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2022 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题
1. 某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（ ）
A. 1∶200 B. 1∶2000 C. 1∶20000 D. 1∶200000
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【详解】解：因为3000米＝300000厘米，则15厘米：300000厘米＝1：20000．
故这幅地图的比例尺是1：20000．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
2. 将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（ ）
A. （3，﹣2） B. （﹣3，﹣2） C. （3，2） D. （﹣3，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
【详解】将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，
得 ，
∴顶点坐标为（3，﹣2），
故答案为：A．
【点睛】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，是解题的关键．
3. 已知 ， ，而且 和 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，而且 和 的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】∵ ，而且 和 的方向相反∴
故选D.
【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
4. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且 ，则下列比例式能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据黄金分割 的定义求解即可．
【详解】解：根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2=AB•BP，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义(把线段AB分成两条线段AP和BP
（AP＞BP），且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割
点)．
5. 在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为 ，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为
（ ）米
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．
【详解】解：如图所示，BD=20米，DE=1.5米
在Rt△ABD中，∠ADB=α∴
又四边形BCED是矩形，
∴BC=DE=1.5米
∴AC=AB+BC=
所以，旗杆的高为（1.5+20tanα）米．
故选：C
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
6. 如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若 的面积
为 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理得到 ，再由相似三角形的性质得到答案.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， 的面积为 ，
∴ 的面积为： ，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.
二、填空题
7. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】按向量的运算法则即可得结果【详解】解：
=
故答案为：
【点睛】本题为平面向量的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8. 在 中， ， ， ，则 ______．
【答案】30°
【解析】
【分析】根据正切定义，先求出 ，再求出 的度数即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形两锐角之间、三边之间和边角之间 的关系是解题的关键．
9. 在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部
分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．【详解】解：设剩下部分 的面积为y，则：
y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1），
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方
形的面积得出是解题关键．
10. 抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线_____．
【答案】
【解析】
【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝ ，可以得出结论．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝ ，
∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是x＝ ．
即对称轴是x＝ ．
故答案为：x＝ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键．
11. 如果在平面直角坐标系xoy中，点P的坐标为（3,4），射线OP与X轴的正半轴所夹的角为α，那么α
的余弦值等于_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：过P作PA⊥x轴于A，∵P（3，4），
∴PA=4，OA=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴α的余弦值是 ，
答案 ： ．
为
考点：1.锐角三角函数的定义；2.坐标与图形性质；3.勾股定理．
12. 如图所示，在平行四边形 中，F为 中点，延长 至E，使 ，连结 交
于点G，则 等于_________．
【答案】4：9
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵DE:AD=1:3，
设DE=x，AD=3x，
在▱ABCD中，
∴AD=BC=3x，
∵点F为BC的中点，
∴CF= ，
∵DE∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴ ，
故答案为：4：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判
定，本题属于基础题型．13. 已知二次函数 （n为常数），若该函数图像与x轴只有一个公共点，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴有一个交点，即Δ＝0，即可求出n的值.
【详解】解：∵二次函数 图象与x轴有且只有一个公共点，
∴△＝(−2)2−4×（-1）（3-n）＝0，
解得：n＝4，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点个数，△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2−4ac
＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线
与x轴没有交点．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝ ，则BC长为_____．
【答案】4．
【解析】
【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD＝3，点D
为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝ BC，解直角三角形即
可得到结论．
【详解】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∵CG＝2，
∴CD＝3，点D为AB的中点，
∴DC＝DB，又DE⊥BC，
∴CE＝BE＝ BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ACG＝∠CDE，
∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝ ，
∴CE＝2，
∴BC＝4
故答案为4．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形
三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
15. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设 ， ，那么向量
关于 、 的分解式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解决本题的关键．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP
与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】
【解析】
【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ ，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度
是常用的方法．17. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛
物线关于直线的“割距”．已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线
的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出B点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公
式即可求出答案．
【详解】解：∵B直线 与y轴的交点，
∴B点坐标为（0，3），
∵B是抛物线 的顶点，
∴抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴直线 与抛物线 的两个交点坐标为（0，3），（1，2），
∴抛物线关于直线y的割距是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与y轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数
图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．
18. 如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为 ，直线c与直线b之间的距离为 ，等边 的
三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是______．【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四
边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b之间的距离为 ，直线c与直线b之间
的距离为 ，得到 ， ，则 ，可设AB=AC=BC=x，由勾
股定理得： ， ， ，再由 ，即可得到
，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，
∵a∥b∥c，
∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE，AD=EF，
∵直线a与直线b之间的距离为 ，直线c与直线b之间的距离为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵△ABC是等边三角形，
∴可设AB=AC=BC=x，
由勾股定理得： ， ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （不符合题意的值已经舍去），
∴△ABC的边长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键
在于熟练掌握相关知识．
三、解答题
19. 求值： （结果保留根号）．
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用 ， 代入，利用二次根式的计算法则计算即可．
【详解】解：
，，
，
．
【点睛】本题考查了特殊值的三角函数值，和二次根式的混合运算，熟记特殊值的三角函数值和二次根式
的运算法则是解题关键．
20. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE= BC．
（1）如果AC=6，求AE的长；
（2）设 ， ，求向量 （用向量 、 表示）．
【答案】（1）4；（2） .
【解析】
【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；
（2）利用平面向量的三角形法则解答．
【详解】（1）如图，
∵DE∥BC，且DE= BC，
∴ ．
又AC=6，
∴AE=4．
（2）∵ ， ，∴ ．
又DE∥BC，DE= BC，
∴
【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．
21. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡
度（或坡比） 的山坡AB上发现棵古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离 m，在
距山脚点A处水平距离6m的点E处测得古树顶端D的仰角 （古树CD与山坡AB的剖面、点
E在同一平面上，古树CD所在直线与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（结果精确到整
数）（数据 ， ， ）
【答案】古树CD的高度约为23米．
【解析】
【分析】延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，令CF＝k，则AF＝2.4k，根据勾股定理求出k=10，
得到AF＝24m，CF＝10m，EF＝30m，再根据锐角三角函数求出DF即可得到答案．
【详解】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，
∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，
∴令CF＝k，则AF＝2.4k，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，
∴k2+（2.4k）2＝262，
解得k＝10，
∴AF＝24m，CF＝10m，
∴EF＝30m，
在Rt△DEF中，tanE＝ ，
∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3m，
∴CD＝DF﹣CF＝23.3m≈23m，
∴古树CD的高度约为23m．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解题意，构建直角三角形利用锐角三角
函数解决问题是解题的关键．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝ ．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，
与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
【答案】（1）CE= （2）sin∠BDE=
【解析】
【分析】（1)由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB=∠B，由余弦定理求出CE;
（2)作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值。
【详解】解：（1)∵ ∠ACB=90°，AC=6，
cos A=
∴
∴AB=10
∴
又∵D为AB中点，
∴ AD=BD=CD= AB=5，∴∠DCB=∠B，
∴cos∠DCB=
∴cos∠B=
∴
∴CE=
（2)作EF⊥AB交AB于F，
由（1)知CE=
则BE=8- =
DE= =
设BF=x，则
DF=BD-BF=5-x，
在RtΔDEF中，
EF2=DE2-DF2=( )2-(5-x) 2
在RtΔBEF中，
EF2=BE2-BF2=
∴
解得x=∴sin∠BDE=
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键．方程思想是常用的
数学思想．
23. 如图，在 和 中， ， ，AC与DE相交于点
F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先证 ∽ ，得出 ，再证 ∽ 即可；
（2）证明 ∽ ，根据相似列出比例式即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ∽ ．
（2）∵ ∽ ，
∴ ，即 ，
在 中， ，∴
∴ ，
∵ ∽ ．
∴ ，
∵
∴ ∽ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定
理进行推理证明．
24. 已知，二次函数 的图像与x轴交于点 ，点 ，与y轴交点C．
（1）求二次函数解析式；
（2）设点 为x轴上一点，且 ，求t的值；
（3）若点P是直线BC上方抛物线上一动点，联结BC，过点P作 ，交BC于点Q，求线段PQ
的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）当点 时，PQ的最大值是 ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，把点A、B坐标代入抛物线的解析式解方程即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用两点间的距离公式解答即可；
（3）先求出直线BC的解析式，设点 ，用含P的式子表示出PH，最后利用二次函数
的性质得出结果．
【详解】（1）把 ， 代入 中，得
解得： ， ，
∴ ．
（2）在二次函数解析式为 ，
令x=0，则y=3
则点C坐标 ，而 ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设直线BC为：y=kx+b，
把 和C 代入得： ，解得： ，
∴ ，
∵OC=OB=3，
∴∠BCO=45°，
过点P作 轴，交BC于点H，
∴∠PHQ=45°，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴PQ=PH·sin∠PHQ= ，
设点 ，则 ，
∴ ，
当且仅当 时，PH的最大值是 ，∴ ，
当点 时，PQ 最大值是 ．
的
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，特殊的三角函数值，平行线的
性质，解题的关键是正确作出辅助线．
25. 在 中， ， ， ，点O是边AC上的一个动点，过O作 ，
D为垂足，在线段AC上取 ，联结ED，作 ，交射线AB于点P，交射线CB于点F．
（1）如图1所示，求证： ∽ ；
（2）设 ， ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当 时，求线段AP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） 或6．
【解析】
【分析】（1）证△ADE∽△AEP，需找出两组对应相等的角．证明∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角
∠A，即可证得两三角形相似；
（2）由△AOD∽△ACB，可得OD= OA，AD= OA；又由△ADE∽△AEP，可得y= x；（3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得 ；再将y= x，BP=4-AP=4- x代入，即可求得AP
的长．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ；
（2）∵ ， ， ，
∴AC= 5，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ∽ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵OA+OE
