文档内容
虹口区 2023 学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习
数学 练习卷
（满分150分，考试时间100分钟）
注意：
1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上．］
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. 3.14159 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理
数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】解：A、 是分数，不是无理数，故本选项错误；
B、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；
C、 是无理数，故本选项正确；
D、 是循环小数，不是无理数，故本选项错误；
故选C．
2. 关于 的一元二次方程 无实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．
【详解】解：一元二次方程 无实数根，
则判别式
解得 ，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方
程 的判别式 ，当 时有两个不相等的实数根，当 时，有两
个相等的实数根，当 时，无实数根．
3. 已知二次函数 ，如果函数值 随自变量 的增大而减小，那么 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数 ，
可得 函数图象开口向下，对称轴为 ，函数值 随自变量 的增大而减小，则 ，得
以解答．
【详解】解：二次函数 ，
，
函数图象开口向下，对称轴为 ，
时，函数值 随自变量 的增大而减小，
故选：A．
4. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数
B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上
C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；
C、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；
D、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 ，是必然事件；
故选D．
5. 如图，在正方形 中，点 、 分别在边 和 上， ， ，如果 ，
那么 的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到
，进而证明四边形 是平行四边形，得到 ，则
，最后根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6. 在 中， ， ．如果以顶点 为圆心， 为半径作 ，那么 与边
所在直线的公共点的个数是（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．根
据面积公式计算点C到 的距离d，比较d与半径 的大小判断即可．
【详解】解：如图，
∵在平行四边形 中， ， ，
设点C到 的距离为d，
∴点C到 的距离 ，
∴直线 与圆C相交，即有2个交点，
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
［请将结果直接填入答题纸的相应位置］
7. 计算： =___．
【答案】﹣2【解析】
的
【分析】根据立方根 定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
【详解】∵（－2）3=－8，
∴ ，
故答案为：-2
8. 分解因式： _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
的
9. 解不等式： ， 解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一
元一次不等式即可求解．
【详解】解：
去括号，
移项，
合并同类项，
化系数为1，
故答案为： ．
10. 函数 的定义域是
【答案】 ＞【解析】
【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可
解答.
【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，
二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；
∴
∴
故答案为
11. 将抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式
为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
并用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．
【详解】解：抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的
表达式为 ，即 ．
故答案为： ．
12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出
一个球是红球的概率为 ，那么白球的个数是________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个
球是红球的概率是 ，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．
【详解】解：设红、白球总共n个，记摸出一个球是红球为事件A，，
白球有 个
故答案为： ．
13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时
间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．
【答案】780
【解析】
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接
得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小
时的学生人数即可求解．
【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，
该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有 （名），
故答案为：780．
14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果
设蜡烛的长为 （厘米），燃烧的时间为 （分钟），那么 关于 的函数解析式为________（不写定义
域）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃
烧的速度为 （厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，
经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，
蜡烛燃烧的速度为 （厘米/分），
蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，
，
故答案为： ．
15. 如图，正六边形螺帽的边长是 ，那么这个扳手的开口 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含 角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，
可得 是含 角的直角三角形，再根据 即可求出 和 ．
【详解】解：如图，连接 ,则 ，过点 作 于
螺帽是正六边形
，
,．
故答案为： ．
16. 如图，在梯形 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，连接
，设 ， ，那么用向量 、 表示向量 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量
的三角形法则解答即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，
,
点 、 分别是边 、 的中点，，
，
，
故答案为： ．
17. 如图，在 中， ， ， ．点 在边 上， ，以点 为圆心，
为半径作 ．点 在边 上，以点 为圆心， 为半径作 ．如果 和 外切，那么
的长为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作 于点H，连接 ，先求
出 ，设 ，在 中，根据勾股定理列方程即可解决．
【详解】解：作 于点H，连接 ，， ，
，
在 中， ，
，
，
设 ，
和 外切， 半径为2，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故答案为： ．
18. 如图，在扇形 中， ， ，点 在半径 上，将 沿着 翻折，点
的对称点 恰好落在弧 上，再将弧 沿着 翻折至弧 （点 是点A的对称点），那么
的长为________．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接 ，由翻
折得 ，证出 是等边三角形，设 ，在
中，根据勾股定理列方程并解出 进而求出结论．
【详解】解：连接 ，
由翻折得： ， ，
，
是等边三角形，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，，
解得： （舍去），
，
故答案为： ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注
意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即
可．
【详解】解：
；
当 时， ．20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】将第二个方程进行因式分解得到 ，然后令因式 和因式 分别为0
即可求解.
【详解】解：由题意可知：
对方程②进行因式分解得：
即 或
∴原方程组化为 或
解得 或
故原方程组的解为： 或 .
【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题
的关键.
21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点 和点 ，与 轴交于点 ．点
在反比例函数图像上，过点 作 轴的垂线交一次函数图像于点 ．的
（1）求反比例函数和一次函数 解析式；
（2）求 的面积．
【答案】（1）反比例函数为 ，一次函数解析式
（2）
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，
三角形面积．
（ ）利用待定系数法求解即可；
（ ）先分别求出 、 、 的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．
【小问1详解】
解：设反比例函数为 ，
把点 代入 得， ，
∴反比例函数为 ，
把点 ，点 代入 ，得
， ，∴ ， ，
∴点 ，点 ，
设一次函数解析式 ，
把点 ，点 代入得
，
解得 ，
∴一次函数解析式 ；
【小问2详解】
∵一次函数解析式 ，
∴
把点 代入 ，得 ，
∴ ，
∴点 ，
∵ 轴，
∴点 的横坐标为 ，
把 代入 得 ，
∴
∴ ，∴
22. 根据以下素材，完成探索任务．
探究斜坡上两车之间距离
图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用 表示，地面用 表
示，斜坡用 表示．已知 ，高架路面 离地面的距离 为
25米，斜坡 长为65米．
素材1
如图②，矩形 为一辆大巴车的侧面示意图， 长为10米， 长
为 米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形
的顶点 与点 重合，点 与指示路牌底端 点之间的距离 为
米，且 ．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛
到斜坡的距离 为1米．
素材2
任务一 如图①，求斜坡 的坡比．
问题解决
如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即 、 、 在同
任务二
一条直线上）时，试求小张距大巴车尾 的距离 ．
【答案】任务一：斜坡 的坡比 ；任务二： 米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：
根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作 交 延长线于点O，作 于点
Q，交 于点R，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明 ，根
据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，
由题意得：在 中， 为25米，斜坡 长为65米，
（米），
斜坡 的坡比 ；
任务二：如图③，作 交 延长线于点O，作 于点Q，交 于点R，
则四边形 为矩形，四边形 为矩形，
米，
米，
， 为 米，
，
解得： 米，
米，
米， 米，
，
，
，，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
米．
23. 如图，在 中， ，延长 至点 ，使得 ，过点 、 分别作 ，
， 与 相交于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．如果 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四
边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形 是平行四边形，得出 从而证出四边形 是矩形，即可证明结论；
（2）设 ，算出 ，证明 ，求出 ， 进而
证出结论；
【小问1详解】
证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
又 ，点D在 的延长线上，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形，
；
【小问2详解】
解：如图，
四边形 是平行四边形，
，
设 ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，
，
，
，
在 中，
，
，
．24. 新定义：已知抛物线 （其中 ），我们把抛物线 称为
的“轮换抛物线”．例如：抛物线 的“轮换抛物线”为 ．
已知抛物线 ： 的“轮换抛物线”为 ，抛物线 、 与 轴分别交于点 、
，点 在点 的上方，抛物线 的顶点为 ．
（1）如果点 的坐标为 ，求抛物线 的表达式；
（2）设抛物线 的对称轴与直线 相交于点 ，如果四边形 为平行四边形，求点 的坐
标；
（3）已知点 在抛物线 上，点 坐标为 ，当 时，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，
（1）将点 代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；
（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线 表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出 列方程并解出m值，进而解决问题；
（3）先求 ，结合求出的点P、E、F坐标得出 及 ，根据相似三角形性质得出关
于m的方程，解方程即可解决．
【小问1详解】
解：抛物线 ： 与 轴交于点 坐标为 ，
当 ， 代入，得 ，
，
抛物线 表达式为 ，
抛物线 的“轮换抛物线”为 表达式为 ；
【小问2详解】
解：抛物线 ： ，
当 时， ，即与y轴交点为 ，
抛物线 ： 的“轮换抛物线”为 ，
抛物线 表达式为 ，
同理抛物线 与y轴交点为 ，
抛物线 对称轴为直线 ，
当 时， ，
的
抛物线 顶点坐标为 ，
当 时， ，
抛物线 的对称轴与直线 交点 ，点 在点 的上方，
，
解得： ，
，
四边形 为平行四边形，
，即 ，
解得： ，
；
【小问3详解】
解： 点 在抛物线 上，
当 时， ，即 ，
点 坐标为 ， ， ， ，
， ，
，
，
，，
解得： ．
25. 在梯形 中， ，点 在射线 上，点 在射线 上，连接 、 相交于点 ，
．
（1）如图①，如果 ，点 、 分别在边 、 上．求证： ；
（2）如图②，如果 ， ， ， ．在射线 的下方，以 为直
径作半圆 ，半圆 与 的另一个交点为点 ．设 与弧 的交点为 ．
①当 时，求 和 的长；
②当点 为弧 的中点时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）① ； ；②
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 腰 梯 形 的 性 质 可 得 ， ，
，根据三角形的外角性质得出 ，进而可得 ，
即可证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）①同（1）证明 ，如图所示，过点 作 于点 ，连接 ，得出， ，解直角三角形，分别求得 ， ，进而根据相似三角形
的性质求得 的长；
②根据题意画出图形，根据垂径定理得出 ，根据题意可设 ，
，则 ，得出 ，设 ，则 ，则
，在 中，得出 ，根据 得出 ，即可求
解．
【小问1详解】
证明：∵梯形 中， ， ，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：∵ ，
∵ ，则
∴
∴
∵
∴
又∵
∴ ，如图所示，过点 作 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，则 ， ，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴ ，
在 中，
∴
∴ ，
∵ 为直径
∴
∴ ，
∴ ， ，则，
∵
∴
∴
②过点 作 于点 ，
∵
∴
∵
∴
设 ， ，则
∵ ，则
设 ，则
∴
∵∴
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，
∴
又∵
∴
∴
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
