a n-1 b n-1 +p n a n b n =2×2+5×22+...+3n-4  2n-1+3n-1  2n，
所以2S n =2×22+5×23+...+3n-4  2n+3n-1  2n+1，
所以-S n =4+3×22+23+...+2n  -3n-1 
221-2n-1
2n+1=4+3×

-3n-1 1-2  2n+1=-8+
4-3n  2n+1，
所以S n =8+3n-4  2n+1，为T 中的最大元素， n
此时a n+1 b n+1 -S n =3n+2  2n+1- 8+3n-4   2n+1  =6⋅2n+1-8>0恒成立，
所以对∀t∈T，均有t<a b .
n n+1 n+1
(ii)法一：由(i)得S n =8+3n-4  2n+1，为T 中的最大元素， n
由题意可得T 中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
n
当p 1 ,p 2 ,...,p n-1 ,p n 均为1时：此时该系列元素只有S n =8+3n-4  2n+1即C0个； n
当p ,p ,...,p ,p 中只有一个为0，其余均为1时：
1 2 n-1 n
此时该系列的元素有S -ab ,S -a b ,S -a b ,...,S -a b 共有C1个，
n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n n n
则这n个元素的和为C n 1S n -a 1 b 1 +a 2 b 2 +...+a n b n  =C n 1-C n 0  S ； n
当p ,p ,...,p ,p 中只有2个为0，其余均为1时：
1 2 n-1 n
此时该系列的元素为S -ab -ab i,j∈1,2,...,n n i i j j   ,i≠j  共有C2个， n
则这n个元素的和为C n 2S n -C n 1 -1a 1 b 1 +a 2 b 2 +...+a n b n  =C n 2-C n 1 -1  S ； n
当p ,p ,...,p ,p 中有2个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为S -ab -ab -
1 2 n-1 n n i i j j
a b i,j,k∈1,2,...,n k k   ,i≠j≠k  共有C3个， n
则这n个元素的和为C n 3S n -C n 2 -1a 1 b 1 +a 2 b 2 +...+a n b n  =C n 3-C n 2 -1  S ； n
⋯
当p ,p ,...,p ,p 中有n-1个为0，1个为1时：此时该系列的元素为ab ,a b ,...,a b 共有Cn-1
1 2 n-1 n 1 1 2 2 n n n
数学试题 第 13 页 共 15 页个，
则这n个元素的和为C n n-1S n -C n n - - 1 2a 1 b 1 +a 2 b 2 +...+a n b n  =C n n-1-C n n - - 1 2  S ； n
当p 1 ,p 2 ,...,p n-1 ,p n 均为0时：此时该系列的元素为0=C n n-C n n - - 1 1  S 即Cn=1个， n n
综上所述，T 中的所有元素之和为
n
S n + C n 1-1  S n + C n 2-C n 1 -1  S n + C n 3-C n 2 -1  S n + . . . + C n n-1-C n n - - 1 2  S + 0 = n
C n 0+C n 1+...+C n n-1+C n n  -C n 0 -1 +C n 1 -1 +...+C n n - - 1 2+C n n - - 1 1    S n
=2n-2n-1  S n =2n-1S n =2n-1⋅ 8+3n-4   2n+1  ；
法二：由(i)得S n =8+3n-4  2n+1，为T 中的最大元素， n
由题意可得T =S ,S -ab,S -ab-ab ,S -ab-ab -a b ,...,ab+ab ,ab,0
n  n n i i n i i j j n i i j j k k i i j j i i
 ,
i,j,k∈1,2,...,n   ,i≠j≠k  ，
所以T 的所有的元素的和中各项ab i∈1,2,...,n n i i    出现的次数均为C0 +C1 +...+Cn-2+Cn-1= n-1 n-1 n-1 n-1
2n-1次，
所以T n 中的所有元素之和为2n-1a 1 b 1 +a 2 b 2 +...+a n b n  =2n-1S n =2n-1⋅ 8+3n-4   2n+1  .
20.(1)y=x
4
(2)(i)0,
e2
 ；(ii)证明见解析.
【分析】(1)利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得；
lnx
(2)(i)令f(x)=0，分离参数得a=
 2 lnx
，作出函数g(x)=
x
 2
图象，数形结合可得a范围；(ii)由
x

aet1=t2
1
①
(2)结合图象，可得x
1
,x
2
,x
3
范围，整体换元lnx
1
=t
1
,lnx
2
=t
2
,lnx
3
=t
3
，转化为aet2=t2
2
②，结合由
aet3=t2③
3
lna+t =2lnt
②③可得  lna+t 2 =2lnt 2，两式作差，利用对数平均不等式可得t 1 t 3 <4，再由t2 1 =aet1<a得-t 1 < a，
3 3
t2
结合a= 3 减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式.
et3
【小问1详解】
当a=1时，f(x)=x-(lnx)2，x>0，
2lnx
则f(x)=1- ，则f(1)=1，且f(1)=1，
x
则切点(1,1)，且切线的斜率为1，
故函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x；
【小问2详解】
(i)令f(x)=ax-(lnx)2=0，x>0，
(lnx)2
得a= ，
x
lnx
设g(x)=
 2
,x>0，
x
2lnx
⋅x-lnx x
则g(x)=
 2 lnx(2-lnx)
= ，
x2 x2
4
由g(x)=0解得x=1或e2，其中g(1)=0，g(e2)= ；
e2
当0<x<1时，g(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减；
数学试题 第 14 页 共 15 页当1<x<e2时，g(x)>0，g(x) (1,e2)上单调递增；
当x>e2时，g(x)<0，g(x)在(e2,+∞)上单调递减；
且当x→0时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→0；
如图作出函数g(x)的图象，
要使函数f(x)有3个零点，
则方程a=g(x)在(0,+∞)内有3个根，即直线y=a与函数g(x)的图象有3个交点.
4
结合图象可知，0<a< .
e2
4
故a的取值范围为0,
e2
 ；
(ii)由图象可知，0<x <1<x <e2<x ，
1 2 3
设lnx =t ,lnx =t ,lnx =t ，则t <0<t <2<t ，
1 1 2 2 3 3 1 2 3

aet1=t2
1
①
lna+t =2lnt
满足aet2=t2
2
②，由②③可得
 lna+t
2
=2lnt
2，
aet3=t2③ 3 3
3
两式作差可得t -t =2(lnt -lnt )，
3 2 3 2
t -t
则由对数均值不等式可得2= 3 2 > t t ，
lnt -lnt 2 3
3 2
4e
则t t <4，故要证(lnx -lnx)⋅lnx < ，
2 3 2 1 3 e-1
4e 4e
即证t t -tt < ，只需证4-tt ≤ ，
2 3 1 3 e-1 1 3 e-1
4
即证-t 1 t 3 ≤ e-1 ，又因为t 1 <0,t2 1 =aet1<a，则t 1  =-t < a， 1
t2 t2 4
所以-tt < at = 3 ，故只需证 3 ≤ ，
1 3 3 t3 t3 e-1
e2 e2
t 1 t 1
2te2- t2e2 2- t
t2 2 2
设函数φ(t)= ,t>2，则φ(t)= =
t et
e2
 t
，
t
e2
当2<t<4时，φ(t)>0，则φ(t)在(2,4)上单调递增；
当t>4时，φ(t)<0，则φ(t)在4,+∞  上单调递减；
16 16
故φ(t) =φ(4)= ，即φ(t)≤ .
max e2 e2
而由4e2-16e+16=4(e-2)2>0，
16 4
可知 < 成立，故命题得证.
e2 e-1
数学试题 第 15 页 共 15 页