文档内容
蚌埠市 ２０２６届高三年级适应性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答 案 Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｄ
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选
错的得０分。
题 号 ９ １０ １１
答 案 ＡＢ ＡＣＤ ＢＣＤ
三、填空题：每小题５分，共１５分。
１２２１ １３１ １４４００
四、解答题：
１５（１３分）
解：（１）由２ａｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｂｓｉｎ２Ａ＝２ａｓｉｎＡｃｏｓＢ＋２ｂｓｉｎＡｃｏｓＡ，
得ａｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｂｓｉｎＡｃｏｓＡ＝槡３ａｃｏｓＣ，
在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得ｓｉｎ２ＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｓｉｎＡｃｏｓＡ＝槡３ｓｉｎＡｃｏｓＣ，
因为ｓｉｎＡ≠０，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝槡３ｃｏｓＣ，
即ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝槡３ｃｏｓＣ，………………………………………………………… ３分
槡３ｃｏｓＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎ（π－Ｃ）＝ｓｉｎＣ，得ｔａｎＣ＝槡３，
π
又Ｃ∈（０，π），所以Ｃ＝ ……………………………………………………… ５分
３
（２）在△ＡＢＣ中，由余弦定理，ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ，化简得３＝ａ２＋ｂ２－ａｂ，…… ８分
３
所以（ａ＋ｂ）２－３＝３ａｂ≤ （ａ＋ｂ）２，即（ａ＋ｂ）２≤１２，当且仅当“ａ＝ｂ”时等号成立，
４
……………………………………………………………………………… １１分
从而ａ＋ｂ＋ｃ≤３槡３，即△ＡＢＣ周长的最大值为３槡３ ……………………… １３分
１６（１５分）
解：（１）连ＢＤ，取ＢＤ中点Ｍ，连ＭＰ，ＭＣ，由ＰＢ＝ＰＤ，ＤＣ＝ＢＣ，
知ＰＭ⊥ＢＤ，ＣＭ⊥ＢＤ，…………………………………………………………… ３分
又ＰＭ∩ＣＭ＝Ｍ，ＰＭ，ＣＭ平面ＰＭＣ，因此ＢＤ⊥平面ＰＭＣ
又ＰＣ平面ＰＭＣ，故ＢＤ⊥ＰＣ………………………………………………… ５分
在底面ＡＢＣＤＥ内，ＡＢ⊥ＡＥ，ＤＥ⊥ＡＥ，因此ＡＢ∥ＤＥ，
又ＡＢ＝ＤＥ，因此四边形ＡＢＤＥ为矩形，因此ＡＥ∥ＢＤ，
故ＰＣ⊥ＡＥ ……………………………………………………………………… ８分
（２）（方法一）由（１）知，ＢＤ＝ＡＥ＝槡３ＡＢ＝槡３，ＢＣ＝ＣＤ＝１，
蚌埠市高三年级数学参考答案第１页（共４页）在△ＢＣＤ中，由余弦定理，
ＢＣ２＋ＢＤ２－ＣＤ２ １＋３－１ 槡３
ｃｏｓ∠ＣＢＤ＝ ＝ ＝ ，
２ＢＣ·ＢＤ ２槡３ ２
π π
所以∠ＣＢＤ＝ ，易知∠ＢＤＡ＝ ＝∠ＣＢＤ，故ＢＣ∥ＡＤ，…………………… １２分
６ ６
∠ＰＢＣ为直线ＰＢ与直线ＡＤ所成角，
ＰＢ２＋ＢＣ２－ＰＣ２ ２＋１－２ 槡２
在△ＰＢＣ中，ｃｏｓ∠ＰＢＣ＝ ＝ ＝ ，
２ＰＢ·ＢＣ ２槡２ ４
槡２
所以ＰＢ与ＡＤ所成角的余弦值为 ………………………………………… １５分
４
（方法二）连接ＢＥ，ＡＤ，设ＢＥ，ＡＤ相交于点Ｏ，连ＯＰ，
则Ｏ为ＡＤ中点，
由ＰＡ＝ＰＤ，知ＯＰ⊥ＡＤ，同理ＯＰ⊥ＢＥ，
ＡＤ，ＢＥ底面ＡＢＣＤＥ，
因此ＯＰ⊥底面ＡＢＣＤＥ………………………………………………………… ９分
取ＡＢ中点为Ｎ，以Ｏ为原点，ＯＮ，ＯＣ，ＯＰ所在直线分别为 ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴，建立如
图的空间直角坐标系
易知Ｂ
( 槡３
，
１
，０
)
，Ｐ（０，０，１），
２ ２
Ａ
( 槡３
，－
１
，０
)
，Ｄ
(
－
槡３
，
１
，０
)
… １１分
２ ２ ２ ２
则Ｂ
→
Ｐ＝
(
－
槡３
，－
１
，１
)
，
２ ２
→
ＡＤ＝（－槡３，１，０），………………… １３分
设直线ＰＢ与直线ＡＤ所成角为α，
→ →
ＢＰ·ＡＤ
１ 槡２
则ｃｏｓα＝
→ →
＝ ＝ ………………………………………… １５分
｜ＢＰ｜·｜ＡＤ｜ ２槡２ ４
１７（１５分）
( π)
解：（１）依题意，有ｆ′（ｘ）＝ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＝槡２ｅｘｓｉｎｘ＋ ……………………… ２分
４
π ３π
令ｆ′（ｘ）＞０，得２ｋπ－ ＜ｘ＜２ｋπ＋ （ｋ∈Ｚ），
４ ４
３π ７π
令ｆ′（ｘ）＜０，得２ｋπ＋ ＜ｘ＜２ｋπ＋ （ｋ∈Ｚ）…………………………… ４分
４ ４
( π ３π)
因此，ｆ（ｘ）单调递增区间为 ２ｋπ－ ，２ｋπ＋ （ｋ∈Ｚ），
４ ４
( ３π ７π)
单调递减区间为 ２ｋπ＋ ，２ｋπ＋ （ｋ∈Ｚ）……………………………… ８分
４ ４
蚌埠市高三年级数学参考答案第２页（共４页）( π )
（２）易知ｕ（ｘ）＝ｅｘｃｏｓｘ，记ｈ（ｘ）＝ｕ（ｘ）＋ｖ（ｘ） －ｘ
２
由题意知ｖ（ｘ）＝ｅｘ（ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ），ｖ′（ｘ）＝－２ｅｘｓｉｎｘ，………………………… １０分
( π ) ( π )
从而ｈ′（ｘ）＝ｕ′（ｘ）＋ｖ′（ｘ） －ｘ＋ｖ（ｘ）·（－１）＝ｖ′（ｘ） －ｘ≤０ ………
２ ２
……………………………………………………………………………… １２分
[ π π] ( π) ( π)
因此，ｈ（ｘ）在区间 ， 上单调递减，ｈ（ｘ）≥ｈ ＝ｕ ＝０
４ ２ ２ ２
[ π π] ( π )
当ｘ∈ ， 时，ｕ（ｘ）＋ｖ（ｘ） －ｘ≥０ ………………………………… １５分
４ ２ ２
１８（１７分）
解：（１）设Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ，ｙ），直线ＡＢ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１，与抛物线方程联立有
１ １ ２ ２
{ｘ＝ｍｙ＋１，
消去ｘ并化简得ｙ２－４ｍｙ－４＝０
ｙ２＝４ｘ
则ｙ＋ｙ＝４ｍ，ｙｙ＝－４，……………………………………………………… ２分
１ ２ １２
ｙ２ ｙ２ （ｙｙ）２ ｙ ｙ ｙｙ
因此，ｘｘ＝ １· ２＝ １２ ＝１，∴ｋｋ＝ １· ２＝１２＝－４…………… ５分
１２ ４ ４ １６ １２ ｘ ｘ ｘｘ
１ ２ １２
（２）由（１），依题意，知Ｂ（－１，ｙ），要证Ａ，Ｏ，Ｂ三点共线，只需证ｋ＝ｋ
１ ２ １ １ ＯＢ１
ｙ ｙ ｙ２ ｙｙ
即证 １＝ ２，即证－ｙ＝ｘｙ而ｘｙ＝ １ｙ＝ｙ· １２＝－ｙ成立，
ｘ －１ １ １２ １２ ４２ １ ４ １
１
故Ａ，Ｏ，Ｂ三点共线…………………………………………………………… ９分
１
（３）记∠ＡＯＢ＝θ，由（２）同理知Ａ，Ｏ，Ｂ三点共线，且∠ＡＯＡ＝∠ＢＯＢ＝１８０°－θ
１ １ １ １ １
｜ＯＡ｜＝槡１＋ｋ２·｜ｘ｜，｜ＯＡ｜＝槡１＋ｋ２·｜ｘ ｜＝槡１＋ｋ２，
１ １ １ ２ Ａ１ ２
｜ＯＢ｜＝槡１＋ｋ２·｜ｘ｜，｜ＯＢ｜＝槡１＋ｋ２·｜ｘ ｜＝槡１＋ｋ２，………………… １１分
２ ２ １ １ Ｂ１ １
１ １
Ｓ ＝ ｜ＯＡ｜｜ＯＡ｜ｓｉｎ∠ＡＯＡ＝ 槡１＋ｋ２·｜ｘ｜槡１＋ｋ２ｓｉｎ（１８０°－θ）
１ ２ １ １ ２ １ １ ２
１
＝ 槡１＋ｋ２ 槡１＋ｋ２·｜ｘ｜ｓｉｎθ，
２ １ ２ １
１ １
Ｓ ＝ ｜ＯＢ｜｜ＯＢ｜ｓｉｎ∠ＢＯＢ＝ 槡１＋ｋ２·｜ｘ｜·槡１＋ｋ２ｓｉｎ（１８０°－θ）
２ ２ １ １ ２ ２ ２ １
１
＝ 槡１＋ｋ２ 槡１＋ｋ２·｜ｘ｜ｓｉｎθ，
２ １ ２ ２
１ １
Ｓ＝ ｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜ｓｉｎ∠ＡＯＢ＝ 槡１＋ｋ２·槡１＋ｋ２ｓｉｎθ，………………… １４分
３ ２ １ １ １ １ ２ ２ １
１ １
Ｓ·Ｓ ＝ 槡１＋ｋ２ 槡１＋ｋ２·｜ｘ｜ｓｉｎθ· 槡１＋ｋ２ 槡１＋ｋ２·｜ｘ｜ｓｉｎθ
１ ２ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ２
１
＝ （１＋ｋ２）（１＋ｋ２）｜ｘｘ｜ｓｉｎ２θ
４ １ ２ １２
１
＝ （１＋ｋ２）（１＋ｋ２）ｓｉｎ２θ
４ １ ２
( １ )２
＝ 槡１＋ｋ２·槡１＋ｋ２ｓｉｎθ ＝Ｓ２ ………………………………… １７分
２ ２ １ ３
蚌埠市高三年级数学参考答案第３页（共４页）１９（１７分）
解：（１）ξ的可能取值为１和２，且Ｐ（ξ＝１）＝０５×０６×０６＋０５×０６×０６＝０３６
Ｐ（ξ＝２）＝１－０３６＝０６４ …………………………………………………… ３分
则ξ的分布列为
ξ １ ２
Ｐ ０３６ ０６４
则ξ的数学期望为Ｅ（ξ）＝１×０３６＋２×０６４＝１６４ ……………………… ５分
（２）（ｉ）Ｐ（Ｂ）＝０５Ｐ（Ａ ）＋０６Ｐ（Ｃ ），①
ｎ ｎ－１ ｎ－１
Ｐ（Ｃ）＝０５Ｐ（Ａ ）＋０６Ｐ（Ｂ ），② …………………………………… ７分
ｎ ｎ－１ ｎ－１
作差，得
Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ｃ）＝－０６（Ｐ（Ｂ ）－Ｐ（Ｃ ）），
ｎ ｎ ｎ－１ ｎ－１
１
又Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）＝ ，因此Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ｃ）＝０，
１ １ ２ ｎ ｎ
因此Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）……………………………………………………… １０分
ｎ ｎ
（ｉｉ）Ｐ（Ａ）＝０４Ｐ（Ｂ ）＋０４Ｐ（Ｃ ），③
ｎ ｎ－１ ｎ－１
①＋②，得Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ ）＋０６（Ｐ（Ｂ ）＋Ｐ（Ｃ ）），
ｎ ｎ ｎ－１ ｎ－１ ｎ－１
由③知Ｐ（Ｂ ）＋Ｐ（Ｃ ）＝２５Ｐ（Ａ），
ｎ－１ ｎ－１ ｎ
又１－Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ ）＋１５Ｐ（Ａ），………………… １２分
ｎ ｎ ｎ ｎ－１ ｎ
２
从而有Ｐ（Ａ）＝－ （Ｐ（Ａ ）－１），
ｎ ５ ｎ－１
２ ２ ２ ２ ２
Ｐ（Ａ）－ ＝－ （Ｐ（Ａ ）－ ），Ｐ（Ａ）＝０，Ｐ（Ａ）－ ＝－ ，
ｎ ７ ５ ｎ－１ ７ １ １ ７ ７
２ ２ ２
则有｛Ｐ（Ａ）－ ｝是以－ 为首项，－ 为公比的等比数列，………… １５分
ｎ ７ ７ ５
２ ２ ( ２)ｎ－１ ２ ２ ( ２)ｎ－１
因此，Ｐ（Ａ）－ ＝－ · － ，Ｐ（Ａ）＝ － · －
ｎ ７ ７ ５ ｎ ７ ７ ５
２ ( ２)ｎ－１ ２
当ｎ为偶数时，－ · － ＞０，因此Ｐ（Ａ）＞ ………………… １７分
７ ５ ｎ ７
（以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
蚌埠市高三年级数学参考答案第４页（共４页）
