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参考答案
1.C 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.B 9.BC 10.ABD 11.AB
1.C [解析] A＝{x|－3＜x＜3}，∁ B＝{x|x≤－1，或x＞5}，A∩(∁ B)＝(－3，－1].
R R
2.A [解析] 由x2－6x＋10＝0可得（x－3）2＝－1，x－3＝±i，x＝3±i.
3.D [解析] 设公差为d，则4a ＋6d＝4（2a ＋d），a ＋3d＝2（a ＋d）＋1，联立解得a
1 1 1 1 1
＝1，d＝2，a ＝a ＋5d＝11.
6 1
4.C [解析] a·e ＝（e －2e ）·e ＝e 2－2e ·e ＝0，又a，e ≠0，则＝90°.
1 1 2 1 1 2 1 1 1
5.C [解析] 设原圆台底面半径分别为a、b，高为h，母线长为l ，则S ＝π(a＋b)l ，
1 1 1
l ＝ （a－b）2＋h2，扩大后圆台母线长为l ，l ＝ （a－b）2＋4h2＜ 4（a－b）2＋4h2＝
1 2 2
1
2l ，可得S ＝π(a＋b)l ＜2S ；由台体体积公式V＝ (S ＋S ＋ S S )h可知V ＝2V .
1 2 2 1 上 下 上 下 2 1
3
AD 1
6.A [解析] 设BC边上的高为AD，tanC＝ ＝ ，设AD＝x，则CD＝2x，BC＝3x，从
CD 2
5 2 5
而点D在线段BC上，BD＝x.故∠BAD＝45°，cos∠CAD＝ ，sin∠CAD＝ ，
5 5
cosA＝cos(∠BAD＋∠CAD)＝cos∠BADcos∠CAD－sin∠BADsin∠CAD
2 5 2 5 10
＝ （ － ）＝－ .
2 5 5 10
7.B [解析] 由函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数可知函数f(x)是二次函数且关于y轴对称，
则f(x)＝(x－2)(ax＋b)＝a(x－2)(x＋2)，由f(－2)＜f(3)可知a＞0.
f(2－x)＞0，a(－x)(4－x)＞0，解得x<0，或x>4.
故不等式f(2－x)＞0的解集为{x|x<0，或x>4}.
8.B [解析] 依题意，直线y＝x与椭圆相切，直线y＝x上除切点外任意一点均在椭圆外.
由椭圆的定义可知切点是直线y＝x上与A、B两点距离和最小的点.A(－2，2)关于直线y＝
5
x对称的点为A (2，－2)，|A B|＝7，故椭圆的长轴长为7，焦距|AB|＝5，离心率e＝ .
1 1
7
9.BC [解析] A:BE与CD异面，显然不正确；
B:若BC＝BD，易得△ABC≌△ABD，
AE AF
又BE⊥AC，BF⊥AD，则 ＝ ，所以EF∥CD，故B正确；
AC AD
对于选项C与D，
因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，
又BC⊥CD，AB，BC是平面ABC内两条相交直线，
所以CD⊥平面ABC，又BE⊂平面ABC，故CD⊥BE.
又BE⊥AC，且AC，CD是平面ACD内两条相交直线，所以BE⊥平面ACD.
又AD⊂平面ACD，故BE⊥AD.
又BF⊥AD，且BE，BF是平面BEF内两条相交直线，所以AD⊥平面BEF.故选项C正确；
又EF⊂平面BEF，故AD⊥EF.
第 1 页 共 8 页若AC与EF也垂直，由AC、AD与EF共面，则AC与AD重合，故选项D不正确.
10.ABD [解析] A:当n＝1时，a ＋a ＝1，又a ＝－2，故a ＝3.
1 2 1 2
∵a ＋a ＝(－1)n＋1,∴a ＋a ＝(－1)n(n≥2，n∈N*)，
n＋1 n n n－1
∴a －a ＝(－1)n＋1－(－1)n＝－2(－1)n(n≥2，n∈N*)，
n＋1 n－1
所以n为偶数时，a －a ＝－2；n为奇数时，a －a ＝2.
n+1 n-1 n+1 n-1
∴{a
n
}的奇数项所成的数列是首项为−2，公差为−2的等差数列，偶数项所成的数列是首项
为3，公差为2的等差数列.故a ＝a ＋4×2＝11，选项A正确；
10 2
B:S a a a a a 2（34）（100—101）25052
101 1 2 3 100 101
选项B正确；
C:由于{a
n
}的奇数项都是偶数，偶数项都是奇数，
，故选项C错误；（或由P＝0可知选项C错误）
2 2 1 1
Cn+Cn n−1 1 −2 1
∴ D: T = （C2 2 n 1− = P 2）n−（1= 1− 2 P +）2n（−1 1− < P 2）⋯ （1−P ）
n 1 2 3 n
=
1
×
2=× 3⋯ n
≤
1
×
2
×
3⋯ n
=
n!
=
n
，
1 3 5 2n−1 1 2 4 2n−2 2n−1⋅ (n−1)! 2n−1
又T =1−P =1= 1 ，所以T ≤ n ，故选项D正确．
1 1 21−1 n 2n−1
11.AB [解析] （1）当a＝0时，显然成立；
a＞0
1
（2）若a＞0，则f(2025)＜1，即 ，解得0＜a＜ ；
f(1)＋506a＜1 506
a＜0
1
（3）若a＜0，则f(2026)＞0， 即 ，解得－ ＜a＜0；
f(2)＋506a＞0 506
1 1
综上，得－ ＜a＜ .
506 506
12．(ln2,2) [解析] 设切点Px ,y ，则有 yex，由题意得k ex 0 2，
0 0
y ex 0 2，x ln2，
0 0
点P的坐标为（ln2,2）.
13． 5－ 5 [解析] 如图，不妨设点Px ,y 在第一象限，则x 0，y 0，
0 0 0 0
2
p
|PM|= PF =x
0
+
2
=x
0
+1=5，所以x
0
=4，此时y
0
2=4x
0
=16，所以y
0
=4.易知点M −1,4 ，
F 1,0 ，所以|MF|=2 5.
第 2 页 共 8 页MPF 的面积为S= 1 |y ||PM|= 1 ×4×5=10.
0
2 2
设MPF 的内切圆的半径为r，内心为点O'，则由S S S S ，
O'MF O'FP O'MP PMF
得1 ×(5+5+2 5)r=10，解得r＝ 5－ 5 .
2 2
14．31 [解析] 若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是2”，或是“一个
为2，另一个不是2”，或是“两个不相等的且不是2，7，12，27”.
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是2；
②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为2，另一个不是2”，则一个为2，另一个数不
小于7，又因为极差加倍，则另一个数为52，此时|a－b|＝50；
③若插入的两个数是不相等的且不是2，7，12，27，且极差为50，中位数保持不变，
a=6 a=5 a=4 a=3
则两个数可以为： ， ， ， ，
b=52 b=52 b=52 b=52
a=1 a=0 a=−1 a=−23 a=−23
， ， ，……， ， ，
b=51 b=50 b=49 b=9 b=8
所以，|a－b|的最小值为8－(－23)＝31.
15.解：（1）∵平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面CMD.又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM............................................................2分
∵DM⊥CM,且BC，CM是平面BMC内两条相交直线
∴DM⊥平面BMC.....................................................................................................4 分
∵DM⊂平面 AMD .......................................................................................................5 分
故平面AMD平面BMC...............................................................................................6 分
（2）解法一：
以D为坐标原点，
DA
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
因为∠DCM=30°，设AD=2,由题设得，
1 3
D(0，0，0）,A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0, , ),
2 2
3 3 1 3
MC (0, , ), CB (2,0,0)，AM (2, , ),............................................8 分
2 2 2 2
设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，则
n ⋅ MC=0 3 y− 3 z=0
n ⋅ C B =0
，即 2
2x=0
2 ，令z= 3，可得n=(0,1, 3).....10分
第 3 页 共 8 页设直线AM与平面MBC所成角为θ，
则sinθ=|cos|= |n⋅ AAAMMM| = 5，..................................12分
|n||AAAMMM| 5
5
所以直线 AM 与平面 MBC 所成角的正弦值是 ......................................................13 分
5
解法二：由（1）得DM⊥平面MBC，由AD∥平面MBC可知A、D到平面MBC的距离相
等，设A到平面MBC的距离为d，则d＝DM........................................................................8分
设AD＝2，由∠DCM＝30°得DM＝1，AM＝ 5，.............................................................10分
d 5
设直线AM与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝ ＝ ，............................................12 分
AM 5
5
所以直线AM与平面MBC所成角的正弦值是 ...................................................................13分
5
2π 2π
16.解：（1）由题意，f(x)的最小正周期T ≥ ，所以ω＝ ≤3，
3 T
由ω为正整数可得ω＝1，2，3．................................................................................................2分
π π π
又因为图象关于点（ ，0）对称，所以 f ( )＝0，即 sin ( ω＋φ )＝0．...........3 分
3 3 3
π π
由φ∈（0，），若ω＝1，sin ( ＋φ)＝0，无解；.............................................................4分
2 3
2π π
若ω＝2，sin( ＋φ)＝0，φ＝ ；.............................................................5分
3 3
若ω＝3，sin ( π＋φ)＝0，无解．.............................................................6分
π
所以ω＝2，φ＝ ，f ( x )的最小正周期为π．.............................................................7 分
3
3 π 3 π π 7π
（2）由f(A)＝ 可得sin(2A＋ )＝ ，又A∈（0，π），2A＋ ∈（ ， ），
2 3 2 3 3 3
π 2π π
从而2A＋ ＝ ，故A＝ ．.......................................................................................9 分
3 3 6
→ 1 → →
设BC边上的中线为AD，AC＝b，则AD＝ （AB＋AC）
2
→ 1 → → 7 1 → → → → 7 1
AD2＝ (AB＋AC)2， ＝ （AB2＋AC2＋2AB·AC）， ＝ （3＋b2＋3b），
4 4 4 4 4
解得 b＝1．........................................................................................................13 分
1 1 1 3
所以△ABC的面积S＝ bcsinA＝ ×1× 3× ＝ ．..........................................................15分
2 2 2 4
17.解：(1)采用方案一对乙队更有利..................................................................................1分
2 1
当p＝ 时，乙队每局获胜的概率为:1－p＝ .
3 3
1 1 2 7
P(乙队最终获胜)＝( )2＋C1( )2× ＝ .
2
3 3 3 27
7
所以乙队最终获胜的概率为 ................................................................................4 分
27
(根据“比赛局数越多，对实力较强者越有利”可知，采用方案一，乙队最终获胜概率较大.
第 4 页 共 8 页也可以算出两种方案乙最终获胜的概率，对比可知采用方案一，乙队最终获胜概率较大.)
(2) (ⅰ)记“甲队最终获胜”为事件A，“比赛恰好进行了四局”为事件B.
1 1
三局甲队最终获胜的概率为：C3( )3＝ .
3
2 8
1 1 1 3
四局甲队最终获胜的概率为：C2( )2× × ＝ .
3
2 2 2 16
1 1 1 3
五局甲队最终获胜的概率为：C2( )2×( )2× ＝ .
4
2 2 2 16
1 3 3 1
∴甲队最终获胜的概率P(A)＝ ＋ ＋ ＝ .....................................................................7分
8 16 16 2
1 1 1 3
∵甲队最终获胜且比赛恰好进行了四局的概率 P(AB)＝C2( )2× × ＝ ............8 分
3
2 2 2 16
∴在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率
3
P(B|A)＝
P（AB）
＝16 ＝ 3 ......................................................................................................9分
P（A） 1 8
2
1
（甲队乙队每局获胜的概率相等，因此最终获胜的概率也相等，从而P(A)＝ ，酌情给分）
2
(ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3.
1 1 1 1 5
P(X＝0)＝C0( )3＋C1 ×( )2× ＝ ，
3 3
2 2 2 2 16
1 1 1 3
P(X＝1)＝C2( )2×( )2× ＝ ，
4
2 2 2 16
1 1 1 3
P(X＝2)＝C2( )2×( )2× ＝ ，
4
2 2 2 16
1 1 1 1 5
P(X＝3)＝C3( )3＋C2( )2× × ＝ ........................................................................................11分
3 3
2 2 2 2 16
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
5 3 3 5
P
16 16 16 16
.....................................................................................................................................................13 分
5 3 3 5 3
∴E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ............................................................................15分
16 16 16 16 2
18.解：(1)h(x)af(x)lnx．
1
第 5 页 共 8 页h(x)3ax2lnx,x0, ．
1
1 6ax21
h (x)6ax ．....................................................................................................1分
1 x x
当a0时，h (x)0恒成立，因此h(x)在0,上单调递增．
1 1
1 1
当a0时，由h
1
(x)0，6ax210，0 x
6a
，因此 h
1
(x)在
0,
6a
上单
1
调递增，在 ,上单调递减．..................................................................................4分
6a
综上可知：当a0时，h(x)在0,上单调递增．
1
1 1
当a0时，h(x)在0, 上单调递增，在 , 上单调递减．.........5 分
1
6a 6a
(2) 3x bx1 ,xR ．
x21
bx1
设(x)3x ，∴(0)0．
x21
又φ(x)≥0，所以x＝0为φ(x)的极小值点，故φ′(0)＝0.
bx22xb
(x)3xln3
x21 2
，(0)ln3b0，bln3．..........................................7分
bx1
下面证明，当bln3时，3x ,xR．
x21
xln31
(x)3x ．
x21
1 xln31
当x ，即xln310时，(x)3x 0恒成立．.......................................8分
ln3 x21
1
当x ，即xln310时，由ex x1可知：
ln3
eln3x ln3x1 ，3x xln31．
xln31 xln31 xln31 x21 xln31 xln31x2
(x)3x xln31 0 ．
x21 x21 x21 x21
当且仅当x0时等号成立，故bln3满足条件．
综上可知：bln3..........................................................................................................11分
(3)h (x)cf(x)3g(x)h (x)cx33x1．
2 2
第 6 页 共 8 页h (x)3cx2 3x1ln33 cx2 3x ln3 0．
2
3xln3 3xln3
x0 c ,设 x ．
x2 x2
x3xln3 2xln3 2
x 0，x 2xln3 0，0 x ．
x4 ln3
2 2
x 在 ,0 , , 上单调递减，在0, 上单调递增．.................14 分
ln3 ln3
因为函数h x 有且仅有三个极值点，即x，x，x 为方程c＝ x 的三个实根，
2 1 2 3
由图象知方程c＝ x 最多有三个实根，且x x x ．x 0 x 2 x .
1 2 3 1 2 ln3 3
注意到13ln33，假设x
2
≤1，则x
3
≥3，从而x
3
≥3x
2
，与已知矛盾，故x
2
＞1.
2
即有：1 x ．...............................................................................................17 分
2 ln3
（本题用其它解法，过程详细、推理清晰可得全分，过程不全的可酌情给分）
xy x y
19.解：(1)设P(x,y)，由题意可知四边形OAPB的面积 1．
2 2
x2y2 2．........................................................................................................................2分
因为点A位于第一象限，点B位于第四象限．
x2y2 2，且x0．
x2 y2
所以动点P的轨迹C的方程为： 1,x 2．.............................................................4分
2 2
（未限定x的范围的扣1分）
(2)不妨设点P(x,y)位于第一象限，设直线PM的斜率为k ,则k tanPMN，直线PN 的斜率
1 1
y y y2
为k ,则k tanPNM ．∴k ·k ＝ · ＝ ＝1
2 2 1 2 x+ 2 x- 2 x2-2
tanPNM tanPMN k k k k k k
tanMPN tanπPNM PMN 2 1 2 1 2 1
1tanPNM tanPMN 1k k 1k k 2
2 1 2 1
k k
tanPMN tanPNM 2tanMPN k k 2 2 1 k k k k 0．
1 2 2 1 2 2 1
综上可知：tanPMNtanPNM 2tanMPN 为定值0．.................................................9分
1
(3)问题可以转化为曲线y＝ ，x＞0与坐标轴之间的各等腰三角形底边上高的和，如图所示
x
设O′(a ，0)，A′(x ，y )，过A′作A′B ⊥x轴于B
n n n n n n n n n
第 7 页 共 8 页a ＋a
由|O′ A′|＝|O′A′|可知，x ＝ n－1 n，
n－1 n n n n
2
2
y ＝ .......................................................11分
n
a ＋a
n－1 n
记k＝tanθ，则各等腰三角形底角的正切值
1－k
k′＝tan（45°－θ）＝
1＋k
1k
即kk k k ...........12分
O 0 A 1 O 1 A 2 O n 1 A n 1k
AB y 4
k n n n 4
由题意可知： O B a a a2 a2 a2 a2 ................................15分
n1 n n n1 n n1 n n1 k
2
1 1 2 4
联立y=k′x与y= 可解得x = ，a = ，从而a 2= ，
1 1 1
x k' k' k'
所以数列
a2
是以
4
为首项，
4
为公差的等差数列a2
4n
a 2
n
n k k n k n k
n n ka n 1k
h y n kn，h n .......................................................17分
i i 2 i 1k
i1 i1 i1
(不转化直接研究也可以得出答案，酌情给分）
第 8 页 共 8 页
