文档内容
雅安中学 2024-2025 学年下期 3 月考试高一年级
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上.
2.第Ⅰ卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置.回答非
选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题意的）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】根据二倍角的正弦公式可得：
.
故选：C.
2. 下列函数中是奇函数，且最小正周期为 的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇偶性的定义可排除 BC，结合函数的最小正周期可选出正确答案.
【详解】解：A: 得 关于原点对称，
第 1页/共 16页又因为 ，则 为奇函数，最小正周期为 ，A 不正确；
B：由 可知， 为偶函数，故 B 不正确；
C:由 可知， 为偶函数，故 C 不正确;
D: 由 可知， 为奇函数，最小正周期为 ，
故选:D.
【点睛】本题考查了奇偶性的判断，考查了诱导公式的应用，考查了三角函数最小正周期的求解，属于基
础题.
3. 把函数 图象上的所有点（ ）可得到函数 的图象.
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得.
【详解】因为 ，
所以把函数 图象上的所有点向右平移 可得到函数 的图象.
故选：D.
4. 设 、 是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A. 和 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可.
【详解】因为 是平面内两个不共线的向量，所以 可以作为平面内的一组基底，
第 2页/共 16页对于 A：显然不存在实数 使得 ，故 和 不共线，则 和 可以作为一组基底；
对于 B：因为 ，所以 与 共线，即 与 不能作为一组
基底；
对于 C：若 ，则 ，方程无解，故 与 不共线，即 与 可
以作为一组基底；
对于 D：若 ，则 ，方程无解，故 与 不共线，故 与
能作为一组基底.
故选：B.
5. 设 、 是任意两个向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断.
【详解】由 ，得 ；反之当 中有零向量时，有 ，而不满足向量夹角的定义，
即 不能推出 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
6. 若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 的值，然后利用两角差的余弦公式可求得 的
值.
第 3页/共 16页【详解】因为 ，则 ，
所以， ，
因此，
.
故选：C.
7. 已知 ，函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数 的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系
进行求解即可.
【详解】由 ，得 ，
即函数的单调递减区间为 ，
令 ，则函数 其中一个的单调递减区间为：
函数 在区间 内单调递减，
则满足 ，得 ，所以 的取值范围是 .
故选：D.
8. 在 中， ，则 （）
第 4页/共 16页A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得 ，进而有 ，利用三角恒等变换取出 ，即可求出结论.
【详解】记 分别为角 的对边，根据题意， ， ，
，
， 或 （舍去），
.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对得 3 分，有选错的 0 分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量 长度等于 0
C. 若 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线
D. 若 ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据 ， 都是单位向量判断；D.由向量相
等的定义判断.
【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 错误；
B.由零向量的定义知，零向量的长度为 0，故 B 正确；
C.因为 ， 都是单位向量，所以只有当 与 是相反向量，即 与 反向共线时才成立，故 C 正确；
第 5页/共 16页D.由向量相等的定义知 D 正确；
故选：BCD.
10. 已知函数 的部分图象如图所示（分隔直线 右侧函数的零
点为 ），则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为 B.
C. D. 函数 在 上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，求出周期及 ，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即
可.
【详解】对于 A，由图可知，函数 的最小正周期 ，故 A 错误；
对于 B，由 ，所以 ，
因为 ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，故 B 正确；
对于 C， ，又 ，所以 ，
第 6页/共 16页所以 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，由 ，得 ，
而 ，即 时， 没有意义，故 D 错误；
故选：BC.
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 是 的一个周期
B. 是非奇非偶函数
C. 的最小值为
D. 关于 x 的方程 有无数个实数解
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知结合三角函数的周期性检验，可得 A 的正误；结合三角函数的奇偶性检验，可得 B 的正误；
根据三角函数取得最值得条件检验，可得 C 的正误；先对方程进行化简，然后结合正弦函数的周期性与对
称性，可得 D 的正误.
【详解】对于 A，由
，则 不是函数 的一个周期，故 A 错误；
对于 B，由 ，则其定义域为 ，
因为 ，
所以函数 是非奇非偶函数，故 B 正确；
对于 C， ，当且仅当 ， ，等号成立；
第 7页/共 16页，当且仅当 ， ，等号成立，
由 ，则 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，
则 ，
可得 ，整理可得 ，
解得 或 ， ，
化简可得 或 ， ，故 D 正确.
故选：BD
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题（共 3 个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）
12. 若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
13. 设 ， 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据投影向量公式求 ，再代入向量模的公式，即可求解.
【详解】由题意可知， ，即 ，
第 8页/共 16页所以 .
故答案为：
14. 如图，在 中，已知 是线段 与 的交点，若
，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，将 表示为 ，继而化为 ，利
用三点共线求得 ，即可求得答案.
【详解】设 ，由 得 ，
故
，
由 得 ，
故 ,
由于 三点共线，故 ，则 ，
又 ，故 ，
所以 ，
故答案为：
四、解答题（共 5 个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）
15. 设 ， 是两个不共线的向量，如果 ， ， .
第 9页/共 16页（1）求证：A，B，D 三点共线；
（2）试确定 的值，使 和 共线；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明 A，B，D 三点共线，只需证明向量 与 共线；
（2）两向量 与 （ ）共线，所以存在唯一实数实数 ，使
，由此列方程组可解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 与 共线.
因为 与 有公共点 B，
所以 A，B，D 三点共线.
【小问 2 详解】
因为 和 共线，
所以存在实数 ，使 .
因为 ， 是两个不共线的向量，所以 ，
所以 .
16. 已知函数 （其中 ， ， ）的部分图像如图所示，
第 10页/共 16页（1）求
（2） 的值
（3）求函数 的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图像特征求出 ，根据周期求出 ，根据图像上点的坐标求出 ，由此即可确定函数解
析式；
（2）将 代入函数解析式即可求解；
（3）令 ，解出 的范围可求解.
【小问 1 详解】
由图可知： ， ，
所以 ，所以 ，
又图像过点 ，所以 ，
即 ， ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
.
第 11页/共 16页小问 3 详解】
，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为： .
17. 如图，在菱形 中， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量 线性运算，将 用基底 来表示，即可求出 的值；
（2）将 分别用基底 来表示，然后在进行数量积运算即可求解.
【小问 1 详解】
因为在菱形 中， .
故 ，
故 ，所以 .
【小问 2 详解】
显然 ，
所以
……①
第 12页/共 16页因为菱形 ，且 ，故 .
所以 .
故①式 .
故 .
18. 如图，某公园有一块扇形人工湖 OMN，其中圆心角 ，半径为 1 千米，为了增加观赏性，
公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一
个观景台，形状为 ，记
（1）当角 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.
（2）若在 OA 的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米 8 万元 不计桥的宽度 ；且建造观
景台的费用为每平方千米 16 万元，求建造总费用的范围.
【答案】（1） ，最大值为 (平方千米)；
（2） 万元
【解析】
【分析】(1)三角函数相关知识，利用角 来表示矩形边长，进而表示出面积和角 的函数关系式，求函数
最值即可；
(2)由题意可求得建造总费用 ，利用换元法及二次函数 性质求解即可．
【小问 1 详解】
由题意可得 ，其中 ，
在 中， ，则
所以
第 13页/共 16页因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时，矩形 的面积取最大值 ，
所以当 时，荷花池的面积最大，最大面积 (平方千米)；
【小问 2 详解】
由(1)可知 ，则
，
设建造总费用为 y 万元，
则
令 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，
所以
所以建造总费用的范围为 万元．
19. 三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数
设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可
将 中的 x 与 y 分别设为 与 ．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题：
（1）已知非负实数 x，y，满足 ．证明： ．
（2）设 a，b，c 为正实数，且 ．求 的最大值．
【答案】（1）证明见解析
第 14页/共 16页（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角换元，即可利用三角函数的有界性求解，
（2）利用正切的和差角公式，换元为 即可根据三角恒等变换，结合二次函
数以及三角函数的性质求解.
【小问 1 详解】
由 ，设 ， ，
则 其中 为锐角，且 ，
故当 时， 取最大值 ，
故
【小问 2 详解】
由 可得 ，
设 ，且 ，
则 ，满足
则
，
由于 ，
当且仅当 且 时取到等号，故最大值为 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由 可换元为 ，且
，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解.
第 15页/共 16页第 16页/共 16页
